安徽省宣城市郎溪县2021届高考仿真模拟考试数学(理)试题

安徽省宣城市郎溪县2021届理数高考仿真模拟考试试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足（1+i）z=\2+i\,则复数z的虚部是（）

A.—在B._旦C.匹Dgi

222

2.设集合A={x\x<2或x>3},B={x\ex-r-l<0},贝U4nB=()

A.（-8,i）B.（-2,1）C.（2,1）D.(3,+8)

3.数列1，击，讦幼,…i+2+；++.…的前n项和为（）

n

A，4TB.碧C.空D-2(n+l)

n+1n+1n+1

4.执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（）

A.3B.4C.5D.6

winY

5.函数/（x）=m湍i）的大致图像是（）.

6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副"弦图"给出了勾股定理的证明，后人称

其为"赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图

所示.在“赵爽弦图"中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，则薪=（）

7.1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的!部分

为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的I部分擦掉，就成了一个很像雪

花的六角星，如图所示.现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约

为（）（兀k3,V3»1.732）

C.481D.331

8G-l）-（a-专）6的展开式中X2的系数为（）

A.48B.54C.60D.72

9.在菱形ABCD中，4=号，4B=4百，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置,

二面角P-BD-C的大小为年,则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为（）

A.2百兀B.2近兀C.72TtD.112n

10.设曲线％=J1-（1一y）2上的点到直线x—y-2=0的距离的最大值为a,最

小值为b,则a—匕的值为（）

A.苧B.V2C.2^+lD.2

11.已知双曲线［-3=l（a>0,b>0）的左、右顶点分别是A,B,右焦点为F，点

P在过F且垂直于x轴的直线I上，当AABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好

在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±?xB.y=+y%C.y=+xD.y=±y/2x

12.已知四面体ABCD的所有棱长均为a,M,N分别为棱AD,BC的中点，F为

棱AB上异于A,B的动点.有下列结论：

①线段MN的长度为1：②若点G为线段MN上的动点，则无论点尸与G如何运动,

直线FG与直线CD都是异面直线；③/MFN的余弦值的取值范围为［0,^）;④△

FMN周长的最小值为V2+1.其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

,1<%<3

13.设x,y满足约束条件f，且z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为3,则

<y<3

ab的最大值为—.

14.已知可导函数/(%)的定义域为(0,+8),满足'Q)_2/(%)<0，且/(2)=

4,则不等式/(2X)>4X的解集是_.

15.过抛物线C-.y2=2Px(p>0)的焦点F的直线I与C相交于A,B两点，且A.B

两点在准线上的射影分别为M.N,件亚=尢沁旦="，则A=_.

、4MFN〃

16.已知数列｛册｝满足：的=1,a=+i—a”C｛。1，a2，…，a=｝(neN*)，记数列｛4｝的

前n项和为Sn,若对所有满足条件的列数｛4｝，Si。的最大值为M,最小值为m,

则M+m-__.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

17.已知函数/(%)=V3sinxcosx—3cos2%+1.

(1).求函数/(x)的单调递减区间；

(2).在锐角△力BC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c.若/(C)=l,c=加，D为

AB的中点，求CD的最大值.

18.如图，在四棱锥A-BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF//BC,且EF=^BC,

AABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G,且FG=百，CF=

浮,BF=|.

(1).证明：平面FGB1平面ABC；

(2).求二面角E-AB-F的余弦值.

19.公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯

卡(B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯

(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确

的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢k(k>l,keN*)局，谁便赢得全部赌注a元.

每局甲赢的概率为p(0<p<1),乙赢的概率为l-p,且每局赌博相互独立.在甲赢了

m(m<k)局，乙赢了n(n<fc)局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学

家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继

续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P//乙分配赌注.

(1).甲、乙赌博意外终止，若a=243,/c=4,m=2,n=l,p=1，则甲应分得多少赌

注？

(2).记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当k=4,m=2,n=l时赌

博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率f(p),并判断当时，事件4是否为小概

率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事

件.

20.已知椭圆+l(a>0,h>0)过点(2,-1),离心率为造，抛物线y2=

-16x的准线I交%轴于点A,过点4作直线交椭圆C于M,N.

(1).求椭圆C的标准方程和点A的坐标；

(2).设P,Q是直线I上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否

在一条定直线上？请说明你的理由.

21.已知函数/(%)=x-eax-1(a&R).

(1).讨论函数/(x)的单调性

(2).若函数/(%)的图像经过点(1,1),求证：+ln/(x)>0(x>0).

