备考2022年中考数学一轮复习-图形的性质-三角形-全等三角形的判定与性质-综合题专训及答案

备考2022年中考数学一轮复习-图形的

性质—三角形—全等三角形的判定与性质

-综合题专训及答案

全等三角形的判定与性质综合题专训

（2018盘锦.中考真卷）如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为

边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H,连接

CM.

GDE

图3

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段

CD上，如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别

落在线段AD、CD上，如图3,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明

理由.

2、

（2018哈尔滨.中考真卷）已知：是正方形ABCD的外接圆，点E在弧AB上,连

接BE、DE,点F在弧AD上，连接BF,DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA

平分NEDF.

K<.

(1)如图1,求证：NCBE=NDHG;

（2）如图2,在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE

于点L,过点H作HK〃BN交DE于点K,过点E作EP1BN垂足为点P,当BP=HF时,

求证:BE=HK;

（3）如图3,在（2）的条件下，当3HF=2DF时,延长EP交。0于点R,连接BR,若

7

△BER的面积与的面积的差为3,求线段BR的长.

3、

（2017哈尔滨.中考模拟）如图，在aABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中

点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF.

（1）求证：BD=CE；

（2）连接BE,请直接写出4个图中与aBEF面积相等的三角形.

4、

（2019苏州.中考模拟）如图,在Rt^ABC中,ZABC=90°,AB=CB,以AB为直径

的＜30交AC于点D,点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长

线交。0于点G,DF1DG,且交BC于点F.

（1）求证：AE=BF：

（2）连接GB,EF,求证：GB〃EF：

（3）若AE=1,EB=2,求DG的长.

5、

（2017响水.中考模拟）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=60°,对角

线AC与BD交于点0,过点0的直线EF交AD于点E,交BC于点F.

(1)求证：AAOE之△COF；

(2)若NE0D=30°,求CE的长.

6、

(2018莘.中考模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点,

CE1AB,垂足为E,AF1BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.

(1)证明：4CFG丝AAEG.

(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.

7、

(2018中.中考模拟)如图①，已知直线L〃L,线段AB在直线L上，BC垂直

于L交k于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线

分别交k，L于点D,E(点A,E位于点B的两侧，满足BP=BE,连接AP,CE.

(1)求证：4ABP丝4CBE.

(2)连接AD、BD,BD与AP相交于点F,如图②.

8(7

①当初=2时，求证：AP1BD；

BC_8

②当丽=〃缶＞1）时，设aPAD的面积为S,4PCE的面积为S2,求S二的值.

8、

（2017河南.中考模拟）根据要求回答问题：

（1）已知：等边AABC的边长为4,点P在线段AB上，点D在线段AC上，且

△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1）,AD+AE的值为；

（2）［类比探究］在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1,其余

条件不变（如图2）,AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；

（3）［拓展迁移］如图3,AABC中，AB=BC,NABC=a，点P在线段BA延长线上,

点D在线段CA延长线上，在APDE中，PD=PE,ZDPE=a,设AP=m,则线段AD、

AE有怎样的等量关系？请用含m,a的式子直接写出你的结论.

图3

9、

（2019香洲.中考模拟）如图，将等边aABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC,

NACE的平分线CD交EF于点D,连接AD、AF.

(1)求NCFA度数；

(2)求证：AD〃BC.

10、

(2019桂林.中考真卷)如图，AB=AD,BC=DC,点E在AC上.

(1)求证：AC平分NBAD；

(2)求证：BE=DE.

11、

(2013钦州.中考真卷)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=

1

1x?+2x与x轴相交于0、B,顶点为A,连接0A.

求点A的坐标和NAOB的度数;

(2)

1

若将抛物线y=2X2+2X向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m,

其顶点为点C.连接0C和AC,把AAOC沿0A翻折得到四边形AC0C'.试判断其

形状，并说明理由；

(3)

1

在(2)的情况下，判断点C'是否在抛物线y=2X2+2X±,请说明理由.

