大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计〔论文〕大数定律与中心极限定理及其应用分院数学与统计学院专业数学与应用数学〔师范〕班级10数本1班学号202306034109姓名张永东指导教师陈飞翔(讲师)2014年5月10日目录摘要.IAbstract.II１大数定律的应用11.1引言11.2预备知识1相关定义1切比雪夫不等式及其应用11.3几类重要的大数定律的应用2切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用31.4大数定律的意义42中心极限定理的应用52.1前言52.2几类重要的中心极限定理的应用5林德伯格定理及其在保险方面的应用5列维定理及其在极限求解方面的应用6棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用62.2.4李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用93大数定律和中心极限定理的比拟应用93.1大数定律和中心极限定理的比拟应用9结论10致谢11参考文献12大数定律与中心极限定理及其应用张永东〔重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2023级一班重庆万州404000〕摘要：大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的关键所在，更是生活中不可缺少的一局部.较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性.但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少.本文介绍了几种较为常见的大数定律和中心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用.将理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际相结合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识.关键词：大数定律;中心极限定理;期望;方差;应用ApplicationofthelawoflargenumbersandthecentrallimittheoremZHANGyong-dong(Grade2023,MathematicsandAppliedMathematics,SchoolofMathematicsandStatistics,ChongqingThreeGorgesUniversityAbstract:Thelawoflargenumbersandcentrallimittheoremisveryimportantinprobabilitytheorytheorem,anditisnotonlythecontactkeyofProbabilitytheoryandmathematicalstatistics,butalsoanindispensablepartoflife.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbersandcentrallimittheorem.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbers,andhaveobtainedtheastringentusingthelawoflargenumbersandcentrallimitingtheorems.Butherehasnomanyresultsinpracticallifeandapplicablescope.HereIintroduceseveralkindsoflawsoflargenumbersandcentrallimittheorems,thenthispaperenumeratessomedifferentapplicantsineconomiclife,mathematicsandinformationtheoryandsoon.Itmakestheoryconcretely,andconsiderssomeconcretemathematicalmodel,andsomakesmathematicaltheoryreality,thuswecanhavedeeperunderstandingonthelawoflargenumbersandthecentrallimitingtheorem.Keywords:Thelawoflargenumbers,Centrallimittheorem,Expectation,Variance,Application１大数定律的应用1.1引言生产、生活及科学实验中的风险事故都具有不确定性，或者称为随机性.但是，任何事情的发生、开展都具有一定的客观规律.如果各种条件都能预知,那么事物发生的结果也能予以正确地测定，此时虽然风险事故仍然存在，损失仍然会发生，但是，随机性将因此消失.如果有大量的事例可供考察研究，那么这些未知的、不确定的力量将有趋于平衡的自然倾向，那些在个别事例中存在的随机风险将在大数中消失，这种结论就是概率论中的大数定律.它的结论也可表达为：大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出某种必然的数量规律.1.2预备知识1.2.1相关定义在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义：定义1设为概率空间上定义的随机变量序列〔简称随即序列〕,假设存在随即变数使对任意，恒有：或,那么称随即序列｛｝依概率收敛于随机变量〔也可以是一个常数〕，并用下面的符号表示：或定义2设为一随即序列,数学期望存在,令,假设，那么称随机序列服从大数定律，或者说大数法那么成立.