《高等代数》 课程教案

《高等代数》课程教案

课次|1|学时|2授课类型其它(复习课)

授课章、节：复习

0教学目的、要求：系统复习多项式、行列式、向量相关性、矩阵等理论，加深理解。

教学重点及难点：多项式、行列式、矩阵、方程组

教学基本内容教学方法

一、多项式系统、复

1、一元多项式(零多项式)次数.相等，运算律，一元多项式环.2、整除的概念及其基本性习与串

质.带余除法；多项式的整除性不因数域的扩大而改变.最大公因式和互素：最大公因讲

式，互素的概念；最大公因式的存在性和求法一根转相除法：3、不可约多项式；性质：

WeF[x]np(x)|f(x),or(p(x)J(x))=I,p(x)\f(x)g(x)np(x)\f(x)orp(x)\g(x);整系数多项式在上可

约。它在整数环上可约.Eisenstein判断法.因式分解及唯一性定理；次数大于零的复

系数多项式分解成一次因式的乘积：次数大于零的实系数多项式分解成一次因式和二次

不可约因式的乘积.重因式.4、多项式函数，根和重根；余数定理；整系数多项式的有理

根；实系数多项式虚根成对；代数基本定理.F[x]中〃次多项式(〃20)在至多有〃个根.函

o数相等与多项式相等一致.

二、行列式理论

1.〃级排列逆序，逆序数与奇偶排列；加个〃级排列，奇偶各半，对换改变奇偶性，

任意一个〃级排列都可以经过一些对换变成自然顺序.2.n级行列式的概念；3.行列式

的性质：行列互换，不变；互换行(列)，变号；数乘某行(列)，等于数乘这个行列式；把

某行(列)的倍数加到另一行(列)，不变；按行(列)分解为两个行列式的和；两行(列)成

比例，行列式等于零；4.行列式依行依列展开代数余子式，用代数余子式计算行列式

5、行列式计算定义法；化为三角形；化为范得蒙行列式；拆行(列)法；降级法；加边

法；数学归纳法；递推法；因式分解法

三、向量与方程组

1、向量的线性关系〃维向量及线性运算，线性组合，线性相关，线性无关，极大线性

无关组，秩，向量组等价.向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余

的向量的线性表出.设向量组中每一个向量都是向量组尸|,772,…，民的线

0性组合，而且，>$,那么向量组%必线性相关-2、矩阵的秩矩阵的秩=矩

阵行(列)向量组的秩=不为零的子式的最大级数.初等变换不改变矩阵的秩.3、线性方

程组的解线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广矩阵秩相同.解的个数：rankA=〃时

有唯一解；rank>4=r<“时，九是线性方程组的一个特解，…是导出组的基础

解系,线性方程组的任一解/表成/=%+3+&%+…+廉,％_,其中《,月,…，射是任意数.

齐次线性方程组总有解：rankA=〃时只有零解；rankA=厂<〃时有无穷多解，任意

n-r个线性无关的解向量小用2,…中I是它的基础解系，全部解可表示为

"访+32+…其中占，出2,…人-r是任意的数•

四、矩阵

1.运算加法与减法；数乘；乘法，并且若A,6是〃级矩阵，则可逆矩阵.

2.矩阵运算律加法交换与结合律，乘法的结合律，数乘与乘法关于加法的分配律；

(A-1)-1=A,(A-)'=(4尸=B''A-'.EA=A,AE=A,(A+B)'=^+B',蝴=树，(AB)'=幽,注意：

AB^BA-,4。0,3#0,可能43=0.3.几种特殊的矩阵数量矩阵，对角矩阵，三

角形矩阵，对称矩阵，反对称矩阵.4.n级矩阵A可逆O初等变换化A为单位矩阵

0A为初等矩阵的乘积<=>A的秩为n=A的行列式|A隹0.初等变换求逆矩阵

5.秩(A±B)V秩A+秩秩(A8)Vmin(秩A,秩6.三种初等矩阵P(i(c)),

分别对应于三种初等变换.对矩阵A作初等行(列)变换，相当于用对应的初等矩阵左

(右)乘A.矩阵等价及标准形.7.分块矩阵的运算.

作业、讨论题、思考题认真向量与矩阵有关运算和性质

参考资料、主要外语词汇:

1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

课后小结：

《高等代数》课程教案

课次2|学时|2授课类型理论课

授课章、节：第五章二次型§1二次型的矩阵表示

0教学目的、要求：理解二次型和非退化线性替换；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的

对应关系；理解合同概念及性质.

