2024届新教材二轮复习 基本初等函数的图象与性质 学案

第2讲基本初等函数、函数与方程高频考点高考预测基本初等函数的图象、性质在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型；函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际应用呈现.函数零点的个数及所在区间判断和已知零点求参数范围函数的实际应用1.(2023·全国新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则下列判断正确的是(C)A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c【解析】a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故选C．2.(2023·天津高考)设a＝log20.3，b＝logeq\f(1,2)0.4，c＝0.40.3，则a、b、c的大小关系为(D)A．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<c<b【解析】∵a＝log20.3<log21＝0，b＝logeq\s\do10(\f(1,2))0.4＝－log20.4>－log20.5＝1,0<c＝0.40.3<0.40＝1，∴a<c<b，故选D．3.(2023·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(C)A．25 B．5C．eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)【解析】因为2a＝5，b＝log83＝eq\f(1,3)log23，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(2a2,23b2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).故选C．4.(2023·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(A)A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0【解析】由2x－2y<3－x－3－y得：2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2x为R上的增函数，y＝3－x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C、D无法确定．故选A．5.(2023·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq\r(10,10)≈1.259)(C)A．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6【解析】在L＝5＋lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5＋lgV，即lgV＝－0.1，解得V＝10－0.1＝eq\f(1,100.1)＝eq\f(1,\r(10,10))≈eq\f(1,1.259)≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C．6.(2023·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(A)A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0 D．b>0>a【解析】由9m＝10可得m＝log910＝eq\f(lg10,lg9)>1，而lg9lg11<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg9＋lg11,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg99,2)))2<1＝(lg10)2，所以eq\f(lg10,lg9)>eq\f(lg11,lg10)，即m>lg11，所以a＝10m－11>10lg11－11＝0.又lg8lg10<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg8＋lg10,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg80,2)))2<(lg9)2，所以eq\f(lg9,lg8)>eq\f(lg10,lg9)，即log89>m，所以b＝8m－9<8log89－9＝0.综上，a>0>b.故选A．7.(多选)(2023·全国新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2【解析】由题意可知：Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，Lp3＝40，对于选项A：可得Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于选项B：可得Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(e)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(e)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于选项D：由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD．核心考点1基本初等函数的图象与性质核心知识·精归纳1.一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．2.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．3.常见的几个结论(1)已知a>0且a≠1，则ab>1⇔(a－1)b>0,0<ab<1⇔(a－1)b<0.(2)已知a>0且a≠1，b>0，则logab>0⇔(a－1)(b－1)>0，logab<0⇔(a－1)(b－1)<0.(3)指数型函数y＝k·amx＋n＋p(a>0且a≠1)的图象经过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(n,m)，k＋p)).(4)对数型函数y＝k·loga(mx＋n)＋p(a>0且a≠1)的图象经过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－n,m)，p)).多维题组·明技法角度1：幂函数、指数函数、对数函数的图象1.(2023·海南一模)已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则(C)A．ea<ec<eb B．eb<ea<ecC．ea<eb<ec D．eb<ec<ea【解析】由图象可知：a<0<b<1<c，∴ea<eb<ec.故选C．2.设y＝f(x)为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))四点中，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的公共点只可能是(D)A．点P B．点QC．点M D．点N【解析】由于＝f(x)为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．故函数g(x)＝logax；当x＝eq\f(1,2)时，y＝eq\f(1,4)，整理得a＝eq\f(1,16)，故g(x)＝logeq\s\do10(\f(1,16))x，由于这两个函数互为反函数，当x＝eq\f(1,4)时，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(1,2)，其他的都不符合．故选D．3.(2023·攀枝花一模)若对数函数f(x)的图象经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－2))，点B(8，t)，且p＝log0.1t，q＝0.2t，r＝t0.1.则(D)A．r<p<q B．q<p<rC．r<q<p D．p<q<r【解析】设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logaeq\f(1,4)＝－2，所以a＝2，则f(x)＝log2x，又函数过点B(8，t)，所以f(t)＝log2t＝8，则t＝3，所以p＝log0.1t＝log0.13<0，q＝0.2t＝0.23，又0<0.23<0.20＝1，则0<q<1，r＝t0.1＝30.1>30＝1，所以r>q>p.故选D．角度2：幂函数、指数函数、对数函数的性质4.(2023·香洲区校级模拟)已知a＝2eq\s\up10(\f(1,2))，b＝3eq\s\up10(\f(1,3))，c＝log0.20.5，则(A)A．b>a>c B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解析】∵(2eq\s\up10(\f(1,2)))6＝23＝8，(3eq\s\up10(\f(1,3)))6＝32＝9，∴a6<b6，∵a>0，b>0，∴b>a，∵c＝log0.20.5＝log52<1，∵a＝2eq\s\up10(\f(1,2))>20＝1，∴b>a>c.故选A．5.(2023·赣州二模)若log3x＝log4y＝log5z<－1，则(D)A．3x<4y<5z B．4y<3x<5zC．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【解析】令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m,3x＝3m＋1,4y＝4m＋1,5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x，故5z<4y<3x.故选D．6.若关于x的不等式4x－logax≤eq\f(3,2)在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，则实数a的取值范围是(A)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))【解析】由题意知关于x的不等式4x－eq\f(3,2)≤logax在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，所以当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，函数y＝4x－eq\f(3,2)的图象不在y＝logax的图象的上方，由图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≥\f(1,2)，))解得eq\f(1,4)≤a<1.故选A．方法技巧·精提炼(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．加固训练·促提高1.(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax的图象