专题5.1 任意角与弧度制（重点题型解题技巧）（解析版）2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

第第页专题5.1任意角与弧度制（重点题型解题技巧）【题型1角度制与弧度制的转化及象限判断】【题型2确定n分角所在象限】【题型3扇形周长、弧长及面积的求算】【题型4根据图形写出角的范围】题型1角度制与弧度制的转化及象限判断1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：,,．1．的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】应用终边相同的角即可求解.【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.故选：A．2．已知角，那么的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．故选：C．3．若，则角终边在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】找内与角终边相同的角，即可判断.【详解】与终边相同，在第三象限.故选：C4．终边在直线上的角的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据终边相同的角的定义即可表示.【详解】终边在直线上的角可表示为，故角的取值集合是.故选：C.5．与角终边相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角终边相同的最小正角.【详解】与角终边相同的最小正角为.故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.6．与终边相同的角是A． B． C． D．【答案】D【详解】与终边相同的角是.当1时，故选D7．与角终边相同的角是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用终边相同角的关系，根据k的取值进行求解.【详解】与角终边相同的角是当k=-4时，，所以与角终边相同的角是210°.故答案为B【点睛】本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）【答案】D【分析】根据终边关系直接可得.【详解】∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．故选：D．9．与角终边相同的角是A． B．C． D．【答案】C【详解】分析：根据表示终边相同角，即可判断．详解：因为周期为，所以与终边相同的角是所以选C点睛：本题考查了终边相同角的表示方法，考查基本的概念，属于基础题．10．与405°角终边相同的角是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】由于，故与405°终边相同的角应为．故选：C【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属基础题.11．若与的终边相同，则终边与相同的角所在的集合为A． B．C． D．【答案】A【解析】根据终边相同的角的定义即可得到结果.【详解】与的终边相同终边与相同的角的集合为：本题正确选项：【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.12．在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（

）A．150° B．210° C．30° D．330°【答案】C【分析】由终边相同的角的定义，由求解.【详解】令，则，令，得，故选：C13．角的终边落在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由于，所以由终边相同的定义可得结论【详解】因为，所以角的终边与角的终边相同，所以角的终边落在第一象限角．故选：A．14．下列角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据终边相同的角的知识确定正确选项.【详解】与角终边相同的角是，令，得.故选：C15．与角终边相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出与角终边相同的角的集合，即可得出结论.【详解】与角终边相同角的集合为，当时，取得最小正角为.故选：D.16．下列各角中，与终边相同的角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出与终边相同的角的集合，取k值即可得出结果.【详解】与终边相同的角的集合为：，当时，得.故选：B17．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果.【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为.故选：D.题型2确定n分角所在象限角的终边所在象限的判断技巧总结结论1：《不等式法》遵循以下步骤 第一步：由角的范围（用表示），求出角的范围： 第二步：通过对进行分类讨论，判断角的终边所在象限结论2：《几何法》 遵循以下步骤 第一步：将直角坐标系每一象限平均分为等分并逆时针标明1、2、3第二步：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求.形如1、已知为第一项限角，求角所在的象限。解：《不等式法》第一步：由角的范围（用表示），求出角的范围：∵为第一项限角∴第二步：通过对进行分类讨论，判断角的终边所在象限若,则∴角是第一象限角；若，则∴角是第三象限角；因此，角是第一项限或第三象限角方法二：《几何法》第一步：因为要求角所在的象限，所以画出直角坐标系，把每个象限等分二等份；第二步：标号，如图所示，从靠近轴非负半轴的第一项限内区域开始，按逆时针方向，在图中一次标上1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为为第一项限角，所以在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，角的终边就在那个象限； 因此，角是第一项限或第三象限角形如2、已知为第二项限角，求角所在的象限。解：《不等式法》第一步：由角的范围（用表示），求出角的范围：∵为第二项限角∴第二步：通过对进行分类讨论，判断角的终边所在象限若,则∴角是第一象限角；若，则∴角是第三象限角；因此，角是第一项限或第三象限角方法二：《几何法》第一步：因为要求角所在的象限，所以画出直角坐标系，把每个象限等分二等份；第二步：标号，如图所示，从靠近轴非负半轴的第一项限内区域开始，按逆时针方向，在图中一次标上1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为为第二项限角，所以在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，角的终边就在那个象限； 因此，角是第一项限或第三象限角1．已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解.【详解】因为为第三象限角，所以所以当为偶数时，记,所以所以为第二象限角，当为奇数时，记,所以所以为第四象限角，所以为第二或第四象限角，故选:A.2．已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解.【详解】因为是第一象限角，所以，，所以，，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，综上所述，第一、三象限角.故选：B.3．已知为第二象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【分析】由象限角的定义可得出，求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出的终边所在的象限.【详解】因为为第二象限角，则，所以，，①当为奇数时，设，则，即，此时为第三象限角；②当为偶数时，设，则，此时为第一象限角.综上所述，为第一或第三象限角.故选：D.4．若是第四象限角,则角的终边在A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限【答案】D【解析】取满足条件的角，计算得角，判断角的终边所在象限.【详解】取,则,在第四象限;取,则,在第二象限.故选：D.【点睛】本题主要考查了由角所在的象限，确定的终边所在象限，属于容易题.5．下列说法正确的有（

