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文档简介
备考2022年中考数学一轮复习-图形的
性质—三角形—全等三角形的判定与性质
-综合题专训及答案
全等三角形的判定与性质综合题专训
(2018盘锦.中考真卷)如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为
边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接
CM.
GDE
图3
(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系;
(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段
CD上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由;
(3)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别
落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明
理由.
2、
(2018哈尔滨.中考真卷)已知:是正方形ABCD的外接圆,点E在弧AB上,连
接BE、DE,点F在弧AD上,连接BF,DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA
平分NEDF.
K<.
(1)如图1,求证:NCBE=NDHG;
(2)如图2,在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合),连接BN交DE
于点L,过点H作HK〃BN交DE于点K,过点E作EP1BN垂足为点P,当BP=HF时,
求证:BE=HK;
(3)如图3,在(2)的条件下,当3HF=2DF时,延长EP交。0于点R,连接BR,若
7
△BER的面积与的面积的差为3,求线段BR的长.
3、
(2017哈尔滨.中考模拟)如图,在aABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中
点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF.
(1)求证:BD=CE;
(2)连接BE,请直接写出4个图中与aBEF面积相等的三角形.
4、
(2019苏州.中考模拟)如图,在Rt^ABC中,ZABC=90°,AB=CB,以AB为直径
的<30交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长
线交。0于点G,DF1DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF:
(2)连接GB,EF,求证:GB〃EF:
(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.
5、
(2017响水.中考模拟)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,ZBAD=60°,对角
线AC与BD交于点0,过点0的直线EF交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:AAOE之△COF;
(2)若NE0D=30°,求CE的长.
6、
(2018莘.中考模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,
CE1AB,垂足为E,AF1BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.
(1)证明:4CFG丝AAEG.
(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.
7、
(2018中.中考模拟)如图①,已知直线L〃L,线段AB在直线L上,BC垂直
于L交k于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线
分别交k,L于点D,E(点A,E位于点B的两侧,满足BP=BE,连接AP,CE.
(1)求证:4ABP丝4CBE.
(2)连接AD、BD,BD与AP相交于点F,如图②.
8(7
①当初=2时,求证:AP1BD;
BC_8
②当丽=〃缶>1)时,设aPAD的面积为S,4PCE的面积为S2,求S二的值.
8、
(2017河南.中考模拟)根据要求回答问题:
(1)已知:等边AABC的边长为4,点P在线段AB上,点D在线段AC上,且
△PDE为等边三角形,当点P与点B重合时(如图1),AD+AE的值为;
(2)[类比探究]在上面的问题中,如果把点P沿BA方向移动,使PB=1,其余
条件不变(如图2),AD+AE的值是多少?请写出你的计算过程;
(3)[拓展迁移]如图3,AABC中,AB=BC,NABC=a,点P在线段BA延长线上,
点D在线段CA延长线上,在APDE中,PD=PE,ZDPE=a,设AP=m,则线段AD、
AE有怎样的等量关系?请用含m,a的式子直接写出你的结论.
图3
9、
(2019香洲.中考模拟)如图,将等边aABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC,
NACE的平分线CD交EF于点D,连接AD、AF.
(1)求NCFA度数;
(2)求证:AD〃BC.
10、
(2019桂林.中考真卷)如图,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.
(1)求证:AC平分NBAD;
(2)求证:BE=DE.
11、
(2013钦州.中考真卷)如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点,抛物线y=
1
1x?+2x与x轴相交于0、B,顶点为A,连接0A.
求点A的坐标和NAOB的度数;
(2)
1
若将抛物线y=2X2+2X向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,
其顶点为点C.连接0C和AC,把AAOC沿0A翻折得到四边形AC0C'.试判断其
形状,并说明理由;
(3)
1
在(2)的情况下,判断点C'是否在抛物线y=2X2+2X±,请说明理由.
(4)
若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点0、P、
C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且0C为该四边形的一条边?若存在,请直
接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.、(参考公式:二次函数y=ax?+bx+c
b%l.b
(a#0)图象的顶点坐标为(一五,FF),对称轴是直线x=一五.)