22

22.在直角坐标系xOy中，点4是曲线C1：(x-2)+y=4上的动点，满足2方=瓦?

的点B的轨迹是C2.

(1)以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线G,C2的极

坐标方程；

(2)直线I的参数方程是「：,二上:二‘a(土为参数)，点P的直角坐标是(-1,0),

y—LSinct

若直线I与曲线C2交于M,N两点，当\PM\•\PN\=|MN『时，求cosa的值.

23.已知函数/(%)=\2x-2|4-\2x—1|,g(x)=|x+1|4-|4x—2|.

(1)求不等式/(%)>4的解集；

(2)若关于x的不等式2/(%)-g{x}>a\x\恒成立，求实数a的取值范围.

答案解析部分

安徽省宣城市郎溪县2021届理数高考仿真模拟考试试卷

一、单选题

1.若复数Z满足(1+i)z=\2+i\,则复数z的虚部是()

A.-在B.-三iC.在D.在i

2222

【答案】A

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】由于|2+4=五，所以z=£=离鼻=当(1一)=苧一争

JJlit^1Tl1-I)£.44

故复数Z的虚部是-在，

2

故答案为：A

【分析】根据题意由复数的运算整理化简再由复数模的定义计算出结果。

2.设集合力={x|x<2或x>3},B={x|e*T-1<0},贝ij4nB=()

A.(-8,1)B.(-2,1)C.(2,1)D.(3,+叼

【答案】A

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】ex-1—1<0,x<1,B=(―°°,1),

则AnB=(-8,1),

故答案为：A.

【分析】可求出集合B,然后进行交集的运算即可.

3.数列1-----1-----------1------...的前n项和为()

&1+2,1+2+3，1+2+3+…+n'ujniJ、"八

A_2L_2n4n__H_

A•申BR.市Cr.,Dn-2(n+1)

【答案】B

【考点】等差数列的前n项和，数列的求和

【解析】【解答】由等比数列前〃项和公式有：1+2+3+…+n=吗2，

1211

则：1+2+3H---Fn-十(zi+1)-2(元n+1)，

则该数列的前n项和为：2[(1~1)+(1-1)++(^-=2(1—云匕)=nVl'

故答案为：B.

【分析】利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求

出数列的前n项和.

4.执行如图所示的程序框图，则输出k的值为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【考点】循环结构

【解析】【解答】执行循环结构的程序框图，可得：

运行第1次，T=log23，k=2；

运行第2次，T=log23-log34=log24=2,k=3；

运行第3次,T=log23-log34-log45=log25,此时满足判定条件,输出k=4.

故答案为：B.

【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.

5・函数八切二正曲的大致图像是（口

【考点】函数的图象

【解析】【解答】由题意可知/(%)的定义域为｛x\x0),

,、sin(—%)sinx,、

­•"ce=诉?不=一厘irr一‘⑺’

/(x)为奇函数，其图像关于原点中心对称，・•・排除C；

:"加=意%=°'二排除人,

又，G)==——>o,

鸣+1)1鸣+i)

故答案为：B.

【分析】首先根据判断出函数是奇函数，图像关于原点对称排除C选项，再根据函数值去

进行排除即可.

6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副"弦图"给出了勾股定理的证明，后人称

其为"赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图

所示.在“赵爽弦图"中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，则赤=()

D.gaat+耳4Tb

【答案】B

【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量的基本定理及其意义

【解析】【解答】BF=BC+CF=BC+祸4=BC+氯EB+BA)=BC+氯一.BF+

£1)，

即BF=eC+1(-1fiF+£l)，解得晶=||品+||易，

P即UB彘F=—2156a=+1225；b-

故答案为：B.

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

7.1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的［部分

为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的:部分擦掉，就成了一个很像雪

花的六角星，如图所示.现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约

为()(兀a3,V3«1,732)

【答案】A

【考点】正弦定理

【解析】【解答】设原正三角形边长为3a

则由正弦定理得=2R,即R=痘a，

22

所以正三角形外接圆半径为V3a，则Ss=nR=3an,

又由题意得凸出来的小正三角形边长为a

则S六角星~S大三用形+3s小三角形

=”a.3a《+3x”.a号=3岛2

所以落在六角星中的豆子数约为1000X0.577=577.

故答案为：A.

