8.1二分法与求方程近似解

【考点梳理】考点一：函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．考点二：函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．考点三：二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．考点四：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．【题型归纳】题型一：函数零点存在定理1．（2022上·甘肃·高一统考期中）的零点所在区间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.【详解】因为在上单调递增，且，所以函数零点所在区间为.故选：C2．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知是函数的一个零点，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，又，.故选：B3．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）若是函数的零点，则属于区间（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意是函数的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可.【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得，所以，即.又为上的减函数，由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点.故选：B．当时，只需满足，解得：.故选：C题型二：函数的零点区间求参数问题4．（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考虑求出的取值范围，再考虑特殊情况和，分别求出零点对比是否在有一个零点在区间内，最后综合得到答案即可.【详解】①当时在上有且只有一个零点，此时，解得；②当时解得，此时函数两个零点为和均不在区间内，矛盾；③当时解得，此时函数只有一个零点为不在区间内，矛盾，综上可知，故选：D5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为.【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，显然函数为增函数，只需满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D6．（2022上·高一单元测试）已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数的取值范围.【详解】当时，，得成立，因为函数恰有两个零点，所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，题型三：函数的零点个数求参数问题7．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析给定分段函数的性质，变形方程并结合图形求出的范围即可.【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，方程，化为，解得或，如图，观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，显然方程只有一个解，要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，因此直线与函数的图象有3个公共点，则，所以实数的取值范围为.故选：D8．（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中学校考期中）若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案.【详解】关于x的方程有两个不等的实数解，即与的图象有两个交点，画出的图象如图，由图象可得：.故选：A.题型四：求函数零点或者方程根的个数问题9．（2023上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数，若的零点个数为2，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出的图象，令，利用数形结合思想即可求解的范围.【详解】由题知，函数，作出的图象，利用数形结合思想可知：当时，与有两个交点.故选：B.10．（2023上·北京·高一北京四中校考期中）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出的图像，数形结合讨论的取值范围.【详解】因为在上单调递减，单调递增，所以时，在上有最小值为，且，因为在上单调递增，单调递减，所以时，在上有最大值为，所以函数图像如图所示：所以关于的方程有两个解的的范围为.故选：.11．（2023上·北京海淀·高一首都师范大学附属中学校考期中）已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】转化为与的图象有2个不同的交点，结合图象可得答案.【详解】函数的图象如下图，方程有且只有两个不相等的实数根可看作的图象与的图象有2个不同的交点，可得.故选：A.12．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设，设，根据已知作出函数的图象，结合零点存在定理以及函数的增长速度的快慢，即可得出答案.【详解】设，设，则.又，所以1是函数的一个零点；因为，，所以，.又，，所以，.根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点；因为，，所以，.又，，所以，.根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点.结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.故选：C.题型五：比较零点大小问题13．（2023上·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解．【详解】解：函数，，的零点，即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，如图所示：由图可得.故选：B14．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，，满足，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系.【详解】在同一平面直角坐标系内作出的图像过点；过点；过点；过点，则与图像交点横坐标依次增大，又与图像交点横坐标分别为，则.故选：C15．（2022上·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，所以，函数为上的增函数，且，，因为，由零点存在定理可知；构造函数，因为函数、在上均为增函数，所以，函数为上的增函数，且，，因为，由零点存在定理可知.因为，则，因此，.故选：B.题型六：零点之和问题16．（2023上·山东泰安·高一统考期中）已知函数，方程有三个解，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.【详解】，，即，即，设，函数定义域为，，函数为奇函数，，不妨取，则，，.故选：B.17．（2023上·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.【详解】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.18．