天津市南开区2024届高三上学期11月阶段性质量监测(一)数学试题（解析版）

PAGEPAGE1天津市南开区2024届高三上学期11月阶段性质量监测(一)数学试题第I卷参考公式：·球的表面积公式，其中R表示球的半径.·台体的体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为台体高.一、选择题1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，，则.故选：C.2.命题p的否定为“，使得”，则命题p为（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】命题p的否定为“，使得”，所以命题，使得，故选：D.3.已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，对于B：由，得：，为偶函数，故可排除B；对于C：由，得：，为偶函数，故可排除C；由图知图象不经过点，而对于D：，故可排除D；故选：A.4.“”的充要条件的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由“”，解集为，A，解集为，A错误；B，由，解集，B正确；C，由，即，即，解集，C错误；D，由，即，即解集为，D错误.故选：B.5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，则，由，，则，由，则.则.故选：C.6.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，即，同理，又，即，，，，当时，，所以，所以，故选：B．7.圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）A. B. C.61 D.183【答案】A【解析】设球的半径为，则，则，圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，则圆台的高，据此可得圆台的体积：.故选：A.8.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数为偶函数；②；③；④曲线在处的切线斜率为所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③④ C.③④ D.②③④【答案】D【解析】由题意，，，∴，又，又，∴，∴，不是偶函数，①错；是的最小值，②正确；，，当时可得是图象的一个对称中心，∴，③正确；，，④正确．正确的有②③④，故选：D．9.对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令，则，令，解得或者，令，解得，所以在和单调递增，在单调递减，如图所示，要使得直线与函数有3个交点，则直线要在点上方，而，当且仅当时取到等号，所以，所以只需满足即可，故选：A.第Ⅱ卷二、填空题10.若（为虚数单位），则__________．【答案】【解析】由可得，所以，故答案为：.11.已知，则__________．【答案】【解析】由可得，所以，即，故答案为：.12.棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，AB的中点，P为棱上一点，则三棱锥的体积为__________．【答案】1【解析】由题意到平面的距离等于，又，∴，故答案为：1.13.已知，则__________，__________．【答案】【解析】∵，令，则，∴，．故答案：；．14.在中，已知，点P是所在平面上一点，且，若，则__________；若，则取得最小值时，实数y的值为__________．【答案】【解析】,所以，故，当时，，，由于，所以，故当时，此时，故最小，故答案为：，.15.已知函数，若方程至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意知，，则是偶函数，则其图象关于轴对称.令，解得（舍），或.此时，，令，解得.此时，，则当时，；当时，；由函数的解析式与图象的对称性作出函数的图象.直线过定点，且为直线的斜率，若方程至少有三个不同的实根，则直线与的图象至少有三个公共点，由图可知，解得，故答案为：.三、解答题16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1），因为，所以，所以，即.若，则，从而或．所以．（2），①当，即时，，所以．②当，即时，，所以．③当，即时，，若，则，所以.综上，.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知.（1）证明：；（2）求a；（3）求的值．（1）证明：因为，所以由余弦定理可得，即又由正弦定理，得，因为角A，B为的内角，所以．（2）解：由（1）知，所以．又，由余弦定理，得，即，解得.（3）解：由，得，因为，因为，所以B为锐角，所以.所以.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点．（1）求证：平面平面PBC；（2）若E是PB的中点，（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．（1）证明：因为，取AB中点M，连接CM，则，又平面ABCD，平面ABCD，所以，故以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，则，所以．因为，所以，所以平面PBC，即为平面PBC的法向量．设，则．设平面EAC的法向量为，，则即令，则．因为，所以平面平面PBC．（2）解：因为E是PB的中点，所以．（i）设直线PA与平面EAC所成角为，则，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．（ii）显然平面PDC的法向量为，设平面PDC和平面EAC的夹角为，则．故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．19.设函数是定义域为的奇函数，且的图象过点.（1）求a，b的值；（2）设，若（为函数的导数），试写出符合上述条件的函数的一个解析式，并说明你的理由．解：（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即，整理得，解得，所以，又的图象过点，则，解得或，又，且，所以．（2）因为为奇函数，所以，得．由（1）可得，，因为，所以为上的单调递增函数，所以对恒成立．因为，，所以，整理得，*当时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，所以．所以*式化为恒成立，所以．①若，则；②若，则，即，与矛盾，舍去．综上，，所以为满足条件的的一个解析式．（答案不唯一）20.已知函数．（1）若曲线在处的切线斜率为1，求a的值；（2）讨论的零点个数；（3）若时，不等式恒成立，求a最小值．解：（1），依题意，，解得．（2）零点的根．设，①当时，没有零点；②当时，，所以在内是增函数．取，取，所以在上有且仅有一个零点；③当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而．当时，没有零点；当时，在上有且仅有一个零点；当时，，取，取，所以在上有两个零点．综上，当时，没有零点；当或时，有且仅