【分析】设原正三角形边长为3a,则由正弦定理求出正三角形外接圆半径，根据S六磔=

S大为形+3S”源形落在六角星中的概率2资,从而可得结论・

8G-l）,（a—套）6的展开式中x2的系数为（）

A.48B.54C.60D.72

【答案】D

【考点】二项式定理，二项式系数的性质

【解析】【解答】设（«-专户的展开式的通项公式为Tr+1=布•（伪6T.（一套），=限

（-2）r-x3-r，

令r=1,T2=-12/；令r=2,T3=60%,

所以（x-1）•一套）6的展开式中X2项的系数为：1x60+（-1）x（-12）=72,

故答案为：D.

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式再结合题意令r=1以及r=2计算出

展开式中%2项的系数即可。

9.在菱形ABCD中，4=界AB=4W,将^ABD沿BD折起到△PBD的位置,

二面角P-BD-C的大小为冬，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为（）

A.28兀B.26兀C.72nD.112n

【答案】D

【考点】球的体积和表面积，二面角的平面角及求法

【解析】【解答】由题意可得如下示意图，设AC.BD交于E,

则AC1BD,即CE1BD.PE1BD

所以NPEC为二面角P-BD-C的平面角，即ZPEC=^-，

又PEOCE=E,所以BD1平面PCE,

过P作PF1AC于F,BDLPF.BDOAC=E,

所以PF1平面ABCD,

若0,0，分别是面BDC的外接圆圆心、三棱锥P-BCD的外接球的球心，

则00'1平面ABCD,所以00'//PF，

所以P,尸，0,。,必共面且该面为球体的最大截面，

连接00‘，0,D,0D,0,P"有0,D=0,P=R为外接球半径，

0D=r为面BDC的外接圆半径，若设00'=%.

则：x2+r2=R2>OF2+(PF-x)2=R2,

,菱形ABC。中，4=AB=4V3,ZPEC=)

•••PD=DC=PB=BC=4A/3,PE=EC=6,BD=4百，

且E0="=2g,09=丝=2,PF=PE-sin^=3y[3,OF=0E+EF=

77

2+PE-cos掾=5,

r2=OD2=OE2+ED2=16，

即d+16=25+(3V3一，解得％=2遍，；.R2=28，

所以三棱锥P-BCD的外接球的表面积4兀产=1127r,

故答案为：D

【分析】由题意画出图形，找出ABCD外接圆的圆心及三棱锥P-BCD的外接球心为。，通

过求解三角形求出三棱锥P-BCD的外接球的半径，即可求出三棱锥P—BCD的外接球的表

面积.

10.设曲线X=J1一（1一y）2上的点到直线X一y-2=0的距离的最大值为a,最

小值为b,贝!|a—b的值为（）

A.旦B.V2cM+lD.2

【答金】c2

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】将x=-（1-y）2化为：x2+（y—I）2=1>

所以曲线是圆心（0,1）,半径r=l的右半圆，如图，

圆心到直线x-y-2=0的距离d=，

•••圆上的点到直线的最小距离人=孥-1，

4L

最大值为（0,2）到直线的距离，即。=负=2鱼，

则a-b=?+1-

故答案为：C.

【分析】求得圆心到直线％-、-2=0的距离4=竽，进而求得a,b的值，即可

求解。

11.已知双曲线三一¥=l（a>0,6>0）的左、右顶点分别是A,B,右焦点为F，点

P在过F且垂直于x轴的直线I上，当XABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好

在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±/xB.y=+-yXC.y=±XD.y=+y/2x

【答案】C

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】根据双曲线的对称性，不妨设点P的坐标为（2,y0）（yo>O），由于\AB\

为定值，由正弦定理可知当sin/4PB取得最大值时，UPB的外接圆面积取得最小值,

也等价于tan/4PB取得最大值，;tan2PF=r,tan^BPF=^,

Joy。

a+cc-a

••tan4PB=tan（4PF-/BPF）=7g=$<-y==?,

当且仅当yo~—（），即当y（）=b时，等号成立，此时最大，此时

yoyo>°NAPB△APB

的外接圆面积取最小值，点P的坐标为（c,b）,代入W—4=1,可得0=2,即

a2b2a2

号=2，即<=1,所以双曲线的渐近线方程为：y=±x。

a2a2

故答案为：c

【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P的坐标为（2,yo）（yo>O），由于为定

值，由正弦定理可知当sin4PB取得最大值时，4APB的外接圆面积取得最小值，也

等价于tan/4PB取得最大值，再利用正切函数的定义结合两角差的正切公式，进而利用

均值不等式求最值的方法，从而求出tan/PBW?,进而求出/APB的最大值，此时

XAPB的外接圆面积取最小值，点P的坐标为（c,b）,代入马_马=1,进而求出a,c

a2b2

的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的大小关系，进而求出a,b的关系式，从而结合双曲

线的焦点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程。

12.已知四面体ABCD的所有棱长均为近，M,N分别为棱AD,BC的中点，F为

棱AB上异于A,B的动点.有下列结论：

①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动,

直线FG与直线CD都是异面直线；③/MFN的余弦值的取值范围为［0,y）;④△

FMN周长的最小值为V2+1.其中正确结论的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【考点】异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算