(4)

若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点0、P、

C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且0C为该四边形的一条边？若存在，请直

接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.、(参考公式：二次函数y=ax?+bx+c

b%l.b

(a#0)图象的顶点坐标为(一五，FF),对称轴是直线x=一五.)

12、

(2015贺州.中考真卷)如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处,

BE与AD相交于点F.若DE=4,BD=8.

(1)

求证:AF=EF；

(2)

求证：BF平分NABD.

13、

(2017三亚.中考模拟)如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的

点E处，过点E作EG〃CD交AF于点G,连接DG.

(1)

求证：△AGEg^AGD

(2)

探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由;

(3)

若AG=6,EG=2S求BE的长.

14、

(2017重庆.中考真卷)如图，AABC中，ZACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,

连接BE.

(1)如图1,若AB=4BE=5,求AE的长；

(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点，过点A作AFLBD于点F,连接CD、

CF,当AF=DF时，求证:DC=BC.

15、

(2013成都.中考真卷)如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，NA=NC=90°,

BD1BE,AD=BC.

(1)求证:AC=AD+CE；

(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点，连接DP,作PQLDP,交直线

BE于点Q；

(i)当点P与A、B两点不重合时，求尸。的值；

(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)

长.(直接写出结果，不必写出解答过程)

全等三角形的判定与性质综合题答案

L答案：

解:如图1,结论：CM=EM,CM±EM.

图1

理由:vADllEF,ADllBC,

.,.BCllEF,

.-.zEFM=zHBM,

在-FME和-BMH中，

FM=BM，

FME=/-BMH

.-.HM=EM,EF=BH,

•.1CD=BC,

.-.CE=CHfvzHCE=90°fHM=EM,

.-.CM=ME,CM±EM.

解：如图2,连接AE,

•.,四朝ABCD和四翊EDGF>IE^形，

.-.zFDE=45°,zCBD=45°,

.••点氏E、D在同TM线上，

vzBCF=90°,zBEF=90°,M为AF的中点,

.•.CM=1AF,EM=1AFr

/.CM=ME,

vzEFD=45°,

/.zEFC=135°,

vCM=FM=ME,

.-.zMCF=zMFC,zMFE=zMEF,

.­.zMCF+zMEF=135°r

oo

.■.zCME=360-1350-135=90°r

/.CM±ME

解:如图3,连接CF,MG,作MN_LCD于N,

在-EDM和-GDM中，

।DE=DG

\/.MDE=/-MDG>

!DM=DM

.-.-EDMs-GDMr

.•.ME=MG,zMED=zMGD,

•••M为BF的中点，FGllMNllBC,

.•.GN=NC,又MN_LCD,

.-.MC=MG,

.-.MD=ME,zMCG=zMGCr

".1zMGC+zMGD=180°,

.-.zMCG+zMED=180°,

.-.zCME+zCDE=180°,

vzCDE=90°,

.-.zCME=90°,

/.(1)中的结论成立

2.答案：

解：证明如图上,四边形ABCD是正方形

/.zA=zABC=90°

,.'zF=zA=90o/.zF=zABC

•.,DA平分NEDF,zADE=zADH

zABE=zADE.-.zABE.=zADF

又•.NCBE=NABC+NABE

zDHG=zF+zADF.,.zCBE=zDHG

II

<;