教学重点及难点：矩阵的合同关系

教学基本内容教学方法

一、二次型及其矩阵表示黑板讲

2授

二次齐次多项式/0”2，,X„)=(ZIIXI+2O12I]X,++2%,X再++2fl2„X2X„+

称为数域尸上的一个〃元二次型，简称二次型.

定义1设再，…,％;必，…，y“是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

fx,=cliyi+cl2y2+---+cil,yn,

产=。2函+。22%+…称为由的,...,x,到“的一个线性替换，或

〔X”+%2y2+…+的“丁"

简称线性替换.如果系数行列式匕卜0,那么线性替换⑵就称为非退化的.线性替换

把二次型变成二次型.

A=(%)&=%)为二次型，％")==ZZ%%F的矩阵，A'=A.二

i=lj=l

次型和它的矩阵是相互唯一决定的.

设二次型f(xl,x2,---,xn)=X'AX,A=A',作非退化线性替换X=CY得到一个

%,为，…，L的二次型YVK

二、矩阵的合同关系

定义2数域P上两个〃阶矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的〃x〃矩阵C,

0使得6=C：4C.

合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质：

1)自反性:任意矩阵A都与自身合同.

2)对称性：如果8与A合同，那么A与8合同.

3)传递性:如果8与A合同，C与8合同，那么。与A合同.

经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。

在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自

然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换

X=CY

是非退化时，由上面的关系即得

Y^C'X.

这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以

推知原来二次型的一些性质.

作业、讨论题、思考题认真思考二次型与矩阵的对应关系

参考资料、主要外语词汇：

1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

二次型quadraticform非退化non-degenerate

相合congruent对称矩阵symmetricmatrix

课后小结：

《高等代数》课程教案

课次3I学时2授课类型理论课

授课章、节：第五章二次型§2标准形

教学目的、要求：熟练掌握化二次型为标准形的方法（配方法、初等变换法）。

教学重点及难点：深刻理解矩阵的标准形形

教学基本内容教学方法

一、二次型的标准型黑板讲

最简单二次型是只包含平7?■项的二次型4才+4后+…+d“x；,矩阵为对角形.矩授

阵为对角形的二次型就只包含耳'方项.

定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替力奂变成平方和的形式.

定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对南3版阵.

对于任意一个对称矩阵A味不可以找到一个可逆矩阵（:使CAC成对角矩阵.

二次型…，％）经过非退化线性替换所变成的平方和称为标准形.

例化二次型/（内，％2,…，2%3为标准形.

x„）=2X]X2+2%43-6%例题讲

二、配方法解

项=M-汇6；“”八1~a\\a\2…~a\\a\n

1.%]工0,这时的变量替换为j=201•••0，则相

%=力，'

(00…>)

.x“=y„■

z2&2n

应合同变换A—AC,,令a=（%2，‘％”),A=

2ann7

A=(a'\'x_1-aa

xx，这里a为a的转置，L:“T为〃一1级3R位矩阵.

U,j一[oE.

i\n-i

/'iy；[/«ua\10、

0C；AC产\0

、。E，J、04-"Maj黑板讲

-q]aE_八。)\-d^a'a)

nx授

矩阵A-ai^aa是对称矩阵,存在可出匕矩阵G使G'（A1-a^ara)G-。为对角形，令

Jl0r%40]

，于是G'C"GG二

\oG“（）A-a~'a&人0G)、0D),

这是一个对角矩阵，我们所要伊

J可逆女巨F2二就是C=CjC2

2.a”=0但只有一个%.。0.

3.a(i=0,i=1,2,…，〃，但有一q)丰0,"1.

4.aXj-0J=1,2,•••,«.后面几种情况通过初等变换化为第一种情况.

例化二次?x成标,隹形.例题讲

S}/(XPX2,X3)=2A1%2+2xt3-6X2X3

解

作业、讨论题、思考题P232123,4,5,6P2341,2

参考资料、主要外语词汇：

1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

二次型quadraticform非退化non-degenerate对称矩阵symmetricmatrix

课后小结：

《高等4代数》课程教案

课次4学时2授课类型理论课

授课章、节：第五章二次型§3唯一性

0教学目的、要求：完整论述，上二次型的规范形的唯一性；正确理解惯性定理。

教学重点及难点：规范形与惯性定理

教学基本内容教学方法

在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯-一确定的，与所作的非黑板讲

退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.在-•-般数域内，二次型的授

标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关.