定义3设是分布函数序列，假设存在一个非降函数,对于它的每一连续点,都有,，那么称分布函数序列弱收敛于.定义4设,分别是随机变量及的分布函数,假设,那么称依分布收敛于亦记为且有：(1)假设那么；(2)设c为常数,那么的充要条件是.1.2.2切比雪夫不等式及其应用切比雪夫不等式：设随机变量具有有限数学期望和方差,那么对于任意正数,如下不等式成立，或有这个不等式可解释为：对任意给定的正常数,可以作出两个区间和，不等式表示,在一次试验中,随机变量的取值落在的概率小于等于.切比雪夫〔Chebyshev〕不等式的应用：〔1〕期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在期望的邻域的概率.〔2〕期望和方差,对确定的概率,利用切比雪夫不等式求出,从而得到所需估计区间的长度.〔3〕对n重伯努利试验,利用切比雪夫不等式可以确定试验次数.〔4〕它是推导大数定律和其他定理的依据.例1：正常男性成人血液中,每毫升白细胞数的平均值是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率.解：设X表示每毫升血液中含白细胞个数,那么,那么而所以1.3几类重要的大数定律的应用1.3.1切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列的数学期望与方差都存在,并且方差是一致有上界的,即存在某一常数,使得,那么对于任意的正数,有.推论1：设随机变量相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学期望和方差：,那么对任意给定的正数,有.【1】此推论说明：n个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当n很大时,它们的算术平均值几乎是一常数,这个常数就是它们的数学期望.例2：使用某仪器测量量,设n次独立得到的测量值为.如果仪器无系统误差,问n充分大时,是否可以用作为仪器误差的方差近似值？分析：用表示仪器误差的方差真值.如果,恒有,那么n充分大时就可以看作是的近似值.解：依题意,可以将观察结果看作是相互独立具有相同分布的随机变量.那么,仪器第次测量误差的数学期望设亦是相互独立的具有相同分布随机变量,在仪器无系统误差时有,即由切比雪夫大数定律,,有,即,有从而确定当时,随机变量依概率收敛于,即当充分大时,可以用作为仪器误差的方差近似值.1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用伯努利大数定律〔频率的稳定性〕：设是次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,那么对于任意正数ε,恒有或【2】说明：随着n的增大,事件A发生的频率与其概率p的偏差大于预先给定的精度的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计.这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率依概率收敛于概率.这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用时间发生的频率来代替事件的概率.伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据.我们可通过屡次重复一个试验,确定事件A在每次试验中出现的概率为.譬如,抛一枚硬币出现正面的概率p=0.5.假设把这枚硬币连抛10次,那么因为n较小,发生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些.假设把这枚硬币连抛n次,当n很大时,由切比雪夫不等式知：证明出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度〔假设取精度=0.01〕的可能性.当n=105时,大偏差放松的可能性小于.当n=106时,大偏差发生的可能性小于.可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小.1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用我们已经知道,一个随机变量的方差存在,那么其数学期望必定存在；但反之不成立,即一个随机变量的数学期望存在,那么其方差不一定存在.以上几个大数定律均假设随机变量序列的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个的数学期望存在,但同时要求为独立同分布的随机变量序列.伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特例.辛钦大数定律：设为一独立同分布的随机变量序列,假设的数学期望存在,那么服从大数定律,即对任意的,有成立.辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望的近似值的方法.设想对随机变量独立重复地观察次,第次观察值为,那么应该是相互独立的,且它们的分布应该与的分布相同.所以,在存在的条件下,按照辛钦大数定律,当足够大时,可以把平均观察值作为的近似值.这样做法的一个优点是我们可以不必去管的分布究竟是怎样的,我们的目的只是寻找数学期望.事实上,用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中是常用的方法.譬如,用观察到的某地区5000个人的平均寿命作为该地区的人均寿命的近似值是适宜的,这样做法的依据就是辛钦大数定律.