（2022上·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果.【详解】由题意作函数与的图象，∵方程有四个不同的解且，∴关于对称，即，当得或，则，由题知，，故，所以，故，因为，设，则由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，的取值范围是故选：B.题型七：用二分法求函数f(x)零点近似值19．（2023上·广西·高一校联考阶段练习）新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，先求出的符号，根据二分法结合零点存在定理，即可得出答案.【详解】令，可知，.又，则，所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.又，所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.故选：B.20．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数在上是连续不断的曲线，由于，所以，由零点存在性定理可得：的零点所在区间为，所以方程在区间内一定有根.故选：C.21．（2023上·全国·高一专题练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案.【详解】由表格可得，函数的零点在之间．结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选：C.题型八：函数与方程的综合问题22．（2023上·北京西城·高一北师大二附中校考期中）已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为.(1)求的解析式；(2)当，时，求函数的最小值（用m表示）；(3)若函数在上只有一个零点，求a的取值范围.【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可；（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于的不等式，解出即可．【详解】（1）设函数，由对称轴为，函数在R上最小值为可得得，将代入得：，故；（2）的对称轴为，时，在,递减，，时，在,递减，在,递增，故，时，在,递增，故；综上，；（3）在上只有一个零点，当时，即，解得或当时，，不满足题意，舍去，当时，，满足题意，当时，当，解得，此时在上只有一个零点，由于，当时，此时，此时，解得或（舍去），满足条件，综上可得，综上：的取值范围是．23．（2023上·北京西城·高一北京育才学校校考期中）函数，其中.(1)若，求函数在区间上的值域；(2)若函数有两个正数零点，，（i）求的取值范围；（ii）求的最小值以及取到最小值时的值.【答案】(1)；(2)（i），（ii）时的最小值为4.【分析】（1）根据二次函数性质求在已知区间上的最值，即可得值域；（2）（i）由二次函数根的分布列不等式组求参数范围；（ii）应用根与系数关系得，结合基本不等式求最小值，进而确定的值，结合即可得的值.【详解】（1）由题设，故最小值为，又开口向上且对称轴为，则上最大值，综上，函数在区间上的值域为.（2）由函数有两个正数零点，，（i）所以，则.（ii），则，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，此时.24．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）已知函数（，且）过定点A，且点A在函数，的图象上．(1)求函数的解析式；(2)若定义在上的函数恰有一个零点，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）把定点A代入函数的解析式求出的值即可；（2）问题等价于在上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【详解】（1）函数（，且）过定点，函数的图象过点，即，解得，函数的解析式为.（2）函数定义在上，在上恒成立，可得，令，得，设，函数在上恰有一个零点，等价于在上恰有一个零点，函数图像抛物线开口向上，对称轴，若，无解，不成立；若，解得，满足题意；若，无解，不成立；若，解得，满足题意.所以实数k的取值范围为.【双基达标】单选题25．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二分法的计算方法即可判断.【详解】因为，，，则根应该落在区间内，根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.故选：D.26．（2023上·北京西城·高一北师大二附中校考期中）已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.【详解】令，显然有且且，于是有，设，它的图象如下图所示：因此要想函数有三个零点，只需，故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.27．（2023上·江苏宿迁·高一统考期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可.【详解】设，因为二次函数的两个零点都在区间内，所以，则，即，故实数的取值范围是：.故选：C.28．（2023上·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，所以函数的零点所在区间为.故选：B.29．（2023上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知，．(1)关于x的方程有两个正根，求实数a的取值范围；(2)解不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）方程有两个正根，，解得答案.（2）考虑，，三种情况，根据对应方程的根的关系得到不等式的解.【详解】（1）方程有两个正根，设为，，则，解得.（2）①当时，不等式可化为，故；当时，设方程的两根为、，则，，，②若，则，，故或，③若，（i）当，即时，，故，（ii）当，即时，不等式无解．综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或．30．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数．(1)若，作出的函数图象并求的单调递减区间；(2)讨论关于的方程的解的个数．【答案】(1)图象见解析；单调递减区间为(2)答案见解析【分析】（1）根据函数解析式可作出函数图象，结合图象可得单调区间；（2）将问题转化为与交点个数的讨论问题，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）当时，，由此可作出图象如下图所示，结合图象可知：的单调递减区间为.（2）当时，，是方程的一个解；由得：，令，则方程解的个数即为与的交点个数，作出图象如下图所示，结合图象可知：当时，与有两个不同交点；当时，与有四个不同交点；当时，与无交点；综上所述：当时，方程有三个解；当时，方程有五个解；当时，方程有唯一解.【高分突破】一、单选题31．（2023上·云南昆明·高一昆明八中校考期中）已知，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，分类讨论的范围，再结合基本不等式即可得到的范围.【详解】因为函数，若，不妨设，当时，由，可得，即，不成立；当时，由，可得，即，不成立；当时，由，可得，则，所以，即，当且仅当时，等号成立，且，所以等号取不到，则.故选：A32．（2023上·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据零点存在定理判断．【详解】由题可知函数为增函数，结合零点存在定理知在区间上必有根．