广东省清远市五校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省清远市五校2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集的个数为（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】B【解析】含有个元素的集合的真子集个数为，的真子集个数为，即7.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，故是充要条件.故选：C.3.函数的定义域是（）A. C.B. D.【答案】A【解析】依题意，解得且，所以的定义域为.故选：A.4.已知，下列不等式错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，故A对；∵，∴，故B对；∵，且，∴，故D对；∵，故，故C错.故选：C.5.函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵恒大于零，∴也恒大于零，故AC错误；＞0时，，函数在定义域上单调递减，＜0时，，函数在定义域上单调递增，故B错误，D正确.故选：D.6.下列各组中的两个函数为同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】D中定义域，对应关系都相同，是同一函数.故选：D.7.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若函数是上的减函数，则，解得.故选：B.8.已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，若命题“，”为假命题，则，恒成立.当时，，符合题意；当时，，解得，综上，的取值范围为.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，若，则的值可以是（）A.0 B.1 C. D.3【答案】AD【解析】由可知，或，由，解得或.故选：AD.10.若，，且，则的可能取值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】CD【解析】，当且仅当，即时等号成立，所以，由选项可知的可能取值为4，5，不可能为2，3.故选：CD.11.德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数的结论正确的有（）A. B.的值域为C.的定义域为 D.【答案】CD【解析】因为是无理数，所以，故A错误；的值域为，故B错误；定义域为，故C正确；当为有理数时，也为有理数，所以此时，当为无理数时，也为无理数，所以此时，所以对都有，故D正确.故选：CD.12.定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，，.以下描述正确的是（）A.若，则B.若，则C.是上的奇函数D.若，则【答案】ABD【解析】由表示不小于的最小整数，则有且，即，对于A，，则，，即，则，故A正确；对于B，令，则，解得，又为整数，则或，当时，即，则，当时，即，则，故，则，故B正确；对于C，，则，，则不是上的奇函数，故C错误；对于D，，若，则，即，则，又，由不等式的性质，，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是__________________.【答案】，【解析】否命题是，.故答案为：，.14.已知函数，则_________.【答案】1【解析】由题意可知：，，.故答案为：1.15.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为_______________.【答案】【解析】因为函数是幂函数，则，解得或，当时，是偶函数，其图象关于轴对称，与已知矛盾；当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，不等式化为，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.16.已知函数的两个零点为，3，且，则下列说法正确的序号为__________.①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为.【答案】②③④【解析】由已知可得，3是方程的两根，则由根与系数的关系可得解得，，由可知，所以①错误；对于②，化简为，解得，②正确；对于③，，③正确；对于④，化简为，解得，④正确.故答案为：②③④.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.集合，.（1）求；（2）求.解：（1），∴.（2），.18.已知函数，.（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）在上单调递增.证明如下：，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增.（2）由（1）知在上单调递增，所以由，可得，解得，故实数的取值范围是.19.已知集合，集合.（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）∵“”是“”的充分条件，∴，，从而有，即.（2）∵，①若，则，∴；②若，则或，即；综上所述，.20.（1）已知，求的解析式；（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式.解：（1）令，则，所以，即函数.（2）设，则由，得，即，所以解得所以.21.某公司生产纪念手册，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于20万册，.上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册能全部售出.（1）设总利润为万元，求函数的解析式（利润销售额成本）；（2）生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值.解：（1）当时，，当时，，所以（2）当时，，当时，取得最大值为225；当时，，当且仅当，即时取得等号，所以；即当时，取得最大值为300；因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.22.已知为偶函数，当时，.（