概率论借助于数学分析,可以较好地描述、处理、解决随即现象的有关理论和应用问题.反之,用概率方法来解决数学分析中的一些问题,也是概率论的重要研究方向之一[3].数学分析中的有些问题,用数学分析的方法很难解决,但如果巧用概率论的方法,那么变得比拟容易处理了.再比方,许多极限的运算运数学分析的方法会很麻烦,但是运用概率论中相关的知识或许会到达事半功倍的效果.例3：假设,求其极限.解：假设随机变量在[0,1]上有均匀分布,而且相互独立,有易见由独立同分布,可见独立同分布.根据辛钦大数定律知从而1.4大数定律的意义概率论与数理统计是研究随即现象的统计规律的科学，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.大数定律是概率论中的重要内容,其目的是考察随机序列的稳定性.从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的概率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说，无论个别随机个体以及它们在随机试验过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的.深入考虑后,大数定律就是要研究在什么条件下具有稳定性的问题，同时大数定律是保险财政稳定性重要的理论根底，大数定律在概率论的所有局部中都有着应用.除此之外,许多学者利用概率论思想研究了大数定律在其他相关领域的应用.例如统计方面的应用,在信息论中的应用,在分析,数论等方面的应用.2中心极限定理的应用2.1前言大数定律讨论的是多个随机变量的平均的渐近性质,但没有涉及到随机变量的分布的问题.而概率论与数理统计中,正态分布是一种最常见而又最重要的分布.在实际应用中,有很多随机变量都服从正态分布.在实际应用中,有很多随机变量都服从正态分布,即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们的和分布也近似服从正态分布,自然要提出这样的问题：为什么正态分布如此广泛地存在,从而在概率论中占有如此重要的地位？应如何解释大量随机现象的这一客观规律性呢？事实上,这正是客观实际的反映,中心极限定理就是概率论中论证随机变量和的极限分布为正态分布的定理总称.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理.2.2几类重要的中心极限定理的应用2.2.林德伯格定理：设独立随机变量满足林德伯格条件，对于任意的正数,有.其中是随机变量的概率密度,那么当时,我们有即其中是任何实数.林德伯格定理可以解释如下：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,那么可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的.例如,进行观测时,不可防止地有许多引起观测误差的随机因素影响着我们的观测结果,其中有些误差是由测量仪器的情况引起的,这些情况可以在温室、大气压力或其他因素的影响之下改变着；有些误差是属于观测站个人的误差,这些误差大多数是由于视觉或听觉引起的等等.这些因素中的每一个都可能使观测的结果产生很小的误差,然而由于所有这些误差共同影响着观测结果,于是我们得到的是一个“总的误差〞.所以,实际观测的到的误差可以看作是一个随机变量,它是很多数值微小的独立随机变量的总和,按林德伯格定理,这个随机变量应该服从正态分布.此外,还可以举出很多类似的例子,这里具体举出一个例子[4].例4：某保险公司有2500个人参加保险,每人每年付1200元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.002,死亡时某家属可向保险公司领得20万元.问：(1)保险公司亏本的概率多大？(2)保险公司一年的利润不少于100万元,200万元的概率各位多大？解：〔1〕设X为一年内死亡的人数,那么X～B(2500,0.002),,P(亏本)=保险公司亏本的概率为0.00007,几乎为零.〔2〕P(利润)P(利润)以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须正确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同.2.2.列维定理：设随机变量相互独立,服从同一分布,且有有限的数学期望和方差,那么随机变量的分布函数满足如下极限式,其中是任何实数.定理的应用：对于独立的随机变量序列,不管服从什么分布,只要他们是分布,且有有限的数学期望和方差,那么,当充分大时,这些随机变量之和近似地服从正态分布.大数定律和中心极限定理是概率论中的重要理论,是分析中的极限理论在概率论中的综合运用,同时极限定理中的一些结果也为分析中的许多极限问题提供了有力工具[5].例5：求极限解引入随机变量〔参数为的泊松分布〕,,且相互独立,由泊松分布的再生性知,,所以P｛｝=,而E〔〕=D｛｝=n,P｛n｝=P｛｝即：=P｛｝令n,由中心极限定理可知：=P｛｝==2.2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设在独立试验序列中,事件A在各次试验中发生的概率为,随机变量表示事件A在次试验中发生的次数,那么有,其中是任何实数.棣莫弗-拉普拉斯定理是概率论历史上的第一个中心极限定理,它是专门针对二项分布的,因此称为“二项分布的正态近似〞.在之前概率论的学习中有“二项分布的泊松近似〞，两者相比,一般在较小的时候,用泊松分布近似较好,而在和时,用正态分布近似较好.二项分布的极限分布是正态分布，即如果那么一般地,如果,那么说明：这个公式给出了较大时二项分布的概率计算方法.