【解析】【解答】在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长

为V2四面体ABCD,

MN的长度为正方体棱长1,故①

对；

对于②:

如图，F取为AB的中点，G取为MN的中点,

/取为CD的中点，则由正方体的性

质易知，该三点在一条直线上，故此时

FG与CD相交于/,故②错;

对于③，

BN=~=^-,BM=y/BD2-MD2=

2—^=y，又有MN=1

13

故cos/MBN=有==立>在

2连.匹35

故F点无限接近B点时，cos"FN会无限接近立，故/MFN的余弦值的取值范围

3

不为⑼?)，③错误；

对于④，如图将等边三角形ABC与ABD铺平，放在同一平面上，

故有N'F+FM'>MN'=V2，当且仅当F为AB中点时取最小值

故在正方体中NF+FM>y/2

故4FMN周长的最小值为近+1

故④对

故答案为：B

【分析】根据题意将四面体放置在正方体中，根据M、N分别为前后面的中心判断①；

取F为AB中点，G为MN中点，此时直线FG与直线CD相交；通过计算cos/MFN判断③;

把空间问题转化为平面问题，计算可得NF+FM>a判断④，从而得出答案。

二、填空题

,1<%<3

13.设x,y满足约束条件｛,且z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为3,则

'14"3

ab的最大值为一.

【答案】|

【考点】简单线性规划

,1<x<3

【解析】【解答】因为z,y满足约束条，［，且z=ax+b(a>0,b>0)的

口《"3

最大值为3,

所以当x,y最大时，z最大，

2

即3a+3b=3,即a+b=1,加《芋)_—",

当且仅当a=b=时，ab取最大值，

故答案为：今.

【分析】由约束条件作出可行域，利用线性规划知识求得a+b=l,利用"1"的代换，结合

基本不等式求最值.

14.己知可导函数/(%)的定义域为(0,+叼，满足xf,_2/(%)<0，且/(2)=

4,则不等式/(2乂)>铲的解集是—.

【答案】(—8,1)

【考点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】设g(x)=4杂，则£㈤_犷'CW/(x),

因为%>0,Xf,(x)-2/(x)<0，所以g'(x)<0，g(x)在(0,+河上单调递

减，

f(2x)〉铲，即〉i=写，令2、=t,即詈>零，g(t)>g(2),

所以t<2,2X<2,所以x<1»

故答案为：(一8,1)。

【分析】设g(x)=4空，利用求导的方法判断其单调性，进而求出其值域，再结合已知

条件得出t<2,即2、<2,再利用指数函数的单调性，进而求出不等式/(2、)>4,的

解集。

15.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线I与C相交于A.B两点，且4,8

两点在准线上的射影分别为M,N,海亚=尢2M=〃，则

【答案】4

【考点】抛物线的定义，余弦定理

【解析】【解答】解：如图：

设/MAF-6,AF=a,BF=b,

由抛物线定义可得：AM=a,BN=b,ZMF0+ZNFO=ZMFA+/NFB=5,

在AMAF中，由余弦定理可得：MF?=2。2(1—cos。)，

同理：MF2=2h2(l4-cos0),

故^AMAF=2a2sin。，SANBF=2b2sin。＞

(S/MNF)2=1MF2-NF2=a2b2sin2d，

2

故a=(SlMNf)=4,

〃SAMAF'SANBF

故答案为：4.

【分析】设^MAF=6,AF=a,BF=b可得S/M"=^a2sin0，^ANBF=

222222

疗sin。，(S4M/VF)=1MF-NF=absin6，可得、的值。

16.已知数列｛4｝满足：⑥=1,即+i—即€｛%,取，…，M｝(九EN*)，记数列｛4｝的

前n项和为Sn,若对所有满足条件的列数｛4｝,Si。的最大值为M,最小值为m,

则M+m=__.