故选：C．33．（2023上·浙江杭州·高一校联考期中）已知，若满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出函数图像，，设，得到，利用均值不等式计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示，设，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，故，故选：C.34．（2023上·浙江杭州·高一校联考期中）下列方程中不能用二分法求近似解的为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二分法的定义一一判定即可.【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法，对于A，显然在定义域上单调递增，且，可以使用二分法，故A错误；对于B，在定义域上连续，有，可以使用二分法，故B错误；对于C，在定义域上连续，且有，可以使用二分法，故C错误；对于D，，且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确.故选：D35．（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可.【详解】因为为奇函数，所以关于对称，则关于对称，即，当时，，当时，，则，所以，则，因为，则或，解得或，所以.故选：A36．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C二、多选题37．（2023上·湖北十堰·高一郧西县第一中学校联考期中）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数a的取值可以是（）A．1 B． C． D．【答案】ACD【分析】令，原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，画出函数的图象如图，结合图象即可得出答案.【详解】令，则原方程化为,由方程有4个不同的实数根，易知方程在时有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，作出函数的图象如图，由图象可知，当时，函数与有2个不同的交点，即所求a的取值范围是[1,).故选：ACD.38．（2023上·重庆·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（）A． B．C．与的图象关于对称 D．【答案】ABD【分析】由函数与互为反函数，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得.【详解】由，得，，即可得，即有，，而不在的图象上，故的图象与的图象不关于对称.因为函数与互为反函数，关于对称，又因与垂直，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，则，，由反函数性质知关于对称，则，，故选：ABD39．（2023上·贵州·高一统考期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，对应值表如下：在下列区间中，一定包含零点的区间是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用零点存在定理可得结论.【详解】由表格中的数据可知，，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线，所以，一定包含零点的区间是、、.故选：BCD.40．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．在上有675个零点【答案】ABD【分析】根据解析式可直接求得的值，判断A；根据时的性质，利用变量代换，推出此时函数的周期，结合解析式，即可求值，判断B，C；利用函数周期以及，推出，即可推出，即可判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，即，则，即得，则，即时，6为的周期；，B正确；对于C，由B的分析可知，，故，C错误；对于D，当时，,，此时函数无零点；由于，则，故，则，由于，故在上有675个零点，D正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据时的性质，利用变量代换，推出此时函数的周期，从而判断D选项时，结合周期和，推出，即可求出在上的零点个数.三、填空题41．（2023上·江西抚州·高一统考期中）若关于的一元二次方程有实数根且，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，结合函数图象有交点问题求解即可.【详解】函数的图象是顶点为，开口向下的抛物线，直线与其有两个交点，且满足条件，得到．故答案为：.42．（2023上·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，将函数零点问题转化为方程根的问题，然后分离参数，构造函数，即可得到结果.【详解】，设，，令在上单调递减，故.故答案为：43．（2023上·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为时，至少需要进行次函数值的计算.【答案】4【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解.【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.44．（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是【答案】【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解.【详解】由方程等价于，设，可得，即方程等价于在上有两个不等的实根，设，则满足，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.45．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】为二次函数，当，方程两解，问题等价于方程在区间上有两个不同实根，结合二次函数的图像与性质列不等式求解.【详解】考虑方程，由的图象得：当时，方程无解；当或时，方程一解；当，方程两解．故方程有4个不相同的实数根，等价于方程在区间上有两个不同实根，则，解得：，所以实数a的取值范围为．故答案为：．四、解答题46．（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）已知为偶函数，为奇函数，且满足．(1)求，；(2)若，且方程有三个解，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）结合函数奇偶性将代入条件中可得答案；（2）转化为、共有三个解求的取值范围，结合图象可得答案.【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，所以，，由①，得即②，①②可得，①②可得；（2）由（1），方程，可得或，即或，当时，由下图可得与的图象有两个交点，所以要使方程有三个解，只需有一解即可，即与的图象只有一个交点即可，由图象可得或，解得或.综上，实数的取值范围为或．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是转化为，有三个解求的取值范围，结合图象求答案.47．（2023上·江苏苏州·高一江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知函数是定义域上的奇函数，且．(1)判断并证明函数在上的单调性；(2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在