设/（再，彳2,…,X“）是一个复系数的二次型，经过一适当的:IE退化线性替，奂后，

/（%，工2,变成标准形dtyf+d2y>2+♦•+4/；,410,z=1,2,…，r.再作一非

退化线性替换变成Z；+Z；+…+Z；称为复二次型f（xl,x2,---,x“）的规范形.

定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范

形是唯一的.

任一复数对称矩阵合同于（E,oy两个复数对称矩阵合同当且仅？，它们的秩相等.

olooj

设/（山，々，…,招）是一实系数的二次型.经过某一个非退化线性替换，变成，乐准形

+,,+%#-%+15*---------------d£,其中d；>0,i=l,2,---,r；r是

/（司,工2,…,X“）的矩阵的秩.变成Z：+Z；H-----FZ；-Z；+1-,—Z；,称为实一二次型

/（不，》2产、七,）的规范形.显然规范形完全被r,p这两个数所决;t.

定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且

规范形是唯一的.这个定理通常称为惯性定理.

定义3在实二次型/（王，々，…，％）的规范形中，正平方项的个数p称为

…,x“）的正惯性指数；负平方项的个数r-p称为/（;：1，无2,…,后）的负惯性

黑板讲

指数；它们的差/?一（八一.）=—尸称为的符-手差.

2/?授

惯性定理也可叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方-项的个数是唯一的，它

等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.

定理5（1）任一复对称矩阵A都合同于对角矩阵其中厂=rankA.

1。o）

（Ep00、

（2）任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵

o-Ef0

、oo0,

唯一确定的p,厂一〃分别称为A的正、负惯性指数，它们的差2/2-r称为A的东F号差.

o

作业、讨论题、思考题—345,6—3,4,5深刻理解二次型的规范形与惯性定理

参考资料、主要外语词汇：

1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

二次型quadraticform负惯性指数negativeindexofinertia

符号差Signature正惯性指数positiveindexofinertia

课后小结：

《高等代数》课程教案

课次5学时2授课类型理论课

授课章、节：第五章二次型§4正定二次型

0教学目的、要求：掌握正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵的等价条件。

教学重点及难点：正定、半正定的充要条件

教学基本内容教学方法

0

o

一、正定二次型黑板讲

定义4实二次型〃片,々,…,x“)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数授

。112,…,％都有f(Cl,C2,---,Cn)>0.

2

实二次型/(x1,x2,--,xn)=</lxl+</,%2+…+4/；是正定的当且仅当4>0,Z=1,2,…,”.设

实二次型〃为,々，，%)=X'AX是正定的，经过非退化实线性替换乂=。丫变成二次

型g(M，%，，笫)=y'3y也正定•非退化实线性替换保持正定性不变•

二、正定二次型的判别

定理6实数域上二次型…是正定的o它的正惯性指数等于〃•

正定二次型•••,*“)的规范形为y：+y；+…+y>

定义5实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定.

实对称矩阵是正定的。它与单位矩阵合同.

推论正定矩阵的行列式大于零.

“11%即

定义6子式的a22a2iz._,称为矩阵A=(%)〃”的顺序主子式.

片=(I—1,2,,〃)0

即%%

定理7实二次型/(百,々,…,々)=££询尤为=*如是正定的0矩阵4的顺序主子式

；=|；=i

全大于零.黑板讲

授

例判定二次型/(%,,x2,x3)=5x：+%；+5x；+4X1X2-8%I%3-4%工3是否正定.

定义7设了a,/,…,x")是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数d&，…，1都

有…,c“)<0,那么/(为①「2,,)称为负定的；如果都有/(q,C2,…,％)20,那么

/(为,々,…，与)称为半正定的；如果都有/(c”％…，C.)40,那么，再,称为半

负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么/(士用,…,x,)就称为不定的.

定理8对于实二次型/(七,乙,…,x,)=XAX,其中A是实对称的，下列条件等价：

(1)/(花,々，…,招)是半正定的；(2)它的正惯性指数与秩相等；

(3)有可逆实矩阵C,使(4］其中4N0,i=L2,；

C'AC=出_

\d〜

(4)有实矩阵。使4=。'。.(5)A的所有主子式皆大于或等于零；

注意，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.

◊设A为〃级实矩阵，且网。()，则A'A,A4'都是正定矩阵.

◊设A为〃xm实矩阵，则A'A,A4'都是半正定矩阵.

◊设A是〃级正定矩阵，则k>0时，AL后AA*.A"都是正定矩阵.