12、
(2015贺州.中考真卷)如图,将矩形ABCD沿对角线BD对折,点C落在E处,
BE与AD相交于点F.若DE=4,BD=8.
(1)
求证:AF=EF;
(2)
求证:BF平分NABD.
13、
(2017三亚.中考模拟)如图,将矩形ABCD沿线段AF折叠,使点D落在BC边的
点E处,过点E作EG〃CD交AF于点G,连接DG.
(1)
求证:△AGEg^AGD
(2)
探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;
(3)
若AG=6,EG=2S求BE的长.
14、
(2017重庆.中考真卷)如图,AABC中,ZACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,
连接BE.
(1)如图1,若AB=4BE=5,求AE的长;
(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AFLBD于点F,连接CD、
CF,当AF=DF时,求证:DC=BC.
15、
(2013成都.中考真卷)如图,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,NA=NC=90°,
BD1BE,AD=BC.
(1)求证:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQLDP,交直线
BE于点Q;
(i)当点P与A、B两点不重合时,求尸。的值;
(ii)当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)
长.(直接写出结果,不必写出解答过程)
全等三角形的判定与性质综合题答案
L答案:
解:如图1,结论:CM=EM,CM±EM.
图1
理由:vADllEF,ADllBC,
.,.BCllEF,
.-.zEFM=zHBM,
在-FME和-BMH中,
FM=BM,
FME=/-BMH
.-.HM=EM,EF=BH,
•.1CD=BC,
.-.CE=CHfvzHCE=90°fHM=EM,
.-.CM=ME,CM±EM.
解:如图2,连接AE,
•.,四朝ABCD和四翊EDGF>IE^形,
.-.zFDE=45°,zCBD=45°,
.••点氏E、D在同TM线上,
vzBCF=90°,zBEF=90°,M为AF的中点,
.•.CM=1AF,EM=1AFr
/.CM=ME,
vzEFD=45°,
/.zEFC=135°,
vCM=FM=ME,
.-.zMCF=zMFC,zMFE=zMEF,
..zMCF+zMEF=135°r
oo
.■.zCME=360-1350-135=90°r
/.CM±ME
解:如图3,连接CF,MG,作MN_LCD于N,
在-EDM和-GDM中,
।DE=DG
\/.MDE=/-MDG>
!DM=DM
.-.-EDMs-GDMr
.•.ME=MG,zMED=zMGD,
•••M为BF的中点,FGllMNllBC,
.•.GN=NC,又MN_LCD,
.-.MC=MG,
.-.MD=ME,zMCG=zMGCr
".1zMGC+zMGD=180°,
.-.zMCG+zMED=180°,
.-.zCME+zCDE=180°,
vzCDE=90°,
.-.zCME=90°,
/.(1)中的结论成立
2.答案:
解:证明如图上,四边形ABCD是正方形
/.zA=zABC=90°
,.'zF=zA=90o/.zF=zABC
•.,DA平分NEDF,zADE=zADH
zABE=zADE.-.zABE.=zADF
又•.NCBE=NABC+NABE
zDHG=zF+zADF.,.zCBE=zDHG
II
<;
证明如图,过H作HM_LKD垂足为点M
•.•zF=90o.-.HF±FD3Z..-.DA¥ilzEDF
.-.HIM=FH-.HF=BP.-.HM=BP-.KHLIIBN
..zDKH=zDLN-.zELP=zDLN.-.zDKH=zELP
zBED=zA=90°.-.zBEP+zLEP=90°
•.•EP±BN.-.zBPE=zEPL=90o.-.zLEP+zELP=90°
..zBEP=zELP=zDKH.HM±KD
..zKMH=zBPE=90°.-.-BEPs-HKM.-.BE=HK
