理论力学解题思路剖析

理论力学解题思路剖析（未完的手稿，仅供华中科大07级本科堂学生参考）郑慧明编华中科技大学理论力学教研室2008-12-18序言理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。但其解题方法众多，不易掌握。有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。解题方法众多的根本原因是，静力学所有定理都是由5大公理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时象进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同一个，一些学生会感到困惑，因为有些教科书上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩方程。我们组织编写了本辅导书，主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。理论力学所研究的客观物理世界具备多样性和同一性，为这种追求解题方法的同一性提供了可能。故本书判断一种解题方法的优劣及给出的解题方法遵循如下原则：一种解题方法若计算量不大，又可以推广到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的复杂系统，则本书认为是较好的举一反三的方法。那些只对此道具体题目才使用的方法，虽然简单，但与本书的“同一性”宗旨不一致，我们也不推荐使用，目的使学生通过反复的应用在有限时间内熟练掌握本课程的主要方法。这一点可能与以往一些理论力学教材作者观点不同，他们可能侧重于强调物理世界的多样性和解题方法的多样性。本书主要是用于那些水平不高的学生尽快提高理论力学解题能力，并侧重于对世界同一性的强调。因篇幅有限，本书难以兼顾物质世界多样性与同一性的统一，不适于追求更高解题技巧的读者，提请读者注意。对同一类问题，给出如何在众多方法中找到同一种较容易想到的方法求解。优先考虑尽量避免引入不需求的位置量，使所列的方程个数尽量最少，其次，才考虑尽量用一个方程解出一个未知量。前几年，一本“英语万能作文法”风靡一时，成为考验宝典，并引起一些批评。我们认为，“英语万能作文法”对一些英语水平不高者有较大帮助，而本书的目的是希望那些刚接触理论力学的本科生克服“菜鸟”阶段面对理论力学解题方法众多的无所适从，且本书只是一个教学辅导参考书，无需教科书的刻板和严肃，故本书取名为万能解题法，目的是突出其用同一种方法解题的宗旨和思想，并使读者能在众多的理论力学参考书中因为名称的标新立异而投以一点关注的目光，也许你因此发现本书正适合你。正如“英语万能作文法”，专家褒贬不一，但勿庸置疑，它对那些初学水平的学习者，还是非常有帮助。同样，本书命名了一个哗众取宠的万能解题法，其实是言过其实的，也并不适合所有读者，特此说明。因时间仓促、水平有限，难免有错误和不妥之处，敬请指教。郑慧明前言：同一道理论力学习题，解题方法众多，容易造成思路混乱，为了使解题思路清晰和简单，并加深对理论力学各原理的优缺点的深刻了解，本书解题出发点遵循如下原则：尽量用同一种方法解题，优先考虑尽量避免引入不待求的未知量，使得列出的独立方程数目最少。其次才追求尽量用一个方程即可求出一个待求量。第1章静力学公式和物体的受力分析一问题问题1：有哪五大公理，该注意哪些问题？答：五大公理（静力学）（1）平行四边形法则（2）二力平衡公理（一个刚体）（3）力系加减平衡原理（一个，刚体）力的可传递性（一个刚体）三力汇交定理1.通过汇交面2.共面（4）作用与反作用力（运动学、变形体）（5）刚化原理问题2：画受力图步骤及应注意的问题？答：画受力图方法原则：尽量减少未知力个数步骤：a）根据要求，选取研究对象,去掉约束，先画主动力b）在去掉约束点代替等效的约束反力c）用二力轩、三力汇交，作用力与反作用力方法减少未知量个数，应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考。d）用矢量标识各力，注意保持标识的一致性。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。[例1]由哈工大1-2（k）改编;如图，各处光滑，不计自重。1）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图。2）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（带销钉C）。3）画出整体，AC（带销钉C）,BC（不带销钉C）。[解法提示]：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力个数。1）由整体利用三力汇交确定FA方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（不带销钉C）也三力汇交。（a）(b)(c)(d)2）由整体利用三力汇交确定FA方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（带销钉C）不能用三力汇交。