在给出棣莫弗-拉普拉斯定理应用之前,先说明两点：(1)因为二项分布是离散分布,而正态分布是连续分布,所以用正态分布作为二项分布的近似计算中,作为修正可以提高精度.假设均为整数,一般先作如下修正后再用正态近似.(2)假设记,那么由棣莫弗—拉普拉斯极限定理给出的近似式，可用来解决三类计算问题：〔1〕求；〔2〕求;〔3〕求.以下我们就分这三类情况给出一些具体的例子.给定，求.例6：一复杂系统由100个相互独立工作的部件组成,每个不见正常工作的概率为0.9.一直真个系统中至少有85个不见正常工作,系统工作才正常.试求系统正常工作的概率.解：记=100,为100个部件中正常工作的部件数,那么～b(100,0.9)；；所求概率为②，求.例7：某车间有同型号的机床200台,在一小时内每台机床有70％的时间是工作.假定各机床工作是相互独立的,工作时每台机床要消耗电能15kW.问至少要多少电能,才可以有95％的可能性保证此车间正常生产.解：记=200,为200台机床中同时工作的机床数,那么：～b(200,0.7),.因为台机床同时工作需消耗15〔kW〕电能,所以设供电数为(kW),那么正常生产为,由题设,其中查正态分布表得从中解得〔kW〕,即此车间每小时至少需要2252〔kW〕电能,才有95％的可能性保证此车间正常生产.③，求.例8：某调查公司受委托,调查某电视节目在S市的收视率,调查公司将所有调查对象中收看此节目的频率作为的估计.现在要保证有90％的把握,使得调查所得收视率与真实收视率之间的差异不大于5％.问至少要调查多少对象？解：设共调查n个对象,记=0,当第i个调查对象收看此电视节目；=1,当第i个调查对象不看此电视节目.那么独立同分布,且(=1)=,(=0)=,又记个被调查对象中,收看此电视节目的人数为,那么有由大数定律,当很大时,频率与概率很接近,即用频率作为的估计是适宜的.根据题意有,所以,查正态分布表得,从中解得：np(1-p)=p(1-p)×1082.41又因为,所以,即至少调查271个对象.例9：某单位有200台分机,每台有5％的时间要使用外线通话,假定每台分机是否使用外线是相互独立的,问该单位总机要安装多少条外线,才能以90％以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有局部机同时使用外线,那么有,其中,,,设有条外线.由题意有由棣莫弗-拉普拉斯定理有查表得,故应满足条件.即,取,即至少要安装14条外线.李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用设为独立随即变量序列,假设存在,满足那么对任意的,有其中,,例10：一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对第1题的概率为0.99；答对第2题的概率为0.98；一般地,他答对第题的概率为1－,.假设该学生答复各题目是相互独立的,并且要正确答复其中60个题目以上〔包括60个〕才算通过考试.试计算该学生通过考试的可能性多大？解：设假设学生答对第题,那么；假设学生答错第题,那么.于是Xi相互独立,且服从不同的二点分布：,,.而我们要求的是，为使用中心极限定理,我们可以设想从开始的随机变量都与同分布,且相互独立.下面我们用来验证随机变量序列满足李雅普诺夫条件,因为,于是〔n〕,即满足李雅普诺夫条件,所以可以使用中心极限定理.又因为,所以该学生通过考试的可能性为由此看出：此学生通过考试的可能性很小,大约只有千分之五.3大数定律和中心极限定理的比拟应用3.1大数定律和中心极限定理的比拟应用例11：现有一大批种子,其中良种占,今在其中任选6000粒,试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子良种所占的比例与之差小于1％的概率是多少？解：〔1〕设取出的种子中的良种粒数为,那么于是要估计的规律为,相当于在切比雪夫不等式中取,于是由题意得即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685.〔2〕由拉普拉斯中心极限定理,对于二项分布可用正态分布近似,于是所求概率为即用中心极限定理估计此概率不小于0.9625.从本例看出：用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685,而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625.从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是较低的.但由于它的要求比拟低,只要知道X的期望和方差,因而在理论上有许多运用.当然，两者的比拟还有在许多方面的应用，这里就不做详细的介绍了，只起到一个引导的作用.结论随着社会的飞速开展,市场竞争日趋剧烈,决策者必须综合考察以往的信息及现状从而作出综合判断,决策概率分析这门学科越来越显示其重要性.利用数学方法,定量地对医学问题进行相关分析,使其结论具有可信度,更有利于促进对病人的对症施治等.本文详细介绍了大数定律和中心极限定理及其在生活各方面的应用.通过这些详细的讲述,可以看到这两个概率公式的应用是多方面的.灵活使用这两个概率公式会给我们的解题带来很大方便,而这两个概率定理的应用范围十分广泛,成为我们解决更复杂问题的有效工具.本次毕业论文的撰写,使我扩大了知识范围,锻炼了观察和思维能力,进一步提高了动手和实践能力.理论联系实际,使毕业论文中所应用的理论知识有了更可靠的依据.但由于研究周期较短,本研究还有很多缺乏之处,本文只是举了几个例子来说明它们的应用,事实上它们的应用远不止于此,还可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题.另外还有什么样的问题应该用大数定律解决呢？什么样的问题应该用中心极限定理？什么样的问题要综合两个定理才能够解决？本文都没有得