解:解如图,连接BD
■.13HF=2DFBP=FH
.•.设HF=2aDF=3a,:BP=FH=2a
由(2)得HM=BPNHMD=90%.NF=NA=90°
/.tanzHDM=tanzFDH,.•.箫=畏=三
,,.DM=3a
•.1E3^ABCD^lE^^.-.AB=AD.-.zABD=zADB=45o
•.•zABF=zADF=zADEzDBF=45°-zABF
zBDE=45°-zADE.-.zDBF=zBDEvzBED=zFBD=BD
.“BED孚DFB.\BE=FD=3a
过点H作HSJLBD垂足为点S
tanzABH=tanzADE=-=
AB=3
.vSAB=3£m,AH=20m
BD==&n,DH=AD=.1H=
sinNADB=HS=m,DS=-HS^=m
.,.BS=BD-DS=5m,
tanNBDE=tanNDBF=铃=g
ZBDE=NBRE./.tanZBRE=卷=§
-:BP=FH=2a,:.BP=10a
在ER上9ET=DKi^接BT由(2)得NBEP=NHKD-BET*HKD
.-.zBTE=zKDH.-.tanzBTE=tanzKDH,♦鬻=3
,,PT3
.-.PT=3a.-.TR=RP-PT=7a
3.答案:
证明:如图1中,
•.'AFiiCD,
,-.zAFE=zDCE,
在-AFE和-DCE中,
乙DCE
乙DEC,
I.正=DE
.“AFET-DCE(AAS),
.-.AF=DCr
•.•AF=BD,
/.BD=DC
解:如图2中,
vAFllBD,AF=BD,
二四的乡ADBF百行四邂,
•'•S-BFE=4S平行四硼ADBF=S-ABF=S、ABD,
•/AFllBC,BD=CD=AF,
--•S_ABD=S-ADCrSdAFC=SaAFC,
.•与-BEF®积相等的三角形有:士ABF,二AFC「ABD-ADC.
4.答案:
证明:连接BD,
在Rt-ABC中,zABC=90°,AB=BC,
.-.zA=zC=45°,
•••AB为园。的直径,
.-.zADB=90°,即BDJ_AC,
.-.AD=DC=BD=AC,zC8D=zC=45°r
.,.zA=zFBD,
vDF±DG,
.-.zFDG=90°,
/.zFDB+zBDG=90°,
-.•zEDA+zBDG=90°,
.".zEDA=zFDB,
在-AED和二BFD中,
/.-AEDs-BFD(ASA),
.,.AE=BF;
解:连接EF,BG,
,.-AEDs-BFDr
.-.DE=DF,
vzEDF=90o,
r.-EDF是等腰直角三角形,
.-.zDEF=45°,
'.•zG=zA=45°r
.,.zG=zDEF,
.-.GBllEF
解:AE=BF,AE=1,.BF=1,
在RbEBF中,zEBF=90",
222
二根据^股翻骋:EF=EB+BFr
•.,EB=2,BF=1,
j.EF=+f=4,
••二DEF为等腰直角三角形,zEDF=90°r
.■.coszDEF=,
EF
•」EF=",
••.DE=B$=磔
,.1zG=zA,zGEB=zAED,
.•.二GEB—AED,
•・隼笔,.•叵GE=2.即GE=2y
AEED-25
贝!|GD=GE+ED=9眄
"TO-
5.答案:
证明::四边形ABCD是菱形r.-.AO=CO,ADllBCr
.,.zOAE=zOCF,
'NOAE=/.OCF
在-AOE和-COF中,《AO=CO,
/AOE=2C0F
/.-AOEs-COF(ASA);
C.
解:-.•zBAD=60°,/.zDAO=1zBAD=1x60°=30°r
22
-.1zEOD=30°,
.-.zAOE=90°-30°=60°,
.-.zAEF=180°-zDAO-zAOE=180°-30°-60°=90°,
•.•菱形的边长为2,zDAO=30°r
,-.OD=1AD=2x2=lr
22
•'•A0=4AD:-OD,==也•
;.AE=CF=73x|,
•..菱形的边长为2,NBAD=60°,
高EF=2x*=相,
在Rt-CEF中,CE=在卢+CF:=#';+(扃=胆-
6.答案:
证明::E、F分别是AB、BC的中点rCE±ABrAF±BC,,-.AB=AC,AC=BC,
/.AB=AC=BC,
.-.zB=60°,
.-.zBAF=zBCE=30°.