证明如图,过H作HM_LKD垂足为点M

•.•zF=90o.-.HF±FD3Z..-.DA¥ilzEDF

.-.HIM=FH-.HF=BP.-.HM=BP-.KHLIIBN

.­.zDKH=zDLN-.zELP=zDLN.-.zDKH=zELP

zBED=zA=90°.-.zBEP+zLEP=90°

•.•EP±BN.-.zBPE=zEPL=90o.-.zLEP+zELP=90°

.­.zBEP=zELP=zDKH.HM±KD

.­.zKMH=zBPE=90°.-.-BEPs-HKM.-.BE=HK

解：解如图，连接BD

■.13HF=2DFBP=FH

.•.设HF=2aDF=3a，:BP=FH=2a

由(2)得HM=BPNHMD=90%.NF=NA=90°

/.tanzHDM=tanzFDH,.•.箫=畏=三

,,.DM=3a

•.1E3^ABCD^lE^^.-.AB=AD.-.zABD=zADB=45o

•.•zABF=zADF=zADEzDBF=45°-zABF

zBDE=45°-zADE.-.zDBF=zBDEvzBED=zFBD=BD

.“BED孚DFB.\BE=FD=3a

过点H作HSJLBD垂足为点S

tanzABH=tanzADE=-=

AB=3

.vSAB=3£m,AH=20m

BD==&n,DH=AD=.1H=

sinNADB=HS=m,DS=-HS^=m

.,.BS=BD-DS=5m,

tanNBDE=tanNDBF=铃=g

ZBDE=NBRE./.tanZBRE=卷=§

-：BP=FH=2a,：.BP=10a

在ER上9ET=DKi^接BT由(2)得NBEP=NHKD-BET*HKD

.-.zBTE=zKDH.-.tanzBTE=tanzKDH,♦鬻=3

,,PT3

.-.PT=3a.-.TR=RP-PT=7a

3.答案：

证明：如图1中，

•.'AFiiCD,

,-.zAFE=zDCE,

在-AFE和-DCE中，

乙DCE

乙DEC，

I.正=DE

.“AFET-DCE(AAS),

.-.AF=DCr

•.•AF=BD,

/.BD=DC

解：如图2中，

vAFllBD,AF=BD,

二四的乡ADBF百行四邂,

•'•S-BFE=4S平行四硼ADBF=S-ABF=S、ABD，

•/AFllBC,BD=CD=AF,

--•S_ABD=S-ADCrSdAFC=SaAFC，

.•与-BEF®积相等的三角形有：士ABF,二AFC「ABD-ADC.

4.答案:

证明：连接BD,

在Rt-ABC中,zABC=90°,AB=BC,

.-.zA=zC=45°,

•••AB为园。的直径，

.-.zADB=90°,即BDJ_AC,

.-.AD=DC=BD=AC,zC8D=zC=45°r

.,.zA=zFBD,

vDF±DG,

.-.zFDG=90°,

/.zFDB+zBDG=90°,

-.•zEDA+zBDG=90°,

.".zEDA=zFDB,

在-AED和二BFD中,

/.-AEDs-BFD(ASA),

.,.AE=BF;

解：连接EF,BG,

,.-AEDs-BFDr

.-.DE=DF,

vzEDF=90o,

r.-EDF是等腰直角三角形，

.-.zDEF=45°,

'.•zG=zA=45°r

.,.zG=zDEF,

.-.GBllEF

解:AE=BF,AE=1,.BF=1,

在RbEBF中，zEBF=90",

222

二根据^股翻骋:EF=EB+BFr

•.,EB=2,BF=1,

j.EF=+f=4，

••二DEF为等腰直角三角形，zEDF=90°r

.■.coszDEF=,

EF

•」EF=",

••.DE=B$=磔

,.1zG=zA,zGEB=zAED,

.•.二GEB—AED,

•・隼笔,.•叵GE=2.即GE=2y

AEED-25

贝!|GD=GE+ED=9眄

"TO-

5.答案：

证明：：四边形ABCD是菱形r.-.AO=CO,ADllBCr

.,.zOAE=zOCF,

'NOAE=/.OCF

在-AOE和-COF中，《AO=CO,

/AOE=2C0F

/.-AOEs-COF(ASA);

C.

解:-.•zBAD=60°,/.zDAO=1zBAD=1x60°=30°r

22

-.1zEOD=30°,

.-.zAOE=90°-30°=60°,

.-.zAEF=180°-zDAO-zAOE=180°-30°-60°=90°,

•.•菱形的边长为2,zDAO=30°r

,-.OD=1AD=2x2=lr

22

•'•A0=4AD：-OD，==也•

;.AE=CF=73x|,

•..菱形的边长为2,NBAD=60°,

高EF=2x*=相，

在Rt-CEF中，CE=在卢+CF：=#'；+（扃=胆-

6.答案：

证明：:E、F分别是AB、BC的中点rCE±ABrAF±BC,,-.AB=AC,AC=BC,

/.AB=AC=BC,

.-.zB=60°,

.-.zBAF=zBCE=30°.