【答案】1078

【考点】数列递推式

【解析】【解答】由题意，数列｛Q〃｝满足：。1=1，册+1-斯€｛%,做，…，斯｝，

由。2—'可得。2=2。1=2;

由。3—@2£｛。1，a2)'可得。3=。2+=3或。3=2a2=4;

由a4-a3e｛%,a2fa3],可得知=%+即=4或5；。4=。3+。2=5或6；

a4=2a3=6或8；

由as-a4e[alta2,a3,a4],可得的=%+%=5或6或7；

。5=。4+。2=6或7或8；%=。4+。3=7或8或9或10或12；

的=2曲=8或或9或10或12或16；

,1nlO

综上可得S10的最大值M=1+2+2?+…29==2=1023，

1—Z

最小值为m=1+2+3+…10=1°"，°)=55，

所以M+m=1078.

故答案为：1078

【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何

时和最小，进而求得结论.

三、解答题

17.已知函数/(%)=V3sinxcosx—3cos2x+1.

(1).求函数/(X)的单调递减区间；

(2).在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c.若/(C)=lfc=y[3，D为

AB的中点，求CD的最大值.

【答案】(1)解：/(%)=苧sin2%-怖(1+cos2x)+1，

=V5sin(2x—可)—2，

由2kli+242x—可42/CTTH—,kWZ，

解得：kn+x<kn+,kEZ，

所以/(%)递减区间[/CTT+罂,々兀+€Z-

⑵解：期(C)=gsin(2CT)-4=1，

得sin(2C一令=苧，

•••△ABC为锐角三角形，

77

・・.C6(0,J),

c「7T〃/兀2兀、

"2"可€(_»手)，

・.・2C一—X百一一匹甘，

「7T

C=3'

由余弦定理得：

a2=CD2+(^)-2•骨D・cosNBDC，b2=CD2+(^)-2•与CD*

CQS^ADC，

且cosDC=—CQS^ADC,

两式相加得：CD2=1(a2+b2)-^，

Z4

由3=M+炉—2abcosC=a2+b2—ab,

222

>a+b-°与蛇=/(Q2+b)，

当a=b时，等号成立，

即a2+b2的最大值为6,

所以CD的最大值为|.

【考点】基本不等式，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，余弦定理

【解析】【分析】⑴先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调

性即可求解；

(2)由已知先求C,然后结合余弦定理及基本不等式即可求解.

18.如图，在四棱锥A-BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF//BC，且EF=

，AABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G,且FG=

V3>CF=41,BF=怖•

(1).证明：平面FGB1平面ABC；

(2).求二面角E-AB-F的余弦值.

【答案】(1)证明：由顶点F在AC上投影为点G,可知，FG1AC.

取AC的中点为0,连结OB,GB.

在RtAFGC中,FG=6，CF=亨，所以CG=

在RtAGBO中，OB=有0G=|，所以BG=^

/Z

所以，BG2+GF2=FB2,即FG±BG.

■：FG1AC,FGLGB,ACCBG=G

•••尸G1.面ABC.

又尸GU面FGB,所以面FGB1面ABC.

(2)解：由(I)知，OB1FG,OB1AC,且ACCFG=G

所以OBJL面AFC，且FGJ.面ABC.以0B所在直线为x轴，0C所在直线为

y轴，过点0作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

>1(0,-1,0)^(73,0,0)^(0,-1,73),E(¥，J遮)，F4=(-V3,-l,0)，

而=(-苧，3，例丽=(一6，4圾

设平面ABE,ABF的法向量分别为m.n,则

｛三•更=0,则而,

m-BM=0

4E=0,则

n,BF=0

n=(1,-V3,i)，

cmn7785

cose=imiiHi="ss-'

所以二面角E-AB-F的余弦值为蜜.

【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角

【解析I分析】⑴推导出FGJLAC,取AC的中点为0,连结。B,GB,推导出FG±BG,FG±AC,

从而FG_L面ABC,由此能证明面FGB_L面ABC；

⑵以OB所在直线为x轴，0C所在直线为y轴，过点0作平面ABC的垂线为z轴，建立空

间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AB-F的余弦值.

19.公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯

卡(B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(<Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯

(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确

的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢k(k>l,kGN*)局，谁便赢得全部赌注a元.

每局甲赢的概率为p(0<p<1),乙赢的概率为l—p,且每局赌博相互独立.在甲赢了

m(m<k)局，乙赢了n(n<fc)局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学

家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继

续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲:P乙分配赌注.

(1).甲、乙赌博意外终止，若a=243,k=4,m=2,n=l,p=，则甲应分得多少赌

注？

(2).记事件A为"赌博继续进行下去乙赢得全部赌注"，试求当k=4,zn=2,n=1时赌

博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率/(p)，并判断当pN看时，事件4是否为小概

率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事

件.