作业、讨论题、思考题P2339,10,14,15,16,17P1353,4,5,6,7,8深刻理解正定的充要条件

参考资料、主要外语词汇:

1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

二次型quadraticform正定positivedefinite正规形normalform

不定的indefinite半负定negativesemidefinite半正定positivesemidefinite

课后小结:

《高等代数》课程教案

课次习题课

6学时2授课类型

授课章、节：第五章二次型

0

教学目的、要求：深刻理解二次型与对称矩阵合同诱导的标准形、规范形

教学重点及难点：教学内容的总结、典型解题方法的学习

教学基本内容教学方法

一、教学内容系统总

二次型与矩阵：二次型；二次型的矩阵和秩；非退化线性替换；矩阵的合同.（1）非退化线性替

结

换把二次型变为二次型.（2）二次型/（西,々,…,x.）=X21X可经非退化的线性替换X=CY

全面复

化为二次型/'（%%•••,%）=y"QB=C4c.（3）矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.

述

标准形：配方法.（1）数域P上任意一个二次型/（不刍，…，匕）都可经过非退化的线性替换

X=。化为标准形式4y：+4仃+…+4曰⑵数域P上，任意对称矩阵都合同对角矩阵.

唯一性：复二次型的规范形；实二次型的规范形，正惯性指数、负惯性指数、符号差.（1）任

一复二次型人知与,…,匕）都可经过非退化的线性替换x=c化为唯一的规范形式

z；+z；+…+z；,r=/的秩.两个复对称矩阵合同o它们的秩相等.（2）惯性定律:任一实二次

型/（xpx2,•••,%„）都可经过非退化线性替换X=CY化为唯一的规范形式

z；+…+z；-z1]----z：,r=f的秩，P为/（8用,…,X"）的惯性指数.两个“元实二次型可经过

非退化线性替换互化O它们分别有相同的秩和惯性指数.（4）实二次型的标准形式中系数

为正的平方项的个数等于正惯性指数唯一确定，系数为负的平方项的个数等于负惯性指数.

正定二次型正定二次型，正定矩阵；顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二

次型，不定二次型.（1）非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.（2）实二次型

f（xl,x2,---,xn）=X'AX正定当且仅当①A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵P,使得

A=PP；或②A的顺序主子式都大于零.或③/（七,々,…,七,）的正惯性指数等于〃•

二、例题讲解

例1.设A,B是”阶对称矩阵,B是非奇异的.又设|4一/1例=0的根4，/12「一，4,互异，X,分

别是齐次线性方程组（A-4B）=0的非零解（i=l,2,…,〃），证明：x-x”…,X“线性无关.

例2.设A,B,C为〃阶方阵，且”正定，证明：C-BN-'B也是正定的.

[8C）举例讲

2解

例3.设实二次型/（天用，七）=£（%8++ainx„）,证明：/的秩等于矩阵A=（%）的秩.

1=1

例4.设A是n阶实对称矩阵，证明：存在正实数c使对任一个实n维向量X都有R网4cXX

例5.证明：⑴如果££q,x,x,（a,=",）是正定二次型，心、、"是负定二次型；（2）如果

A是正定矩阵，那么同〈a,,,11,这里2T是4的〃一1阶的顺序主子式.（3）如果A是正定

矩阵，那么年aua22…j⑷如果7=%）是〃阶实对称矩阵，则|中=立《+…+*）.

;=1

例6.证明：实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是A的一切主子式全大于或等于零（所

“宿44a'A

谓k阶主子式是指形为a,,a,.,…的k阶子式，其中.

IioJT14'IK

作业、讨论题、思考题：系统总结矩阵合同与二次型理论

参考资料、主要外语词汇：

1、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

课后小结：

《高等4代数》课程教案

课次7|学时|2授课类型理论课

0I

授课章、节：第六章线性空间§1集合映射

教学目的、要求：掌握映射、单射、满射(映上的映射)、一一映射、逆映射等概念

教学重点及难点：映射与变换满足结合律及可逆的条件

教学基本内容教学方法

一、集合黑板讲

集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的授

东西称为这个集合的元素.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.

列举法、描述法.M={0|a具有的性质}不包含任何元素的集合称为空集，记作

如果两个集合M与N含有完全相同的元素，那么它们就称为相等，记为.如果

集合M的元素全是集合N的元素，那么M就称为N的子集合，记为MuN或

NnM.MuN,NuM=M=N.设M和N是两个集合,既属于M又属于N

的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为MPIN.属于集合M或者属于集合N

的全体元素所成的集合称为M与N的并，记为MUN.

