陕西省汉中市2024届高三上学期第三次校际联考数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1陕西省汉中市2024届高三上学期第三次校际联考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，故z的虚部为故选：2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】命题“，”的否定是：.故选：.3.已知全集，集合，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故错误；，故错误；或，故错误；，故正确，故选：.4.若，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，函数满足，解答或，即函数的定义域为，排除A、B，又由，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称的偶函数，当时，函数是函数的图像向右平移一个单位得到的，可排除C.故选：D.5.已知等差数列，其前n项和满足，则（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】是等差数列，其前n项为，，，.故选：A.6.若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（）A.14 B.28 C.9 D.【答案】A【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则，即，解得.故选：A7.等比数列为递减数列，若，，则（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】由为等比数列，得，又，∴为方程的两个根，解得，或，，由为递减数列得，∴，，∴，则，故选：A.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（）（参考数据：，，）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】设经过个小时才能驾驶，则，即，由于在定义域上单调递减，∴，∴他至少经过小时才能驾驶.故选：C.9.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18 B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定 D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B【解析】对于甲，其得分的极差大于或等于，故A错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误；乙的数据由小到大依次为：乙得分的中位数为，故B正确.乙得分的平均数为，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为，另一个可设为，其中，故其平均数为，故D错误.故选：B.10.如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（）A.三角形 B.矩形 C.正方形 D.菱形【答案】D【解析】分别取的中点，连接，如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形，由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以,所以，同理，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形为菱形，故选：.11.设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线定义：，，∴，∴，，，∴是圆的直径，∴，在中，，得．故选．12.已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，由，得，设，则，当时，单调递增，因，当且仅当时取等号，故，又，所以，故，∴，则，即有，故.故选:C．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.已知抛物线的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则____________．【答案】5【解析】根据题意可知，焦点，准线方程为，作垂直于准线，垂足为，连接，如下图所示：由抛物线定义可得.故答案为：14.在中，，，则____________.【答案】【解析】根据题意易得为等腰直角三角形，,则，故答案为：15.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为____________．纵式：横式：【答案】【解析】用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为的有种；个位和十位上的算筹都为的有种；个位和十位上的算筹都为的有种；个位和十位上的算筹都为的有种；个位和十位上的算筹都为的有种；共有种；所以，个位和十位上算筹不一样多的概率为种；故答案为：16.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的侧面积之和为____________．【答案】【解析】设球的半径，圆锥的底面半径，两个圆锥的高分别为，如下图：因为球的体积为，所以，即，得.因为两个圆锥的高之比为，所以，，，结合球的性质，利用勾股定理得，又，同理，，由圆锥的侧面积公式得，两个圆锥的侧面积之和等于.故答案为：.三、解答题（一）必考题：共60分．17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，，求的面积.解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，则，即，又，所以.（2）由（1）知，，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面积.18.某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（1）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）∵，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关．（2）由题意得X的可能值是1，2，3，，，，∴X的分布列为：X123P∴．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点．（1）证明：平面PBC．（2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：在梯形ABCD中，因为，，所以．又平面PBC，平面PBC，即可得平面PBC．（2）解：易知AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．∴，，，设平面PBC的法向量，则，取，则，．∴平面PBC的一个法向量为．设直线AE与平面PBC所成角为，则，即可知直线AE与平面PBC所成角的正弦值为.20.已知函数.（1）若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.解：（1）由，得，∵在处的切线与x轴平行，∴，解得.（2）函数的定义域为，.当时，对任意的，都，此时函数在上单调递增，无极值点；当时，令，可得，由，可得，由，可得.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在处取得极小值，无极大值.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点.21.已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左､右焦点分别为，，该椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，（点在椭圆左顶点的左侧），若与互补，试问直线是否经过一个定点？若直线经过一个定点，试求此定点坐标；若不经过，请说明理由.（1）解：由题意可得，抛物线的焦点为，椭圆的半焦距，又椭圆的离心率为，，即，，，即，椭圆的方程为；（2）解：，设，，，，与互补，，，化简整理，可得①，设直线为，联立直线与椭圆方程，化简整理，可得，，可得②，由韦达定理，可得③，将，代入①，可得④，再将③代入④，可得，解得，的方程为，所以直线经过定点.（二）选考题【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于、两点，求的值.解：（1）在直线的参数方程中消去参数，可得直线的普通方程为，在圆的极坐标方程两边同时乘以，可得，由可得圆的直角坐标方程为，即；（2）设点、对应的参数分别为、，将直