具体参考1）3）由整体利用三力汇交确定FA方向，BC（不带销钉C）不能用三力汇交。AC（带销钉C）不能用三力汇交。[例2]由何锃1.4.3改编;如图，各处光滑，不计自重。1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图。2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）。3）画出整体，AB（带销钉B）,BC（不带销钉B）。。[解法提示]：1）由B点的特点，可用三力汇交确定FA方向。（a）(b)(c)(d)2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反作用力。注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。[例3]如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。[解法提示]：1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。[例4]何锃1.4.9;如图.各处光滑，不计自重。画受力图：构架整体、杆AB、AC、BC（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C[解法提示]：先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。依次由a)~f)作图。（a）(b)(d)(e)(f)第2章平面力系的简化和平衡一问题问题1：本章注意问题有哪些？1）找出二力轩2）约束力画正确3）①平面汇交力系：2个方程能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）平面力偶系：1个方程2个？平面平行力系：2个方程2个？平面任意力系：3个方程3个？一个系统总的独立方程个数为：能且只能求得相应数目？②任意力学列方程方法a)一矩式b）二矩式（力投影轴）c）三矩式不共线③具体对一个问题分析时注意（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部：方程2方程1+方程2＝整体方程是不行的（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对应方程问题2：如何取研究对象，如何列方程答：㈠、原则：（1）尽量列最少数目的方程只包含待求未知量（优先）尽量让每个方程能解出一个未知量㈡、解题思路（重要）:a)先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。b)从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D处,对点D取矩，依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。一般常用此方法。(本书称为顺藤摸瓜法)。㈢、如何用一个方程解一个未知量：（1）向不待求未知量垂线投影（2）在不待求未知量交点处取矩问题3：平面桁架关键问题有哪些？答：解题方法1）2）先找出零力杆。3）（从整体局部）先看整体能求出几个未知量（备用）,找出零力杆4）再从局部出发，一般先采用截面法。采用截面法应从以下原则入手：a）一次切出3个未知量（因为平面任意力系最多只能列出3个方程）,并最大限度包含待求未知量（目的是使方程个数最少）。b）在使用截面法，截出3个未知量后，若求其中一个未知量，则另2个未知量要么平行，要么相交。则可①②F①①②F①②③`③①②`①②二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。（一）平面任意力系例题【例1】由何锃例2.5;如图.各处光滑，不计自重。结构尺寸如图，C、E处为铰接；已知：P=10kN，M=12kNm。求A、B、D处的支座反力。[解法提示]：总共5个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程:【DE杆】,【BC杆】。答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN【说明】何锃课后习题2.14与此类似解法。【例2】由何锃例2.6改编;如图.各处光滑，不计自重。静定刚架尺寸如图所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在销钉C上。1）求销钉C对AC杆的约束力。[解法提示]：总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程即可:【销钉C+BC杆】,【AC杆不带销钉C】。答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN2）若仅求销钉C对BC杆的约束力。与上述类似，【销钉C+AC杆】,【BC杆不带销钉C】。