432 等比数列的前n项和公式（九大题型）

4．3．2等比数列的前n项和公式【题型归纳目录】题型一：等比数列前项和的有关计算题型二：等比数列前项和在几何中的应用题型三：等比数列前项和的性质题型四：递推公式在实际问题中的应用题型五：利用错位相减法求数列的前项和题型六：等比数列前n项和公式的实际应用题型七：等比数列中与的关系题型八：等比数列片段和的性质题型九：等比数列的奇数项与偶数项和【知识点梳理】知识点一、等比数列的前项和公式等比数列的前项和公式推导过程：（1）利用等比性质由等比数列的定义，有根据等比性质，有所以当时，或．（2）错位相减法等比数列的前n项和，①当时，，；②当时，由得：所以或．即知识点诠释：①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法．②在求等比数列前项和时，要注意区分和．③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点二、等比数列前项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．知识点三、等比数列前项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．【题型归纳目录】题型一：等比数列前项和的有关计算题型二：等比数列前项和在几何中的应用题型三：等比数列前项和的性质题型四：递推公式在实际问题中的应用题型五：利用错位相减法求数列的前项和题型六：等比数列前n项和公式的实际应用题型七：等比数列中与的关系题型八：等比数列片段和的性质题型九：等比数列的奇数项与偶数项和【典型例题】题型一：等比数列前项和的有关计算例1．（2023·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为．若，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，解得，，当时，，两式相减得，即，且满足上式，故，所以等比数列的首项为1，公比为2，又，则、、、…、构成首项为1，公比为16的等比数列，故．故选：C例2．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）数列：，，，，…，，…的前n项和＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，得该数列的通项公式为，∴．故选：A．例3．（2023·安徽合肥·高二校考阶段练习）已知数列满足，则数列的前项和为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，所以数列是公比为的等比数列，又由，可得，所以数列的前项和.故选：C.变式1．（2023·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，,，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是数列的前项和，，，所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则，解得.故选：A.变式2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，则，，右边，等式不成立，故，则，显然，所以，解得，又因为，代入得，所以，故选：D.变式3．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（

）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】设等比数列的公比为，，解得，所以.故选：A变式4．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，，则（

）A．81 B．24 C． D．【答案】C【解析】由题设，则，又，则，所以，等比数列的公比，故.故选：C变式5．（2023·陕西榆林·高二统考期末）设等比数列的前项和为，已知，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】设等比数列公比为，则有，解得，，则有，得.故选：D【方法技巧与总结】等比数列前n项和运算的技巧（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体．（3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．题型二：等比数列前项和在几何中的应用例4．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格．现有，，…，纸各一张，已知纸的幅宽为1m，则，，…，这8张纸的面积之和是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，可得的长、宽分别为，1，的长、宽分别为1，，的长、宽分别为，，…，所以，，…，的面积是首项为，公比为的等比数列，所以，，…，这8张纸的面积之和为.故选：C例5．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则操作次数n的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是边长为的4个正方形的面积之和，故；是边长为的个正方形的面积之和，故；以此类推得：从而，所以，函数关于单调递减，且时，，时，，故最小值取3.故选：C例6．（2023·高二课时练习）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（