[/-CFG=NJEG=90°

•••E、F分别是AB、BC的中点，，AE=CF.在yFG率AEG中，CF=AE

I/-FCG=/-EAG

"CFG笠AEG

解：,••四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,

.PABCD是翻"

.-.zADC=zB=60°,AD=CD=4.zBAD=120°

,-.zADG=30°

vzBAF=30°.

.,.zGAD=90,

.,.DG=.山—=8百

cos300f

7.答案：

证明：BCJ_直线li,

.,.zABP=zCBE.

在-ABP和-CBE中,

iAB=CB..

■/.ABP=乙CBE,

\BP=BE,

①证明：如图,延长AP交CE于点H.

v-ABPs-CBE,

.­.zPAB=zECB,

.-.zPAB+zAEH=zECB+zAEH=90°,

.-.zAHE=90°r

.-.AP±CE.

..BC、

,BP=2即P为BC的中点，直线liII直线b，

"CPD-BPE,

■DPCP

"EP~BP~

.-.DP=EP.

r.四边形BDCE是平行四边形,.'.CEllBD.

vAP±CE,/.AP±BD.

②解：•.,能=〃，，BC=nBP,

.-.CP=(n-l)BP.

,/CDliBE,

"CPD—BPE,

•PDPC.

PE~PB-J,1

令S^BPE-Sf则S2=(n-1)Sr

S-PAB=S_BCE=nSfS_PAE=(n+1)S.

••S^,P.4DPD.

.耳藁“=〃一】’

.■.Si=(n+l)(n-l)S,

8.答案：

【第1空】4

解:AD+AE=3理由：如图2中，作PKIIBC交AC于K.连接AE.

八DKC

图2

易证-PAK是等边三角形，

由上面题目可知.AE+AD=AK=3

解:如图3中，作PJ_LAD于J,在AD上取一点K,使得PK=PA.

易证zAPK=/DPE=a,

vPD=PE,PK=RA,

.-.zDPK=zEPA,

.­.-PDKs-PEA,

ADK=AE,

,,.AD-AE=AK=2AJ=2«m«sin£.

2

.1.AD-AE=2m«sing

9.答案：

解：「-ABC是等边三角形

.-.zACB=60°rBC=AC

•••等边-ABC绕点C顺时针旋转90°得到-EFC

,-.CF=BC,zBCF=9O°,AC=CE

/.CF=AC

vzBCF=90°,zACB=60°

.-.zACF=zBCF-zACB=30°

.-.zCFA=1(180°-zACF)=75°

证明：•r-ABC和-EFC是等边三角形

.-.zACB=60°,zE=60°

•.•CD平分NACE

.-.zACD=zECD

vzACD=zECDrCD=CD,CA=CE,

"ECD*ACD(SAS)

.-.zDAC=zE=60°

.■.zDAC=zACB

.-.ADliBC

10.答案：

LAB=AD

证明：在，ABC与二ADC中，=

、BC=DC

r.-ABC率ADC(SSS)

.,.zBAC=zDAC

即AC平分工BAD

证明：由(1)NBAE=NDAE

\BA=DA

在-BAE与-DAE中，得nBAE=NDAE

IAE=AE

/.-BAE^-DAE(SAS)

/.BE=DE

IL答案:

解:,.ffiy=曰x2+2x得,y=1（x+2）2-2,

.•・抛物线的顶点A的坐标为（-2,-2）,

令1X2+2X=0,解得xi=O,X2=-4,

.•,点B的坐标为（-4,0）,

过点A作AD_LX轴，垂足为D,

.-.zADO=90°,

.••点A的坐标为（-2,-2）,点D的坐标为（-2,0）,

.-.OD=AD=2,

.-.zAOB=45°;

解：四边形ACOC'为菱形.