3）若仅求A约束力。【AC杆】,【AC+BC】。4）若仅求B约束力。【BC杆】,【AC+BC】。4）若同时求A、B约束力。总共4个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程即可:如【BC杆】。【说明】哈工大第6版课后习题3-12,3-13,3-26,3-29与此类似解法。[3-29改编]:1)仅求A的约束反力。[解法提示]：总共3个？，按顺藤摸瓜法，尽量不引入不待求未知量，补充3个方程即可:【AB】,【ABC】,【ABCD】,2）若仅求B对AB约束力。取【AB】将引入不待求未知量MA,故【带销钉B+BC杆】,【带销钉B+BCD杆】.【例3】由何锃例2.7改编;如图.均质小车重P，如图所示放在组合梁ACB上，BD杆上作用形状为直角三角形、强度为q的分布力；杆重不计，求支座A、D的反力。[解法提示]：总共5个？，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程，但因为小车与AC、CB形成闭合回路，不可避免引入CB与小车间FK,故需补充3个方程:【BD杆】,【CBD】。【小车】。答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L）,FDX=ql/6+Ga/(2L）,FDY=Ga/(2L）【说明】哈工大第6版课后习题3-11;何锃课后习题2.11与此类似解法。【例4】由何锃例2.8改编;结构及其尺寸、载荷如图。已知Q=1000N，P=500N，力偶矩m=150Nm。1）求销钉B对杆BC的作用力。[解法提示]：总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程即可:【不带销钉B的BC杆】,【不带销钉B的BC杆+轮C+绳+Q+DC杆】。答案:FBCX=500N,FBCY=500N.2）若仅求B对杆BA的作用力。与上述类似，但须引入FA，故从局部（顺藤摸瓜）补充3个方程。【不带销钉B的BA杆】,【不带销钉B的BA杆+DC杆】.为了得到FA,【整体】。3）若仅求销钉C对杆DC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BD杆】【BC杆+轮C+绳+Q】。4）若仅求销钉C对杆BC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BC杆】【DC杆+轮C+绳+Q】。5）若仅求销钉D对杆DC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【DC杆】,【BC杆+轮C+绳+Q+DC杆】【说明】何锃课后习题2.12与此类似解法【例5】何锃课后习题2.16.如图.构架ABC由三杆AB、AC和DF组成，杆DF上的销子E可在杆AB光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知，，试求固定支座B和C的约束反力。[解法提示]：总共4个？，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，但因为AEG形成闭合回路，不可避免引入FE,故需补充2个方程:【BA杆】,【DF+AC】。共5个方程即可。答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N【说明】1)哈工大第6版课后习题3-20与此类似解法。2）何锃课后习题2.21.与此类似解法。[2.21]物体重，由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持如图示，已知，，不计杆与滑轮的重量，求支座A的约束力以及BC的内力。[解法提示]：总共3个？，先对整体2个有用方程,尽量不引入FB,【整体】,，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，【整体去掉BA杆后的部分】,共3个方程即可。【例6】哈工大第6版课后习题3-19:[解法提示]：总共6个？，因为AB包含所有未知力，取[AB]可列3个独立方程，还差3个。按顺藤摸瓜法，【整体】,【DF+AC】，【DF】。共6个方程即可。答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a.【说明】1)哈工大第6版课后习题3-24与此类似解法：[解法提示]：总共5个？，因为AB包含所有未知力，取[AB]可列3个独立方程，还差2个。按顺藤摸瓜法，【整体】,【DB】。共5个方程即可。【例7】何锃课后习题2.15.AB、AC、BC、AD四杆连接如图示。水平杆AB上有铅垂向下的力作用。求证不论的位置如何，AC杆总是受到大小等于P的压力。（只允许列三个方程求解）。[解法提示]：求FAC，但FAC与[AD]、[AB]相关，单独分别取[AD]或[AB]，必将引入A点AD或AB的作用力，不能直接求出FAC。按顺藤摸瓜法，为了不引入A点AD或AB的作用力，故取[DAB],则将在点B、D、E引入未知力。而E点力最多，故【DAB】。