二、映射

设两个集合M,AT,所谓集合M到集合M'的一个映射就是指一个法则，它使M中每

一个元素。都有中一个确定的元素,与之对应.如果映射(7使元素与元素

a&M对应，那么就记为cr(a)=a',a’就为a在映射cr下的像，而a称为,在映射er下

的一个原像.M至，自身的映射，有时也称为M到自身的变换.集合M到集合“'的

两个映射cr及？，若对M的每个元素。都有cr(a)=r(a),则称它们相等，记作cr=r.例题讲

例1整数集，2偶数集，定义＜7(〃)=2”,凡e，这是到2的一个映射.解

例2MeP"x",定义,(A)=|A|,AwM.这是M到P的一个映射.

例3MeP"x",定义=E单位矩阵，这是P到M的一个映射.

例4W(x)e”幻，定义cr(/(x))=f\x)这是P[x]到自身的一个映射.

例5设3a0eM',定义cr(a)=/，aeA/.这是"到W的一个映射.

例6设M是一个集合，定义＜r(a)=a,aeM.即o•把M的每个元素都映到它自身，

称为M的恒等映射或单位映射，记为1”.

例7函数y=/(x)是实数集合到自身的映射，函数是映射的特殊情形.

黑板讲

对于映射可以定义乘法，设。及r分别是集合M到M',M'到M"的映射，乘积r定

授

义为(Tcr)(a)=r(cr(a)),a&M,即相继施行er和T的结果，w是M到的一个映

射.对于集合集合M到M'的任何一个映射b显然都有=crl,%=(7.映射的乘法

适合结合律.设cr,7,〃分别是集合M到“'，M'到AT,AT到的映射，映射乘

法的结合律就是(〃力＜7=设cr是集合M到M'的一个映射，用cr(M)代表M

在映射cr下像的全体，称为M在映射cr下的像集合.显然a(M)uA/'.如果

b(M)=M',映射cr称为映上的或满射.如果在映射。下，M中不同元素的像也一定

不同，即由4N。2一定有b(4)W(7(/)，那么映射(T就称为1—1的或单射.一个映射如

果既是单射又是满射就称1-1对应或双射.对于M到M'的双射CT可以自然地定义它

的逆映射，记为因为。为满射，所以M'中每个元素都有原像，又因为。是单射，

所以每个元素只有一个原像，定义crT(a')=a，当b(a)=a'.显然，＜7^是A/'到M的

一个双射，并且0"一»=1,"，皿一|=1"，.不难证明，如果cr,r分别是M到AT,到

的双射，那么乘积q就是M到M”的一个双射.

作业、讨论题、思考题P2651,2深刻理解映射与变换的运算与意义

参考资料、主要外语词汇：

1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.

集合set变换transformation单射injection满射surjection

双射bijection单位映射identitymapping逆映射Inversemapping

课后小结：

《高等4代数》课程教案

课次8学时2授课类型理论课

授课章、节：第六章线性空间§2线性空间的定义与简单性质

0教学目的、要求：正确理解和掌握线性空间的定义及性质，会判断一个代数系统是否是线性空间。

教学重点及难点：线性空间的定义

教学基本内容教学方法

一、线性空间的定义.

例1在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.平行四边形法则所定义的向量的加法，

实数与向量的乘法.这两种运算空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.

例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.

定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运

算，叫做加法：对于V中任意两个向量a与。，在V中都有唯一的一个元素?与它们对

应，称为a与，的和，记为y=a+〃.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运

黑板讲

算，叫做数量乘法：对于数域P中任一个数人与V中任一个元素a,在V中都有唯一的

授

一个元素6与它们对应，称为攵与a的数量乘积，记为8-ka.如果加法与数量乘法满

o足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.

加法满足下面四条规则：1)a+/3=p+a\2)(a+£)+y=a+(6+/);3)F中有一

个元素0,VawY,都有a+0=a(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；4)

VaG匕m/?G匕使得a+Z?=O(£称为a的负元素).

数量乘法满足下面两条规则：5)la=a；6)k(la)-(kl)a；

数量乘法与加法满足下面两条规则：7)(A+/)a=hr+/a；8)k(a»=ka+k"

在以上规则中，％]等表示数域P中任意数；a,夕,丁等表示集合V中任意元素.

例3数域尸上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个

数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于〃的多项式，再添上零多项式也构成数

域P上的一个线性空间，用“表示.例题讲

例4元素属于数域P的〃2X"矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P解

0上的一个线性空间，用P"'x"表示.

例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.

例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.

例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间：

1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘

法：aa=0,ae7?,«GV.

2)R上〃次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法.

例8设V是正实数集，R为实数域.规定：a㊉户=a^(即a与月的积