）A．与的终边相同 B．小于的角是锐角C．若为第二象限角，则为第一象限角 D．钝角的终边在第一象限【答案】A【分析】根据锐角的定义、第二象限角、终边相同角的性质、钝角的定义逐一判断即可.【详解】A：因为，所以与的终边相同，因此本说法正确；B：显然小于，而不是锐角，因此本说法不正确；C：因为为第二象限角，所以，所以为第一象限角或第三象限，因此本说法不正确；D：大于小于的角为钝角，所以钝角的终边在第二象限，因此本说法不正确，故选：A6．已知是第二象限角，那么是（

）A．第一象限角 B．第一或第三象限角C．第二或第四象限角 D．第二象限角【答案】B【分析】先根据所在的象限确定的范围，从而确定的范围，讨论为偶数和为奇数时所在的象限即可.【详解】因为是第二象限角，所以，，则，，当为偶数时，为第一象限角，当为奇数时，为第三象限角.故选：B.7．若是第三象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【分析】根据是第三象限角的范围，可判断所在的象限.【详解】因为为第三象限角,即,所以,,当为奇数时,是第四象限的角;当为偶数时,是第二象限的角.故选:D.8．已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解.【详解】解：因为角的终边与的终边重合，所以，，所以，，令，则，此时的终边位于第二象限；令，则，此时的终边位于第三象限；令，则，此时的终边位于第四象限．所以的终边不可能在第一象限，故选：A．9．若角是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.【详解】因为是第三象限角，所以，所以，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：C．题型3扇形周长、弧长及面积的求算扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．扇形的周长求最值时需要将目标表示成二次函数的形式画图处理1．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.【详解】令扇形的半径为，则，所以此扇形的面积为.故选：D2．已知一扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把角度转化为弧度，根据弧度制下扇形的面积公式即可求解.【详解】因为，所以该扇形的面积为．故选：A3．已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】设扇形所在圆的半径为，根据题意求得，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，因为扇形弧长为，圆心角为，可得，可得，由扇形的面积公式，可得.故选：B.4．扇形的周长是12cm，面积是8cm2，则圆心角的弧度数是（）A．2或1 B．4或1 C．6或1 D．8或1【答案】B【分析】设扇形的圆心角为，半径为，根据扇形的弧长和面积公式列式求解.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，由题意可得，解得或，所以圆心角的弧度数是4或1.故选：B.5．已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为．【答案】【分析】利用扇形面积公式计算即可.【详解】设扇形半径为，由题意可知，所以该扇形的面积为．故答案为：.6．已知扇形面积为半径是1，则扇形的周长是.【答案】【分析】首先由扇形的面积公式求出圆心角，然后代入扇形弧长、周长公式即可求解.【详解】不妨设扇形的圆心角、半径、弧长、面积、周长分别为，则由题意有，解得，由弧长公式有，所以扇形的周长为.故答案为：.7．扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为．【答案】/【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可.【详解】因为扇形的圆心角为1，半径为1，所以该扇形的面积，故答案为：8．圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为.【答案】1【分析】根据弧长公式结合面积公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，又，所以，，扇形的面积.故答案为：1.9．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为.【答案】3【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.【详解】由题意可得：扇形的面积为.故答案为：3.10．已知某个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为．【答案】【分析】根据扇形弧长公式计算即可.【详解】由题意可知扇形的圆心角为，即，故扇形弧长为.故答案为：.11．已知一扇形的圆心角为，半径为7，则该扇形的面积为．【答案】【分析】由扇形的弧长公式及面积公式即可求得.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，面积为，由题意得，，所以，则，所以该扇形的面积为.故答案为：.12．若扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为.【答案】【分析】直接利用扇形面积公式即可求解.【详解】依题意，由扇形的面积公式可得：.故答案为：.13．一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形圆心角的弧度数．【答案】【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式列出方程，从而得解.【详解】依题意，设这个扇形圆心角的弧度数为，半径为，则，所以，解得，所以，即扇形圆心角的度数为.14．设扇形的弧长为18cm，半径为12cm，求这个扇形的面积．【答案】【分析】根据扇形的面积公式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，扇形的面积.15．如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．