对引入的FB、FD，再次把其当作待求量，按顺藤摸瓜法，得到【BA杆】,【整体】。共3个方程即可。【例8】哈工大第6版课后习题3-25:[解法提示]：总共2个？，但因为DGC形成闭合回路，不可避免引入FB,故需列3个方程:按顺藤摸瓜法，【DCB】,【DCB+FC】，【整体】。共3个方程即可。答案:FDX=37.5N,FDY=75N【例9】何锃课后习题2.22.组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m，求支座反力及二力杆1，2，3，4的内力。[解法提示]：总共7个？，先对整体3个方程,可求出支座反力。再从局部（顺藤摸瓜）补充4个方程。因为二力杆1，2，3，4与DE相关，故取【DE杆】可列3个方程，再补充一个即可。同样，顺藤摸瓜，取【3，4+CB杆】:.（二）平面桁架例题【例1】哈工大第6版课后习题3-35:[解法提示]：按解题套路，先确定[DE]为0杆（去掉）。【切断AD、CD、CF，取右边部分】：。答案:FD=F【例2】何锃例题2.10.桁架由边长为a的等腰直角三角形为基本单元构成，已知外力kN，kN。求4、5、7、10各杆的内力。[解法提示]：按解题套路，先由整体得到FB,尽量用最少方程求解。故【切断4、5、6，取右边部分】：得到F4,得到F5.【切断6、7、8，取右边部分】：得到F7.【切断8、9、10，取右边部分】：得到F10.答案:F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-11.83KN,F10=51.83KN.【例3】哈工大第6版课后习题3-38。求1、2、3杆的内力[解法提示]：按解题套路，尽量用最少方程（3个）求解。故【切断AB、3、FB，取上边】：得到F2,由点F得到F1,F2.答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.【说明】1)哈工大第6版课后习题3-37与此相同。3-34，3-36类似解法：2)若求FAB,FBC,F3,(何锃课后习题2.17(b)),与此类似：求出FBF和地面对B点的力后，用节点法即可求得FAB,FBC。（三）其他题型答：应用合力矩定理求合力作用线方程。参考何锃例2.4。【例1】何锃例题2.2.如图平衡系统中，大小相同的矩形物块AB和BC上分别作用力偶、，。不计重力，求支座A、C的约束力。[解法提示]：1)若按一般常规方法，A、C点总共4个？，先对整体3个方程,再对【AB杆】:。此方法与以前方法一样，思路清晰，故本书推荐此法。2）方法2:利用二力平衡，确定FA、FC方向,再用力偶平衡理论作。此方法不易想到，仅对特殊题目适用。【例2】合力作用线方程，何锃例题2.4.如图的平面一般力系由力和力偶M组成，已知各力，，，汇交点A的坐标为，单位为m，力偶矩。求该力系的合力作用线方程。解：所以合力作用线方程为即第3章空间力系的简化和平衡一问题问题1：本章应注意问题有哪些？答：①力偶的合成方法；②空间力系最终简化结果；③力螺旋；④如何选取合适的轴对其取矩问题2：一般解题方法是什么？答：a)对轴而不是对点取矩b)选取轴AB的原则先选取A点；未知力最多的汇交点，先选取A点；未知力最多的汇交点，再选取B点：①B点为其他未知力最多的汇交点②或AB，使其他未知力最多的与AB平行二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】力对任意轴的矩问题。何锃例题3.3.长方体各边长分别为，沿对角线AB作用的力。求力对轴之矩。 解：因为轴通过O点，因此我们先求力对O点之矩。A例3.3图A例3.3图BOyzxabca/2F力对O点之矩为因此，力对轴之矩为【例2】求合力偶问题问题。何锃课后习题3.7.将图示三力偶合成。已知，正方体每边长。[解法提示]：1)若按一般万能方法，无论力偶在何任意面上，通过平面3点坐标，得到平面的平面方程，由此得到该平面的法向单位矢量，则该平面的力偶矩。再将各的各分量相加即可。比如OAB平面，由得到OAB平面方程Ax+By+Cz+D=0,则ni=(Ai+Bj+Ck)/，方向由平面方程中OAB的顺序，用右手安培定则确定。2）具体针对此题，用空间解析几何的其他方法将更简单。但因为上述方法对任意力偶合成均适用，故推荐使用此法。【说明】何锃课后习题3.8，3.113.13，解法与此类似。【例3】空间力系平衡问题。哈工大第6版例题4-10.已知各尺寸，求F4,F5,F6.F1,F2,F3.[解法提示]：1）根据解题方法，因为A点不待求未知量最多，故先确定A点，则1，2，3的力矩为0。再确定B点，4，5的力矩为0，故对AB：得到F6.类似找到AE，，得到F5。，得到F6。尽量依次选用x,y,z三个方向，这样不容易遗漏，且计算力臂简单，尽量避免对AF之类取矩，那样力臂计算复杂。2）A点使用完后，再找不待求未知量第2多点，有几个，选取F点，尽量依次选用x,y,z三个方向，即可求得F1,F2,F3.实际求得3个力后，用x,y,z三个方向力的投影即可求得另外3个力。不过，本书推荐全部使用对轴取矩法。【说明】何锃课后习题3.16，哈工大第6版课后习题4-18，4-19，4-20.解法与此类似。