）A．无限大 B．<3(3＋)mC．＝3(3＋)m D．可以取100m【答案】B【解析】依题意，从外到内正方形的边长依次为，，，，显然数列是首项为，公比的等比数列，所以，ACD错误，B正确.故选：B变式6．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到纸板，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被减掉半圆的半径）得到纸板，，，．记第块纸板的面积为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意每次减掉的半圆的半径分别为，构成以为首项，为公比的等比数列，所以每次减掉的半圆的面积为，构成以为首项，为公比的等比数列，而开始时半圆的面积为，所以第块纸板的面积为，故选：B.变式7．（2023·广西南宁·高二统考开学考试）如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列，，因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的，因此，即数列是等比数列，公比，所以前10个正方形的面积之和.故选：A变式8．（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）如图，已知正三角形的边长为1，取正三角形各边的中点，，，得到第二个正三角形，然后再取正三角形各边的中点，，，得到第三个正三角形，依此方法一直进行下去，则从第一个正三角形开始，前10个正三角形的面积之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的面积为，，则可得数列，由已知为线段的中点，为线段的中点，所以又，都为等边三角形，所以，又，所以数列为等比数列，公比为，所以前10个正三角形的面积之和为，故选：B.【方法技巧与总结】此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性．题型三：等比数列前项和的性质例7．（2023·高二课时练习）在等比数列中，是数列的前n项和．若，则.【答案】6【解析】设的公比为q，则，得，∴，即.故答案为：6.例8．（2023·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）在等比数列{}中，若，则当……取得最大值时，n=.【答案】6【解析】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．故答案为：6例9．（2023·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）已知等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值为．【答案】/【解析】当时，，则，所以，，因为，且数列为等比数列，所以，，即，解得，故对任意的，，，由可得，可得，因为，则，且函数在上单调递增，所以，，故，因此，实数的最大值为.故答案为：.变式9．（2023·广东广州·高二统考期末）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为.【答案】/【解析】设等比数列的公比为，则，解得，所以，，解得，则，所以，，，所以，数列为等差数列，所以，，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，.又因为，故的最大值为.因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.故答案为：.变式10．（2023·湖北·高二十堰一中校联考期中）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，.【答案】1【解析】由得：，两式相减整理得，又当时，，解得：，故是首项为，公比为的等比数列，，，可知，则，即当，时，取得最小值，，因为时，；时，，时，取最小值时，此时.故答案为：1.变式11．（2023·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为．【答案】【解析】设的公比为，因为，则，当且仅当时取等号，故的最小值为故答案为：【方法技巧与总结】处理等比数列前项和有关问题的常用方法（1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．（2）灵活运用等比数列前项和的有关性质．题型四：递推公式在实际问题中的应用例10．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？【解析】（1）设正方形ABCD面积为，后继各正方形的面积依次为则=25，由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以，因此是以25为首项，为公比的等比数列.设的前n项和为，根据等比数列前项和公式可得==，所以前10个正方形的面积之和为（2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和而=，随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50例11．（2023·上海杨浦·统考二模）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In+1＝n﹣．策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In+1＝n﹣．当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？【解析】（1）策略A：，策略B：，当，可得，当时，两者相等，当时，用策略B将使第二周的虫害的严重程度更小；当时，用策略A将使第二周的虫害的严重程度更小；（2）由（1）可知：当时，选择策略B，所以当时，选择策略B，因为，所以数列是递减数列，，也即，由等比数列的通项公式可得：，正整数范围内解不等式，得所以虫害的危机最快在第9周解除．例12．（2023·广东梅州·高二统考期末）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；(2)将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；(3)求的值（精确到1）.【解析】（1）因为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，所以，且.（2）将化成，因为所以比较系数，可得，解得.所以（1）中的递推公式可以化为.（3）由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，则.所以.变式12．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元.(1)用x表示，，并写出与的关系式；.(2)若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值（精确到万元）.【解析】（1）由题意知，，，；（2）由(1)可得，，则，所以，即，当时，，解得，当时，万元.故该企业每年年底扣除消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元.变式13．（2023·河南商丘·高二校联考阶段练习）在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….记第行第个数为.（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；（Ⅱ）求第行所有数的和.【解析】（Ⅰ）由数阵可知：，，，由此可归纳出.（Ⅱ），所以，错位相减得.变式14．（2023·全国·高二课堂例题）某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；(2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数；(3)求的值（精确到1）．【解析】（1）由题意知，并且．

①（2）将化为．

②比较①②的系数，可得，解这个方程组，得，所以，（1）中的递推公式可以化为．（3）由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，则．所以．【方法技巧与总结】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．题型五：利用错位相减法求数列的前项和例13．（2023·甘肃临夏·高二校联考期中）已知数列，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前n项和为，求.【解析】（1）因为，所以，其中，故是首项为1，公比为2的等比数列，故，所以；（2），所以①，故②，两式相减得，，故.例14．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列满足：，，设．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和．【解析】（1）由，，可得，因为，即，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．（2）由（1）可得：，即，所以．（3）由（2）可知：，则，可得，上面两式相减可得：，所以．例15．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列.(2)求数列的前项和.【解析】（1）证明：因为，所以.又，所以，所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.（2）由（1）知，即，则.，，则，所以.变式15．（2023·甘肃庆阳·高二校考期中）已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上.(1)求数列，的通项和；(2)令，求数列的前项和；(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围.【解析】（1）因为，当时，则，可得；当时，则，可得，整理得，即，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；数列满足，点在直线上，则，可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由（1）可得，则，①，②①②得，整理得.（3）由（1）可得：，则，可知数列为单调递减数列，所以，即的最大值为.因为对所有的正整数都有都成立，则，又因为，可得恒成立，只需满足即可.且，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以的取值范围为.变式16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解析】（1）当时，．当时，，即，当时，上式也成立，所以．当时，也符合，所以．（2）由（1）知．，，则，所以．变式17．（2023·江苏镇江·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)令，证明：数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，，，两式相减可得，即又，得，，数列是以为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）得，，，两式相减得，，.变式18．（2023·贵州六盘水·高二统考期末）已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）当时，；当时，所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可知，设的前项和为，则，，两式相减得，，，两式相减得，，，又因为的前项和是，所以．【方法技巧与总结】错位相减法的适用范围及注意事项（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和．（2）注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式．②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况．题型六：等比数列前n项和公式的实际应用例16．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则是以2为公比的等比数列，，，解得，所以，．故选：C．例17．（2023·辽宁辽阳·高二统考期末）某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（