(1)用与表示扇形的面积；(2)用与表示扇形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据弧度的概念及圆的面积公式求解；（2）由（1）结合弧长公式求解.【详解】（1）角的大小是周角的，所形成扇形的面积是整个圆的面积的，即.（2）由（1）可得，又因为，所以．16．已知扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积.【答案】【分析】根据扇形面积公式计算即可.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则有，解得.故扇形的面积为题型4根据图形写出角的范围（区域角）区域角的求解技巧总结区域角的求解遵循以下步骤：第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内）第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域第三步：若阴影区域为射线即： 若阴影区域为直线即：形如1、若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（）A．B．C． D．解：第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内）阴影部分的两条边界分别是角的终边第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域 故：第三步：若阴影区域为射线即： 所以的取值范围是.秒杀：由于区域角的范围都需要加上整圈的倍数，故答案为形如2、已知角的终边在如图所示的阴影部分内，求角的取值范围.解：第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内）阴影部分的两条边界分别是角的终边第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域 故：第三步：若阴影区域为直线即： 所以的取值范围是.形如3、函数的定义域为（）A．B．C．D．解：第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内）大于取右边，阴影部分的两条边界分别是角的终边第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域 故：第三步：若阴影区域为射线即： 所以的取值范围是.1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C．2．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案.【详解】当时，，当时，,所以选项C满足题意.故选：C.3．集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．【详解】集合中，当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B.4．如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．

【答案】．【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合.【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且，所以阴影部分（包括边界）的角的集合为.故答案为：5．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．【答案】【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是，所以角的取值范围是，故答案为：6．如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是．【答案】【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可.【详解】因为终边落在射线OA上的角的集合是为，终边落在射线OB上的角的集合为．所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是．故答案为：7．如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是.【答案】【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y轴上的角为，终边落在图中直线上的角为；，即终边在直线上的角为，，所以终边落在阴影部分的角为，故答案为：8．如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．【答案】【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出．【详解】阴影部分内的角的集合为故答案为：.9．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角．【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得；（2）根据弧度制与角度概念转化书写即可.【详解】（1）①；②．（2）∵，∴．又，所以与终边相同，是第一象限角．10．用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

【答案】图1；图2【分析】（1）根据图形数形结合写出角的范围即可；（2）根据图形数形结合写出角的范围即可；【详解】（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．11．写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求得在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，从而即可得答案；（2）求出终边在直线上的角的集合，然后和终边在直线上的角的集合取并集即可得答案.【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，因此，终边在直线上的角的集合为；（2）同理可得终边在直线上的角的集合为，终边在直线上的角的集合为，所以终