第4章摩擦一问题问题1：本章难点是什么？答：1）自锁问题2）解题方法①对非临界状态，把摩擦力当未知力，用任意力力系方法求解即可②先排除不可能的临界状态③列出所有的即将动的临界状态可能基本④对每一种基本组合，在假设的运动状态下确定达到临界状态的面的摩擦力的方向和大小，其他的未假设的面上摩擦力大小及指向与正压力无关，当作未知量（大小，指向均未知）问题2：解摩擦问题的解题思路是什么？解题步骤：一、若选取对象只在3点处受力（结合三力汇交定理），则可用几何法（应用摩擦角），否则用解析法；二、用解析法解题步骤1．先看系统总共有多少个未知量n1，及能列出多少个独立方程n22．若非临界状态，用任意力系方法做（把摩擦力当作与正压力FN无关的量）3．若，则需补充一个方程（能且只能）（即使存在多个摩擦面）补充方程来源一个摩擦面一个摩擦面两个摩擦面列出所有可能的临界状态组合基本直觉4．其中一个摩擦面达到临界存在4种可能（摩擦力向左、右，滚阻为逆时针、顺时针）。直觉理论考虑4种可能之前，排除不可能情形理论a)排除不可能组合b)确定5．差2个方程时，列出所有基本,可能的两两a)排除不可能组合b)确定滚阻摩擦力方向先滚阻摩擦力方向再对剩下的组合根据假设，在假设的摩擦力方向下，一一求解即可。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】利用摩擦角解题。哈工大第6版课后习题5-6.何锃课后习题4.1.3。若楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为，则欲使楔子被打入后而不致自动滑出，角应为多大？[解法提示]：利用摩擦角。答案：【说明】何锃课后习题4.7解法与此类似。【例2】应用解析法解题。何锃课后习题4.9。均质长方体A，宽1m、高2m、重10kN，置于的斜面上，摩擦系数，在长方体上系一与斜面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一重Q的重物B，求平衡时重量Q的范围。[解法提示]：按照上述解析法解题步骤1．先看系统总共有多少个未知量n1，及能列出多少个独立方程n2A处：2个，绳：1个，轮B：2个，+Qc,共计6个。方程：A处：2个，轮B：3个。故尽管有2个摩擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。2．补充1个临界方程来源：A处：（E处摩擦力任意，A摩擦力到临界，但只能向左，有FAs=fFAN）.(第1种可能)E处：（A处摩擦力任意，E摩擦力到临界，可能向左，可能向右。FEs=fFEN）.(2种可能)在这3种可能中，第1种可能已包含了：E摩擦力到临界，向左。故知讨论2种基本的可能临界了。在所假设的临界条件下，补充一个摩擦力与正压力关系方程即可求解了。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出一个未知量。3）至于B可能脱离地面情况，对[B]通过对B取矩，即可排除这是不可能的。4）A、E处摩擦力同时达到临界的情形，必然包含于上述2种基本情形之中。不用单独讨论。【具体解法】：1）A摩擦力到临界，向左，有FAs=fFAN（1）[整体]:.在对A求出FAN.即可求得Q。2）E摩擦力到临界，向右，有FEs=fFEN[整体]:.[整体除去A的剩余部分]:.即可求得Q。3）比较大小，得到范围。【说明】1）何锃课后习题4.10解法与此类似。[何锃课后习题4.10]圆柱重G，放在倾角的斜面上，由一直角弯杆挡住，如图所示。圆柱各处摩擦系数均为f，不计杆重。求向上拉动弯杆所需的最小力[解法提示]：按照上述解析法解题步骤1．系统仅需由摩擦条件补充1个临界方程。2．补充1个临界方程来源：A处：（B处摩擦力任意，A摩擦力到临界，依题意只能向上，有FAs=fFAN）.(第1种可能)B处：（A处摩擦力任意，B摩擦力到临界，只能向下。FEs=fFEN）.(第2种可能)在这2种可能中，互不完全包含。故要分别讨论。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出一个未知量。【具体解法】：1）A摩擦力到临界，向上，有FAs=fFAN（1）[轮C]:.(2)[AD:.(3)得到P1.2）B摩擦力到临界，向下，有Fbs=fFbN（1）[轮C]:.(2)[整体]:.(3)得到P1.3）比较大小，得到范围。2）哈工大第6版课后习题5-15，对轮C，分别利用对地面、AB与C的接触面取矩，从而确定出各摩擦面的摩擦力方向后，剩下的临界可能性就少多了。哈工大第6版课后习题5-18，解法与此类似。第5章点的运动学和刚体的基本运动一问题问题1：点的运动的主要知识点是什么？答：直角：矢径：弧坐标：问题2：点的运动难点是什么？答：⑴如何由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。⑵切向加速度，全加速度问题3刚体简单运动1）平动：在同一瞬时，各点一样，且，在其他任意时刻，尽管可能与上一时刻不同，但在同一时刻，各点一样，且，机构特点为平行四边形。而瞬时平动，仅在此瞬时，各点一样，且。