）（参考数据：）A．9年 B．10年 C．11年 D．12年【答案】A【解析】设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则是首项为10，公比为的等比数列，从而，即，即，即．因为，所以的最大值是9.故选：A例18．（2023·高二单元测试）我国古代的数学名著《九章算术》中记载：“今有蒲生一日，长三尺，蒲生日自半”.其意为：今有蒲草第一日长高3尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，则蒲草第5日的高度为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由题意，蒲草每日增长的高度成等比数列，等比数列的首项为3，公比为，蒲草第5日的高度为等比数列前5项和，（尺），故选：D.变式19．（2023·河南洛阳·高二统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.变式20．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（

）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【答案】B【解析】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由已知．所以前秒热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70高度，故选：B．变式21．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（

）A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【答案】B【解析】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为，故这17匹马的日行路程之和为（里）．故选：B.【方法技巧与总结】解答数列应用题的步骤（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意．（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征．（3）求解——求出该问题的数学解．（4）还原——将所求结果还原到实际问题中．题型七：等比数列中与的关系例19．（2023·广东珠海·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，当时，，故当时，，因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即，解得.故选：C.例20．（2023·河北邯郸·高二统考期末）若数列的前n项和，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，则，，则.故选：C例21．（2023·河北邢台·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（

）A．3 B．1 C． D．【答案】D【解析】因为，所以．时，，所以前的系数和常数项互为相反数，所以，所以．故选：D变式22．（2023·江西萍乡·高二统考期中）已知等比数列的前项和为，若，则.【答案】【解析】设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故答案为：变式23．（2023·江苏南通·高二校考期中）若是等比数列，且前项和为，则.【答案】【解析】当时，，当时，，所以，又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，此数列的前项和，则的值为.故答案为：.变式24．（2023·高二课时练习）已知等比数列的前项和，则实数的值为.【答案】【解析】由，得.当时，，不合乎题意.当时，，令，则，所以，，解得.故答案为：.变式25．（2023·湖南·高二校联考期末）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【解析】（1）依题意，当时，由，可知，由，可得两式相减可知，，即，因此时，，即（2）由（1）可知，，当时，，因此也适合，，故，故的前项和变式26．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和，证明是等比数列，并求出通项公式．【解析】因为，所以，所以，所以．又因为，所以．又由，知，所以，所以是等比数列．因为，所以．变式27．（2023·陕西西安·高二西安市第八十九中学校考阶段练习）已知数列的前项和（，是不等于0和1的常数），求证：数列为等比数列的充要条件是.【解析】必要性：若数列为等比数列，且，则，即，故；充分性：若，即，且，对于，当时，则，当时，则；综上所述：.∵，是不等于0和1的常数，则，∴，故数列为等比数列；综上所述：数列为等比数列的充要条件是.变式28．（2023·广东广州·统考二模）已知等比数列的前项和为,,.(1)求数列的通项公式.(2)令,求数列的前项和.【解析】（1）当时,即,又是等比数列,;数列的通项公式为:.（2）由（1）知,,,即.变式29．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知数列的前n项和为，．证明：(1)数列为等比数列；(2)当时，．【解析】（1）证明：因为，所以，所以，在中，令，得①，又②，联立①②，解得，因为，所以，故数列是首项为，公比为2等比数列.（2）由（1）可知，则，则当时，，所以当时，．【方法技巧与总结】与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．题型八：等比数列片段和的性质例22．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等比数列的前项和为，则．【答案】12【解析】法一：设等比数列的公比为，由，得，而，于是，所以．法二：因为为等比数列，所以也成等比数列，即成等比数列，即.故答案为：12例23．（2023·辽宁·高二校联考期末）记为等比数列的前n项和，已知，，则．【答案】4【解析】因为为等比数列的前n项和，，，所以由等比数列的性质可得，，成等比数列，所以．故答案为：4例24．（2023·湖北十堰·高二统考期末）设等比数列的前项和为，若，则.【答案】156【解析】法一：设等比数列的公比为，显然.因为，所以，所以.法二：设，则.因为为等比数列，所以仍成等比数列.因为，所以，所以，即.故答案为：156变式30．（2023·高二课时练习）在等比数列中，若，则.【答案】28【解析】由数列是等比数列，且易知公比，所以也构成等比数列，即构成等比数列，从而可得，解得或，又，所以.故答案为：28变式31．（2023·高二课时练习）等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝.【答案】63【解析】法一：设公比为q，由已知易知q≠1，因为Sn＝48，S2n＝60，所以，解得，所以，故答案为：63法二：因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，所以（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.故答案为：63变式32．（2023·高二课时练习）已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则.