湖北省武汉市部分高中2024届高三上学期10月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省武汉市部分高中2024届高三上学期10月联考数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选：D.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由复数，可得，所以，所以复数的虚部为.故选：A.3.在中，，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：C.4.将函数的图象向右平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向右平移个单位后，可得，因为的图象关于轴对称，所以，即，解得，即，当时，可得，所以B项符合.故选：B.5.在正项等比数列中，，则的最小值是（）A.12 B.18 C.24 D.36【答案】C【解析】在正项等比数列中，，所以，当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24.故选：C.6.如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，则其面积为，解得，所以扇环的两个圆弧长分别为和，设圆台上下底面的半径分别为，高为，所以，解得，，解得，作出圆台的轴截面，如图所示：图中，，过点向作垂线，垂足为，则，所以圆台的高，则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：.故选：A.7.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D8.在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角形面积公式结合，可知，即，又由平方关系，所以，即，解得或（舍去），由余弦定理有，所以，令，所以，故只需求出的范围即可，由正弦定理边化角得，注意到在锐角中，有，简单说明如下：若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，所以在锐角中，有，所以在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增，所以，从而，而函数在单调递减，在单调递增，所以.综上所述：的取值范围为.故选：B.二、选择题9.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（）A.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变B.C.剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数D.【答案】ABD【解析】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，对于A：原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，A正确；对于B，依题意，，，，由，得，即，于是，因此，即，B正确；对于C，因为，则剩下18个数据的分位数为，又，则原样本数据的分位数为，C错误；对于D，因为，则，，，于是，，因此，即，D正确.故选：ABD10.某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（）A.B.与均不相互独立C.D.若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大【答案】AC【解析】由题意，，，则，故A正确；由，则，所以与相互独立，故B错误；因为，所以，所以，故C正确；由题意这次高一年级数学考试中，（1）班、（2）班、（3）班学生中及格人数之比为，所以从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率为，该同学来自（2）班的概率为，该同学来自（3）班的概率为，所以该同学来自（3）班的概率最大，故D错误.故选：AC11.已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（）A.为奇函数 B.C. D.【答案】BC【解析】由函数关于直线对称，可得，即，则函数关于直线对称，故选项C正确；由的图象关于点对称，可得，即，以2x代换x，则，所以函数关于点对称，可得，即，结合可得，所以，故选项B正确.所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项A、D错误；故选：BC12.在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（）A.若，则面积的最大值为B.若，则面积最大值为C.若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3D.若为的中点，且，则面积的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以A错误；对于B，由余弦定理可得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为，故B正确；对于C，设，，则，，在和中，分别运用正弦定理，得和.因为，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为3，所以C正确；对于D，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则，所以，所以当即时，，D正确.故选：BCD.三、填空题13.写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于轴对称”的幂函数：________.【答案】（答案不唯一）【解析】举例，令，无实数解，且定义域为，则函数的图象与坐标轴没有交点，，且定义域为，关于原点对称，则为偶函数，则其图象关于轴对称.故答案为：.14.的展开式中含项的系数为________.【答案】【解析】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.15.在等比数列中，，则________.【答案】【解析】记等比数列的公比为，则，解得，所以，记，因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：.16.已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆离心率为．故答案为：．四、解答题17.数列的满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．解：（1）因为，所以，又因为，所以，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即．（2）由得，，因为，所以中要去掉数列的项有5项，所以．18.在中，内角的对边分别为.（1）求角的大小；（2）为边上一点，，求边的长.解：（1），由正弦定理可得，即，，又.又.（2）即，解得19.如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.图1图2（1）设平面与平面的交线为，证明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：延长交于点，连接，如图，依题意，分别为的中点，则，因此分别是以为斜边的直角三角形，即，又，平面平面，于是平面，而平面平面，显然直线与重合，所以平面.（2）解：取的中点，连接交于点，则为中点，连接，由为等边三角形，得，则为二面角的平面角，，在中，，则，由平面，平面，得，又，于是，在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值为.20.2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否推断该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？了解不了解合计男生女生合计（2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解亚运会项目的学生的人数为，求使得取得最大值时的值.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因为，所以对杭州亚运会项目的了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，结合男生和女生各50名，填写列联表为：了解不了解合计男生153550女生302050合计4555100零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据，，依据的独立性检验，可以推断成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.（2）由（1）知，了解亚运会项目的频率，所以随机变量，，令，解得，因为，所以当时，取得最大值.21.已知函数，其中.（1）讨论函数单调区间；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）函数定义域为，求导得令，得.①当时，，当或时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减；②当时，，所以在上单调递增；③当时，，当或时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）在区间上恒成立，在区间上的最大值小于等于1，①当时，在上单调递增，所以，又，所以，即，所以此时解得；②当时，在上单调递减，在上单调递增，分以下两种情形讨论：情形一：当，即时，在区间上单调递减，所以，解得满足题意；情形二：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为或，此时，则，且，由（2）①可知，，所以此时解得.结合以上两种情形可知，当时，不等式在区间上恒成立.结合①②，综上可得，即实数的取值范围为.22.设抛物线的焦点为上点满足.（1）求抛物线的方程；（2）已知正方形有三个顶点在抛物线上，