机构特点:只要此时某一刚体上有两点的速度平行，且与两点连线不垂直。2）定轴：矢量表示法（起点必须为为向量上任一点）二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。哈工大第6版例题6-5.[解法提示]：利用全速度和加速度无论在直角和弧坐标下均相等的桥梁即可。注意【说明】哈工大第6版例题6-6解法与此类似。通过该题，可深入了解在静止地面作纯滚动轮子的与地面接触点的速度和加速度特点。该点是理论力学中难点，建议多加注意。【例2】平动问题何锃课后习题7.2在图示两机构中，，请就所给结果作出判断（正确的在括号里画“√”，错误的画“×”）图a：（1）（√）； （2）（√）；（3）（√）； （4）（√）；（5）（√）。 图b：（1）（√）； （2）（√）；（3）（×）；b）a）1122BAO2Ob）a）1122BAO2O1(a)1122O1O2AB(b)【例3】哈工大第6版例题7-2.[解法提示]矢量表示法（起点必须为为向量上任一点）第6章点的合成运动一问题问题1：动点动系问题存在哪些难点？答：㈠动点、动系和静系的选择原则1）动点、动系和静系必须分别属于不同的三个物体，否则绝对,相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动2）动点相对于动系的相对运动轨迹易于直接判断，一般为直线或圆周，否则，求速度可能是正确的，但求加速度时，由于仅相对加速度就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。3）一定要说明动点是在哪个物体上㈡具体方法一、1）构件A、B的接触点是构件A上不变的点D，则选取A上不变的点D为动点，动系为B2）构件AB的接触点，不是构件A或B上不变的点，则一定不能选接触点作为动点。一般选取其中一圆盘的圆心为动点。㈢大小？？？方向？？？知道任意4个由于只有3个矢量，任意知2个可用几何法（平行四边形法则）对于多于3个矢量的加速度合成时尽量用解析法。㈣1）动系作平动 ？？已知？已知故只有3个未知量2）动系作转动①在动系上（①在动系上（∞平面）②与动点重合③相对于静系㈤牵连速度㈥科氏加速度用求出W动系，后，若为负数，应在图中将,方向修正为实际方向。此时，W动系，为正数，并由确定出方向问题2：动点动系有几种题型，如何选取动点动系？答：六种题型：①AB上A点为接触点作法：选取接触点A为动点②两刚体无固定的接触点作法：该接触点不能为动点，原因是若取接触点为动点，求V，有时也能得到正确结果，这是因为求速度问题只是研究瞬时问题，与下一时刻如何运动无关，即与相对运动轨迹无关。但求加速度时，由于仅相对加速度就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。③套筒滑杆问题作法：选取轨迹明确的杆件或套筒为动系，轨迹一般为平动或定轴圆周运动。另一个构件上已知信息较多的点或构件上待求点为动点。④套环（或称交点）问题作法：取套环为一个动点，分别选取多个动系。⑤多动点、多动系作法：为体现刚体间的所有联系，应多次选取不同的动点、动系。⑥一个动系、多个动点作法：该方法可转化为一个动点、多个动系。实际上，此问题可选取一次动点动系，再应用同一刚体上两点关系的平面运动章节的问题来求解。那样，分析思路更清晰，易想到。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。何锃课后习题6.7半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使推杆AB沿铅垂导轨滑动，在图示位置时，凸轮有速度和加速度，求该瞬时推杆AB的速度和加速度哈工大第6版例题6-5.√⊥[解法提示]：①作法：1）选取AB上A点为动点，动系为o.[求速度]则Va=Ve+Vr大小？√？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Va,Vr大小，若只求Va，则⊥Vr投影。若只求Vr，则⊥Va投影，使得一个方程解出一个未知量)[求加速度]则aa=ae++大小？√？方向√√√√(⊥投影,求出aa)【说明】1）此题属于AB上A点为接触点问题。2）建议采用上述方法分析和表述解题步骤，使思路清晰。当然，应画出速度关系图、加速度关系图（本书忽略）。3）何锃课后习题6.3，哈工大第6版习题8-5。与此方法类似。当然，此题可用列出几何关系方程，对时间求一阶导，得到待求速度量；对时间求2阶导，得到待求加速度量。但此种几何法仅对简单问题有效，且纯粹是数学问题，本课程理论没有得到训练，故本书不推荐。类似问题如何锃例题6.3，例题6.5，哈工大第6版习题8-9，8-10，4）何锃例题6.3，课后习题6.3；哈工大第6版例题8-5，习题8-5，8-12，8-19，8-21。与此方法类似何锃例题6.5如图所示，半径为R的圆轮D以匀角速度绕轮缘上的轴转动，杆OA定轴转动并与圆轮始终接触。求图示瞬时杆OA的角速度和角加速度。哈工大第6版例题6-5.√？⊥[解法提示]：①作法：1）选取上D点为动点，动系为AB.[求速度]则Va=Ve+Vr大小√？