黑龙江省齐齐哈尔市五校联考2024届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市五校联考2024届高三上学期期中考试数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以或，所以，因，即：，，解得：，因为，所以，所以．故选：B2.已知i为虚数单位，则复数的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴.故选：C.3.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，且,所以.故选:B.4.在中，，，，则边上的高的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，，得，由余弦定理得：，边上的高的长度为．故选：A.5.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】因为在上单调递增，所以，所以是的必要不充分条件，即是“在上单调递增”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数在上单调递增，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，在上单调递增，，解得：，即，，，则由得：，解得：.故选：C.7.已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知,因为函数存在减区间,则有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在单调递减,单调递增,所以,因有解,所以,解得.故选:D.8.已知，，，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】易知，，设，则，所以单调递增，所以，故，所以设，则，所以单调递减，所以，即，所以，综上，.故选：B.二、多项选择题9.已知，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.当时，；当时，B.函数的减区间为，增区间为C.函数的值域D.恒成立【答案】ACD【解析】对于选项A，当时，；当时，，故选项A正确；对于选项B，，令可得，有，可知函数的减区间为，增区间为，故选项B错误；对于选项C，由上可知，时，，故选项C正确；对于选项D，，令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，可得，故选项D正确．故选：ACD．11.已知为锐角，且，则（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】由得：，；对于A，由得：，A错误；对于B，，，，，则，解得：，又，，B正确；对于C，，，，，，；，又，，，，，C正确；对于D，，，，，，解得：，，则，，D错误.故选：BC.12.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列及数列，若，下列说法正确的是（）A.存在数列，使得与都为等比数列B.存在数列，使得与都为等差数列C.存在数列，使得为等比数列，且为等差数列D.存在数列，使得为等差数列，且为等比数列【答案】BCD【解析】因为为定义在上的奇函数，令，则，，又为奇函数，所以，所以，若为等比数列，由，可知公比，设，则，所以不为定值，且为定值，设，则，所以也不为定值，即A错误，C正确；若为等差数列，由，可知公差，所以可取，即，此时令，则，解得，此时，，，满足为等差数列，即B正确；令，则，解得，此时，，，，满足为等比数列，即D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知，，则向量，的夹角的余弦值为_______.【答案】【解析】.故答案为：14.设等差数列的前项和为，若，则______.【答案】【解析】当时，，则；当时，，两式相减，整理得，设公差为，则，即，所以，所以.故答案为：.15.已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________.【答案】【解析】，故为上的奇函数，，则，，，为周期为4的周期函数，.故答案为：16.已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意非零实数，均有．当时，．若的值域为，则的取值范围为______．（可参考的不等式结论：恒成立）【答案】【解析】，，，易知当时，，若当时，，则当时，，此时显然的值域不为，不符题意，又，所以不等式在内有解，且恒成立，即在内有解，且恒成立，设，则，综上，当时，，单调递增，，设，则，易知，即，综上．故答案为：．四、解答题17.已知为锐角，且满足.（1）求的值；（2）求的值.（1）解：因为为锐角，所以，所以，所以，所以；（2）解：由（1）知，，所以.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的值.解：（1）因为，所以，即，所以，又，所以.（2）由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.19.已知函数且.（1）当时，求的值域；（2）若在上的最大值大于，求的取值范围.解：（1）由得：，则的定义域为；当时，，当时，（当且仅当时取等号），，则的值域为.（2）；令，则在上单调递减，在上单调递增，又，，，的值域为；当时，，，解得：（舍）；当时，，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.20.在数列，中，已知，，且，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项的和.（1）证明：由题意可知，，则，且，所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知，，所以，所以，又，所以，又，即是等比数列，首项为4，公比为2，所以，即，所以，即.21.已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若，证明：函数的极小值为0；（2）若存在两条直线与曲线和曲线均相切，求的取值范围．解：（1）依题意，，求导得：，令，，由得，由得，因此函数在上递减，在上递增，而，则，又，即存在，使得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，取得极小值，所以函数的极小值为0.（2）令与曲线和曲线均相切的直线同曲线相切于点，而，有，因此该切线方程为，显然直线与相切，由消去y并整理得：，因此，整理得，令，依题意，函数有两个不同的零点，，当时，，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，而函数在上单调递减，函数值集合为，因此函数在上的取值集合为，当时，令，，令，则，即函数在上单调递增，，因此函数在上单调递增，，即，则当时，，显然抛物线开口向上，在上无最大值，因此函数在上的取值集合为，从而当，即，存在，使得，于是得当时，函数有两个不同的零点，所以的取值范围是.22.已知函数，其中.（1）讨论函数单调性；（2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域为R，，①当时，，可得，此时函数为增函数，增区间为R，没有减区间；②当时，令，可得或，此时函数的增区间为，减区间为；（2）①当时，由，当时，有，，可得，令，有，令，可得函数的增区间为，减区间为，有，可得，得，有，可知当时，.由上知当时，函数没有零点，不合题意；②当时，方程可化为，两边取对数可得，整理为，令，有，令，有，可