【答案】600【解析】设等比数列的公比为因为等比数列的前n项和为，所以，，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则，由，，成等比数列，可得即，解得，故答案为：600【方法技巧与总结】若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．题型九：等比数列的奇数项与偶数项和例25．（2023·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知等比数列的公比，且，则.【答案】120【解析】因为在等比数列中，若项数为，则，所以.故答案为：120例26．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列，数列的前n项和为，若存在正整数使得，则正整数m的取值集合为．【答案】/【解析】因为列，可得，所以，因为所以，其中，变形得，因为，所以，又，则l可能为1，2，3当时，，所以不成立，当时，由，得，若，则，令，则，因为，所以，所以，因为故只有，此时，当时，由，得，，故正整数m的取值集合为，故答案为：．例27．（2023·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为．【答案】【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，，又，则，因此，.故答案为：.变式33．（2023·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为．【答案】450【解析】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故答案为：450变式34．（2023·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比.【答案】【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，则，由，得，因为，所以，所以，.故答案为：.变式35．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，，所以，即．（2）因为，所以，所以．变式36．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由题意，且，且，所以，因为，所以，所以是首项为9，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，因为，所以，所以.变式37．（2023·上海·高二校考期中）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求的前n项和．【解析】（1）数列中，，，当时，，两式相减得，而，即对任意，，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，当为偶数时，；当为奇数时，，所以的前n项和.变式38．（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）∵，，则，∴，两式相除得：，当时，，∴，即，当时，，∴，即，综上所述，的通项公式为：；（2）由题设及（1）可知：，【方法技巧与总结】等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，，得，所以，所以，所以．故选：．2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：）（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意知：，解得：，又为整数，可得的最小值为6，故选：A3．（2023·河南·高二河南大学附属中学校考期中）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（

）A．192 B．190 C．180 D．182【答案】B【解析】当时，，当时，，经检验满足上式，所以，设，则，所以.故选：B4．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知数列的前项和为，且．则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得②，①②得，即，又，得所以数列是以为首项，为公比的等比数列，.故选：C.5．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因为，所以，，所以，所以.又，得，所以.故选：A.方法二因为，，所以，所以，所以.故选：A.6．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C．32 D．或32【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由题意知，则由得，则，所以，即；因为，所以，所以，故选：C.7．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得.故选：B8．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，即，解得，所以，所以，因为恒成立，即恒成立，即恒成立，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的取值范围为．故选：.二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由，可得：所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则，故.所以.则，所以选项A错误，选项B、D正确.因为所以正确．故选：BCD．10．（2023·河南南阳·高三统考期中）已知是数列的前项和，，则（

）A．是等比数列 B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，①当时，则，当时，，②①②得，则，故是以1为首项，公比为的等比数列，且，故A正确；又，故B正确；，故C错误；由题中，，故D正确，故选：ABD.11．（2023·甘肃庆阳·高三校考阶段练习）设，在数列中，，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】CD【解析】对于A：当，时，即，又，则，所以，又，则，所以，即数列的奇数项相等都等于，偶数项也相等都等于，所以，故A错误；对于B：当，时，，即．因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，故B错误；对于C：当，时，，所以，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故C正确；对于D：当，时，，则，即．因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故D正确；故选：CD12．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（

）A．为单调递增数列 B．C．为的最大项 D．无最大项【答案】BC【解析】由，因此.又因为则.当时，，则，，则，与题意矛盾.因此.则为单调递减数列，故选项A错误.而，故，选项B正确.又因为为单调递减数列，则，由可知，，，所以当时，，则.当时，，则.因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.故答案为：BC.三、填空题13．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）在公比为的等比数列中，为其前项和，（），且，则．【答案】【解析】由，得，又，联立可解得