（）？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，则⊥Vr投影。若只求Vr，则⊥Ve（）投影，使得一个方程解出一个未知量。若求出Vr、为负，将其改为正值，并在速度图中，将其指向换向，这是为了求科氏加速度时,大小和方向不易出错)[求加速度]则aa=++ar++大小√√？？方向√√√√√(⊥ar投影,求出)【说明】1）此题属于两刚体无固定的接触点。2）动系为AB实际意思是将动系固定在AB上，动系是一个无穷大平面，故其上必然有一点与轮D上重合的D’点，D’点即为牵连点，其运动由AB杆确定。3）何锃课后习题6.12（无），6.16，哈工大第6版习题8-10，8-20。与此方法类似。何锃例题6.4如图机构中，OA杆以匀角速度转动，，图示瞬时，。求该瞬时AC杆的角速度和角加速度。哈工大第6版例题6-5.√？⊥[解法提示]：①作法：[套筒B作定轴转动，以后求牵连加速度更方便，而AB作平面运动]选取AB上A点为动点，动系为套筒B.[求速度]则Va=Ve+Vr大小√？（）？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，则⊥Vr投影。若只求Vr，则⊥Ve（）投影，使得一个方程解出一个未知量。若求出Vr、为负，将其改为正值，并在速度图中，将其指向换向，这是为了求科氏加速度时,大小和方向不易出错)[求加速度]则aa=++ar++大小√√？？方向√√√√√(⊥ar投影,求出)【说明】1）此题属于套筒滑杆问题。何锃例题6.3如图机构，AB杆与套筒B固连，可在铅垂滑道中滑动，已知，杆以匀角速度绕轴转动。求在图示位置，AB杆的速度和加速度。[解法提示]：①作法：[套筒B和滑杆CD均作平动，任选取哪一个为动系均可，故此题方法多样.]方法1：套筒B为动系，C为动点。方法1：CD为动系，套筒B(或A)为动点。何锃课后习题6.17a,计算下列机构在图示位置CD杆上D点的速度和加速度。设图示瞬时水平杆AB的角速度为，角加速度为零。[解法提示]：①作法：套筒B作平面运动，而滑杆CD作定轴转动，故选取CD为动系，套筒B（退化为一点，称为滑块）为动点.因此，可把套筒和滑块当作同类。[交点问题]何锃例题6.6如图所示，小环P同时套在AB杆和圆环E上，AB杆和圆环E均以匀角速度作定轴转动，图示瞬时，AB杆与圆环半径DE垂直，。求该瞬时小环P的速度和加速度的大小。哈工大第6版例题6-5.√？⊥[解法提示]：作法：[求速度]1）选取套环（交点）为动点，取AE为动系。则VPX+VPY=Ve1+Vr1大小？？√？方向√√√√[平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,故无法求出3个？需补充其它有用方程]2）选取套环（交点）为动点，取OE为动系。则VPX+VPY=Ve2+Vr2大小？？√？方向√√√√[新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？][求加速度][所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at],不要漏掉科氏加速度即可]【说明】1）何锃课后习题6.6，6.15，哈工大第6版例题8-26.解法与此类似。[多动点、多动系问题]何锃例题6.8如图机构中，DE杆以匀速度v沿铅垂滑道向下运动，图示瞬时，OA杆铅垂，，。求此时OA杆的角速度和角加速度。哈工大第6版例题6-5.√？⊥[解法提示]：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线2表示AB与OA的联系，图中曲线1表示AB与DE的联系.图中曲线3表示AB与外部的联系，图中曲线4表示DE与外部的联系.作法：[求速度][体现曲线2：动点动系问题，即AB上A点为动点，OA为动系。]则VA=Ve1+Vr1大小()？()？？方向√√√[平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,故无法求出3个？需补充其它有用方程][求速度][体现曲线1：动点动系问题，即ED上D点为动点，AB为动系。]则VD=Ve2+Vr2大小√()？？方向√√√[新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？][求加速度][所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at],不要漏掉科氏加速度即可]【说明】1）何锃课后习题6.4,6.5,6.10,6.18,6.19，哈工大第6版课后习题8-18,8-27解法与此类似。[多动点、1动系问题]何锃例题6.7如图机构中，转臂OA以匀角速度绕O转动，转臂中有垂直于OA的滑道，DE杆可在滑道中相对滑动。图示瞬时DE垂直于地面，求此时D点的速度、加速度。哈工大第6版例题6-5.√？⊥[解法1提示]：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线1表示DE上D点与OA的联系，图中曲线2表示表示DE上E点与OA的联系.