【答案】(1)解：设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，

由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，

当X=2时，甲以4:1赢，所以P(X=2)=弓)2=1,

当X=3时，甲以4:2赢，所以P(X=3)=•|x(1-|)x|,

当X=4时，甲以4:3赢，所以P(X=4)=C：|x(l—|)2x|=^，

484248

-+=--=-

于是得甲扁得全部赌注的概率为9279

2727

8元

-21

所以，甲应分得的赌注为243x9=

(2)解：设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，

当y=3时，乙以4：2赢，p(y=3)=(1—p)3,

当y=4时，乙以4:3赢，P(y=4)=C1p(l-p)3=3P(1-p)3,

从而得乙赢得全部赌注的概率为P(A)=(1-p)3+3p(l-p)3=(1+3P)(1-p)3,

于是甲赢得全部赌注的概率/(p)=1-P(4)=1-(1+3p)(l-p)3,

对/(P)求导得f(p)=-3(1-p)3-(1+3p)-3(1-p)2(-l)=12p(l-p)2，

因於p<1，即/'(p)>0，从而有/(P)在弓,1)上单调递增，

于是得/(P)min=/6)=瑞f，乙赢的概率PH)最大值为1一黑=慕=0,0272<

0.05,

所以事件A是小概率事件.

【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【分析】⑴设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题

意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，利用相互独立事件概率乘法公式和

互斥事件概率加法公式求出甲赢的概率，由此能求出甲应分得的赌注；

(2)设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当丫=3时，乙

以4:2赢，P(Y=3)=(1—p)3,当丫=4时，乙以23赢,P(Y=4)=C扛(1-p)3=

3P(1-p)3,求出甲赢得全部赌注的概率y(p)=1-p(z)=1-(1+3p)(i-p)3,求

导，f'(p)=12p(l—p)2，利用导数性质求出/(p)min=f(3=fl，从而求出事件

A是小概率事件.

20.已知椭圆C:^|+*l(a>0,b>0)过点(2,-1),离心率为孚,抛物线y2=

-16%的准线I交x轴于点A,过点A作直线交椭圆C于M,N.

(1).求椭圆C的标准方程和点A的坐标；

(2).设P,Q是直线I上关于%轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否

在一条定直线上？请说明你的理由.

41

---+----=1

a2b2

【答案】(1)解：由题意可得｛必=—c2解得。2=8,后=2，

a2

即椭圆c的方程为：4+^=1，

oL

又由抛物线y2=-16x,可得准线方程为Z:%=4,所以4(4,0).

(2)解：设P(4,t),Q(4,—t),MN:x=my+4,,N(%2，y2)

,x=my+4

由f22,整理得(M？+4)y2+8my+8=0,

+4y-8=0

：

所rrKi以为,+为=一8m丽，为为=鬲8耳，

则为+为=一根丫1丫2即々普=-m,

直线PM为y-t=-4),即y-t=一4)①，

直线QN为y+t=-4),即y+t=-4)②，

②一①得：2"春然一岁)(％-4),即2t4•喙梦(x—4)

所以2t=•(―mt)(久一4)>解得：x=2,

所以直线PM与QN的交点恒在定直线%=2±.

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由离心率和椭圆过定点，直接可以求出椭圆方程和点4的坐标;

⑵联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理可以表示出两直线方程，即可解决.

21.已知函数/(x)=x.e^-1(aER).

(1).讨论函数/(%)的单调性

(2).若函数/(x)的图像经过点(1,1),求证：+ln/(x)>0(%>0).

【答案】(1)解：由题意，函数/(%)的定义城为R,

当a=0时，/(x)=I函数/(%)在R上单调递增；

当aH0时，可得/(%)=eax-1+ax-eax-1=eax-1・a•(x+》，

令/(x)=0，得％=一：，

①当a<0时，在区间(-8,-1)±y(x)>0>/(%)单调递增，

在区间(一:，+°°)上/'(%)<0，f。)单调递减，

②当a>0时，在区间(—8,_1)上/'(%)<()，/(x)单调递减，

在区间(一［，+为)上/'(%)>o,/(%)单调递增，

(2)解：若函数/(%)的图像经过点(1,1),则/(I)=e-i=1，得Q=1，即/(%)=

x・e*T,

则——xr+In/(x)=—―Yx+ln(x,e，-17)=——xy+Inx+x-1,

xteJ\y%-e'x-e

设g