[/-CFG=NJEG=90°
•••E、F分别是AB、BC的中点,,AE=CF.在yFG率AEG中,CF=AE
I/-FCG=/-EAG
"CFG笠AEG
解:,••四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
.PABCD是翻"
.-.zADC=zB=60°,AD=CD=4.zBAD=120°
,-.zADG=30°
vzBAF=30°.
.,.zGAD=90,
.,.DG=.山—=8百
cos300f
7.答案:
证明:BCJ_直线li,
.,.zABP=zCBE.
在-ABP和-CBE中,
iAB=CB..
■/.ABP=乙CBE,
\BP=BE,
①证明:如图,延长AP交CE于点H.
v-ABPs-CBE,
..zPAB=zECB,
.-.zPAB+zAEH=zECB+zAEH=90°,
.-.zAHE=90°r
.-.AP±CE.
..BC、
,BP=2即P为BC的中点,直线liII直线b,
"CPD-BPE,
■DPCP
"EP~BP~
.-.DP=EP.
r.四边形BDCE是平行四边形,.'.CEllBD.
vAP±CE,/.AP±BD.
②解:•.,能=〃,,BC=nBP,
.-.CP=(n-l)BP.
,/CDliBE,
"CPD—BPE,
•PDPC.
PE~PB-J,1
令S^BPE-Sf则S2=(n-1)Sr
S-PAB=S_BCE=nSfS_PAE=(n+1)S.
••S^,P.4DPD.
.耳藁“=〃一】’
.■.Si=(n+l)(n-l)S,
8.答案:
【第1空】4
解:AD+AE=3理由:如图2中,作PKIIBC交AC于K.连接AE.
八DKC
图2
易证-PAK是等边三角形,
由上面题目可知.AE+AD=AK=3
解:如图3中,作PJ_LAD于J,在AD上取一点K,使得PK=PA.
易证zAPK=/DPE=a,
vPD=PE,PK=RA,
.-.zDPK=zEPA,
..-PDKs-PEA,
ADK=AE,
,,.AD-AE=AK=2AJ=2«m«sin£.
2
.1.AD-AE=2m«sing
9.答案:
解:「-ABC是等边三角形
.-.zACB=60°rBC=AC
•••等边-ABC绕点C顺时针旋转90°得到-EFC
,-.CF=BC,zBCF=9O°,AC=CE
/.CF=AC
vzBCF=90°,zACB=60°
.-.zACF=zBCF-zACB=30°
.-.zCFA=1(180°-zACF)=75°
证明:•r-ABC和-EFC是等边三角形
.-.zACB=60°,zE=60°
•.•CD平分NACE
.-.zACD=zECD
vzACD=zECDrCD=CD,CA=CE,
"ECD*ACD(SAS)
.-.zDAC=zE=60°
.■.zDAC=zACB
.-.ADliBC
10.答案:
LAB=AD
证明:在,ABC与二ADC中,=
、BC=DC
r.-ABC率ADC(SSS)
.,.zBAC=zDAC
即AC平分工BAD
证明:由(1)NBAE=NDAE
\BA=DA
在-BAE与-DAE中,得nBAE=NDAE
IAE=AE
/.-BAE^-DAE(SAS)
/.BE=DE
IL答案:
解:,.ffiy=曰x2+2x得,y=1(x+2)2-2,
.•・抛物线的顶点A的坐标为(-2,-2),
令1X2+2X=0,解得xi=O,X2=-4,
.•,点B的坐标为(-4,0),
过点A作AD_LX轴,垂足为D,
.-.zADO=90°,
.••点A的坐标为(-2,-2),点D的坐标为(-2,0),
.-.OD=AD=2,
.-.zAOB=45°;
解:四边形ACOC'为菱形.