由题意可知抛物线m的二次项系数为白，且过顶点C的坐标是（2,-4）,

二抛物线的癣析式为：y=白（x-2）2-4,即丫=1x2-2x-2,

过点C作CE_Lxtt,垂足为E;过点A作AF_LCE,垂足为F,与y轴交与点H,

.-.OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE-EF=2,

•'•0C=yjoE2+EC2=^22+42=275，

同理，AC=26rOC=AC,

由翻折不变性的性^可知,0C=AC=OC'=AC',

故四边形ACOC'为蓑形.

解:如图1,点物线y=1X2+2X±.

理由如下：

过点C'作C'G_LX轴，垂足为G,

•.,0C和0C'关于0A对称，NAOB=ZAOH=45°,

.-.zCOH=zC'OG,

vCEllOH,

.-.zOCE=zC'OGr

又•.,NCEO=NC'GO=90。，OC=OC,

.“CEgC'GO,

.-.OG=CE=4,CG=OE=2,

二点C'的坐标为（-4,2）,

心=-4代岫物线y=1x2+2x得y=0,

，点C'不在抛物线y=1X2+2X±;

解：

存在符合条件的点Q.

•••点P为崛上的一个动点，点Q石蜉物线m上,

.•.设Q(a,1(a-2)2-4),

••,0C为该四边形的一条边,

.♦QP为对角线，

...g(a-"-4-4=0,薛得ai=6,a2=-2(舍去)，

5

.••点Q的坐标为(6,4).

12.答案：

【解答】证明:ffi@^ABCD中,AB=CDrzA=zC=90°f

•r-BED是-BCD翻折而成,

.",ED=CD,zE=zC,

.,.ED=AB,zE=zA.

在-ABF与二EDF中，

'/E=/A

,•,<ZAFB=ZEFD，

kED=AB

.-.-ABF^EDF(AAS)r

;.AF=EF;

在Rt-BCD中，

vDC=DE=4,DB=8,

/.sinzCBD=^=1,

.-.zCBD=30°,

.-.zEBD=zCBD=30°,

,-.zABF=90°-30°x2=30°r

.1.zABF=zDBF,

，BF平分NABD.

13.答案：

证明：「-AEF是由-ADF折叠得到的，

,-.AD=AE,zDAG=zEAG,

又「AG=AG

.,.-AGEs-AGD;

解：AFXGF=2EG2,

证明如下：

连接DE交G吁点0

•.•-AEF是由-ADF折叠得到的

zDAG=zEAG,DF=EF

,.1-AGEs-AGD

.-.GD=GErzAGD=zAGE

.-.zFGD=zFGE

vEGliCD

.-.zDFG=zFGE

.-.zFGD=zDFG

.-.GD=DF

/.GD=EG=EF=DF

四边形DGEF是菱形

AF±DE,0F=1GF

.-.zADF=zDOF=90°

X/zDFO=zDFA

.-DFOYAFD

.OF,DF

"DF~.AF

.-.OFxAF=DF2

•.OF=1GF,DF=EG

1GFxAF=EG2

解:过点G作GH_LCD于H

贝!1四边形CHGE是矩形,

,-.CE=GH

设GF=x,贝(|AF=6+x

VAFXGF=2EG2EG=26

.,.x(6+x)=40

解得：x=4

r.GF=4,

,..AF=6+4=10

在Rt-AEF中

AE=^4F--EF2=拙-(2旧一=班

.-.BC=AD=AE=46

vGHllAD

.•.-FGH—FAD

•GFGH

•'.4F-AD

4GH

,,,而=语

，CE=GH=|后

.•.BE=BC-CE=46-如=W4.

14.答案：

解:-.zACB=90o,AC=BC,

.-.AC=BC=gAB=4,

・・・BE=5f

•■-CE=\!BE--BC2=3,

,-.AE=4-3=1；

解:1,zACB=90o,AC=BC,

.-.zCAB=45°r

vAF±BD,

.-.zAFB=zACB=90o,

.,.A,F,C,B四点共国，

.-.zCFB=zCA