奥本海姆信号与系统中文版课后习题答案

i.对一个uri系统，我们已知如下信息：输入信号x⑺=4e2'”(—r)；输出响应

y(t)=e2,u(-t)+e~2'u(t)

(a)确定系统的系统函数H(s)及收敛域。

(b)求系统的单位冲激响应h⑴

(c)如果输入信号x(t)为x«)=e-',-8<f<+8求输出y(t)。

-11-4

解：(a)X(s)=——,Re{s}<2,y(s)=---1---=--------,<-2Re{5)<2

s-2s—2s+2(s—2)(s+2)

“(s)=」一,Re{s}>-2

5+2

(b)h(t)=e~21u(t)

(c)y(f)=[e~[t~T)e~2xu(S)dT=e-t;y(t)==e~l.

J—30

2.已知因果全通系统的系统函数〃(s)=±1，输出信号y(f)=e-2，〃(。

s+1

(a)求产生此输出的输入信号x⑴.

(b)若已知1|x(t)\dt<oo,求输出信号x(t).

J—00

(c)已知一稳定系统当输入为e-2%«)时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出

系统的单位冲激响应h(t).

解：(a)

丫⑸_s+i

丫⑸=士。Re{s}>—2,X(s)

H(s)(s-l)(s+2)

由于H(s)的ROC为Re{s}>T,X(s)的ROC为-2VRe{s}<1或Re{s}>1

i?

若AOG为-2<Re{s}〈l,则玉=⑴一

21

若ROC?为Re{S}>1.x2(t)=1(e-+2d)〃⑺

(b)若J|x(t)由<oo,则只能是=

I2

即：x(r)=qe，〃(/)一

(c)y(t)=x(t)=；Y(s)=——：：]，—2<Re{s}<1

33(s-l)(s+2)

v+i

==-—,这就是(a)中系统的逆系统。

X(S)5—1

由于系统稳定.•・ROC为uc(t)Re{s}<1

/z⑺=3⑺-2d〃(T)

・.・Y(s)的ROC为Re{s}>—2,二X(s)的ROC为-2vRe{s}<1

x(t)=ge""⑺一2d"(-r)

y(f)*h(t)=e~2'u(t)—2e~2lu(t)*e'u(—t)

当t>0时，e~2'u(t)*e'u(-t)=(°ere~2(,'r}dr=-e~2,u{t}

J-83

当t<0时，⑺*""(—a=『ere~2(,'r)dt=^e~2,u(-t)

i2

y«)*h(t)=-e"2,u(f)--e'u(-t)=x(t)

从而证明该系统当输入为)C),输出为x(r)

3.对差分方程

y(")+之y(〃-1)+Jy(n-2)=x(〃)+《x(〃-1)

oo2

所确述的LTI稳定系统，确定

(a)系统函数;(b)单位脉冲响应;

(c)若系统输入x(〃)=〃(〃)，求系统的响应＞'(»)；

如果系统输出)，(〃)=[2(-1)n-3(—g)"]〃(〃)，求系统输入信号x(〃)。

(d)

1+-Z-1

r(z)2

解：(a)"(z)=—^，ROC"Z|>Q

'⑶"”上2l+-z-'3

3

(b)h(n)-w(n)

1

丫⑶;占1(13

(c)11-Z了+—),ROC:|z|>l

l+N1

1+3Z

3

,、3/、1

y(〃)=：〃(〃)+：u(n)

44

23

y⑶=「---------—

1--Z-|1+-Z-'

312,ROC：|z|>|

(d)

2z-'-1112

(l-lz-'Xl+^z-1)

丫⑶a+/(2zj)

X(z)——：：

”(z)(1-1Z-')(1+AZ-')

4.某离散时间LTI因果系统在z平面上的零极点如图P7.17所示。已知系统的单位脉冲响应

/?(〃)的初值〃(0)=1。

jlm{z}

-1/2102

图P7.17

(a)确定系统函数；

(b)求系统的单位脉冲响应；

(c)写出系统的差分方程；

(d)若系统的响应y(〃)=(-;)"〃(〃)，求系统激励x(〃)；

(e)求出一个满足该系统差分方程的稳定系统的单位脉冲响应。

解：(a)H(z)=——：------------4=1.由〃(0)=1得

(l+|z-1)(l-2z-1)

114

(b)H(z}=—(--：---+-------r)

h(n)=—(一~-)nw(n)+2nu(n)

42

3

(c)y(n)--y(n-1)-y(n-2)=x(n)

1

,1

1+-Z

丫⑶

(d)X(z)2l-2z-1

”(z)1

(l+-z-')(l-2z-')

5.考查图P8.2所示的离散时间LTI稳定系统;

x(〃)

(a)确定该系统的系统函数及收敛域；

(b)求出系统的频率响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应;

(c)如果系统的输入甚Q)=(—1)",求系统响应x(f)；

(d)若系统输入%⑺=(―1)"〃(〃)，求系统响应为”)；

2

(e)当系统响应y(〃)=+(-耳)"]〃(〃)，求系统的输入信号工(〃)。

75

1+-Z4

解：(a)412—+12收敛域恸＞3

,-1l+lZ-1

393

单位脉冲响应/?«)=((-)"u(n)+^

(b)〃(〃)

27

(c)

lo

1+产1

(d)X(Z)="(Z)X2(Z)=

1"

717525

必⑺飞(/〃(〃)-记(-1)""⑺+/”(〃)-尸)"〃(〃)

2+-Z-

13

(e)r(z)+717

l+-z-1(l--z-1)(l+-z-1)

十333

l+-z-1-*12+上

Y(z)

X(z),2

”(z)(1-1-')(1|-')

Z+Zl+-z-1l+-z-'

44

x(n)=2-(-lrM(n)+l(-ir-M(n-l)

6.序列是某一LTI系统当输入为s[〃]时的输出，该系统由下列差分方程描述

其中0<a<l。

(a)求系统函数

并在z平面上画出它的极点和零点。

(b)我们要用一个LTI系统从H