由题意可知抛物线m的二次项系数为白,且过顶点C的坐标是(2,-4),
二抛物线的癣析式为:y=白(x-2)2-4,即丫=1x2-2x-2,
过点C作CE_Lxtt,垂足为E;过点A作AF_LCE,垂足为F,与y轴交与点H,
.-.OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE-EF=2,
•'•0C=yjoE2+EC2=^22+42=275,
同理,AC=26rOC=AC,
由翻折不变性的性^可知,0C=AC=OC'=AC',
故四边形ACOC'为蓑形.
解:如图1,点物线y=1X2+2X±.
理由如下:
过点C'作C'G_LX轴,垂足为G,
•.,0C和0C'关于0A对称,NAOB=ZAOH=45°,
.-.zCOH=zC'OG,
vCEllOH,
.-.zOCE=zC'OGr
又•.,NCEO=NC'GO=90。,OC=OC,
.“CEgC'GO,
.-.OG=CE=4,CG=OE=2,
二点C'的坐标为(-4,2),
心=-4代岫物线y=1x2+2x得y=0,
,点C'不在抛物线y=1X2+2X±;
解:
存在符合条件的点Q.
•••点P为崛上的一个动点,点Q石蜉物线m上,
.•.设Q(a,1(a-2)2-4),
••,0C为该四边形的一条边,
.♦QP为对角线,
...g(a-"-4-4=0,薛得ai=6,a2=-2(舍去),
5
.••点Q的坐标为(6,4).
12.答案:
【解答】证明:ffi@^ABCD中,AB=CDrzA=zC=90°f
•r-BED是-BCD翻折而成,
.",ED=CD,zE=zC,
.,.ED=AB,zE=zA.
在-ABF与二EDF中,
'/E=/A
,•,<ZAFB=ZEFD,
kED=AB
.-.-ABF^EDF(AAS)r
;.AF=EF;
在Rt-BCD中,
vDC=DE=4,DB=8,
/.sinzCBD=^=1,
.-.zCBD=30°,
.-.zEBD=zCBD=30°,
,-.zABF=90°-30°x2=30°r
.1.zABF=zDBF,
,BF平分NABD.
13.答案:
证明:「-AEF是由-ADF折叠得到的,
,-.AD=AE,zDAG=zEAG,
又「AG=AG
.,.-AGEs-AGD;
解:AFXGF=2EG2,
证明如下:
连接DE交G吁点0
•.•-AEF是由-ADF折叠得到的
zDAG=zEAG,DF=EF
,.1-AGEs-AGD
.-.GD=GErzAGD=zAGE
.-.zFGD=zFGE
vEGliCD
.-.zDFG=zFGE
.-.zFGD=zDFG
.-.GD=DF
/.GD=EG=EF=DF
四边形DGEF是菱形
AF±DE,0F=1GF
.-.zADF=zDOF=90°
X/zDFO=zDFA
.-DFOYAFD
.OF,DF
"DF~.AF
.-.OFxAF=DF2
•.OF=1GF,DF=EG
1GFxAF=EG2
解:过点G作GH_LCD于H
贝!1四边形CHGE是矩形,
,-.CE=GH
设GF=x,贝(|AF=6+x
VAFXGF=2EG2EG=26
.,.x(6+x)=40
解得:x=4
r.GF=4,
,..AF=6+4=10
在Rt-AEF中
AE=^4F--EF2=拙-(2旧一=班
.-.BC=AD=AE=46
vGHllAD
.•.-FGH—FAD
•GFGH
•'.4F-AD
4GH
,,,而=语
,CE=GH=|后
.•.BE=BC-CE=46-如=W4.
14.答案:
解:-.zACB=90o,AC=BC,
.-.AC=BC=gAB=4,
・・・BE=5f
•■-CE=\!BE--BC2=3,
,-.AE=4-3=1;
解:1,zACB=90o,AC=BC,
.-.zCAB=45°r
vAF±BD,
.-.zAFB=zACB=90o,
.,.A,F,C,B四点共国,
.-.zCFB=zCA
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