图中曲线3表示OA与外部的联系，图中曲线4表示DE与外部的联系.作法：[求速度][体现曲线1：动点动系问题，即DE上D点为动点，OA为动系。]则VADX+VADY=Ve1+Vr1大小？？√？方向√√√√[平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,故无法求出3个？需补充其它有用方程][求速度][体现曲线1：动点动系问题，即ED上E点为动点，OA为动系。]则VADX+VADY=Ve2+Vr2大小？？√？方向√√√√[新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？][求加速度][所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at],不要漏掉科氏加速度即可][解法2提示]：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线1表示DE上D点与OA的联系，图中曲线2表示表示DE同一个刚体两点的联系，用刚体平面运动知识即可。图中曲线3表示OA与外部的联系，图中曲线4表示DE与外部的联系.因为各曲线是串联关系，故此法相对解法1，更直观，更易想到。作法：[求速度][体现曲线1：动点动系问题，即DE上D点为动点，OA为动系。]则VADX+VADY=Ve1+Vr1大小？？√？方向√√√√[平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,故无法求出3个？需补充其它有用方程][求速度][体现曲线1：刚体平面运动（基点法）]则VADX+VADY=VE+VDE大小？？？DE√方向√√√√[新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？][求加速度][所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at],不要漏掉科氏加速度即可。刚体平面运动（基点法）,无科氏加速度。]【说明】何锃课后习题6.17b解法与此完全一样。第7章刚体的平面运动一问题问题1：平面运动存在哪些主要知识点1．求同一刚体上两点的速度/加速度关系，动系原点与基点A相同，但作平动，2．，角加速度也如此。3．求速度的3种方法a)基点法，可同时求V,b)速度投影法（对连杆问题，只求速度，此法最好，不能直接求）纯滚动瞬时平动：VA=V纯滚动瞬时平动：VA=VB=VC=……WAB=0可替代基点法，一般较简单。故求，一般用速度瞬心法。对连杆问题，只求速度，则优先考虑采用速度投影法。熟悉求速度瞬心的几种方法。4．求加速度只用基点法！注意，速度瞬心一般不是加速度瞬心。因为加速度投影法和加速度瞬心法仅在非常特殊的情况下在成立，故求加速度推荐尽量只用基点法！5．如果刚体B上的A点满足以下条件之一，则①定轴转动的定轴点②③若，但通过B点问题2：如何列出独立的运动学关系方程？答：1）体现刚体与刚体，刚体与外部的联系。2）不要有重叠的关系（即线条重叠或称为闭合回路现象）二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。第8章质点动力学基本规律一问题问题1：质点运动学主要知识点是什么？答：点的运动微分方程本章在高中物理基础上，仅补充了采用弧坐标来表示牛顿第2定律，这是因为刚体上的点运动往往是曲线的，采用弧坐标中切向和法向加速度更方便而已。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。第9章动量定理一问题问题1：动量定理主要知识点是什么？答：1）质心公式 2）动量 3）动量定理（通式）（导数形式）（微分形式）冲量、4）求系统的动量问题，实际上是应用运动学知识求各刚体（质点可认为半径为0的刚体）的质心速度。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。第10章动量矩定理一问题问题1：动量矩定理主要知识点？一）、转动惯量的计算：a)杆b)圆环c)圆盘d)矩形板e)平行轴定理：（c点必须为质心，过A、c点的轴必须平行，d为两平行轴的距离）二）、绕o点作定轴转动刚体三）、一个刚体对任意点动量矩定理1）动量矩（或称角动量）：对固定点平面运动平动 定轴转动 四）、动量矩定理：当D点为刚体C上的点，若D点满足下列四个条件之一，则对刚体C有：①D为定轴转动的固定点②D为质心C③此时④说明:，理不好运用，并等价于动静法中对整体为研究对象，对任意点取矩得到的方程，而用动静法使得动力学问题分析思路更简单、清晰，故本书不推荐使用多个刚体对固定点o的动量矩定理，而用动静法，详见后文动静法。问题2：应用动量/矩定理解题方法是什么？答：解题分析思路：列动力学方程因为只有一个刚体才有转动惯量，故对多个刚体（认为质点是半径为0的刚体）的动力学问题只能取每个刚体单独分析，一个刚体可列三个动力方程。质点就只有这两个质点就只有这两个2）补充方程来源:应用运动学知识（动点动系和刚体平面运动），找出加速度关系，找加速度关系的思路是体现刚体间联系、刚体与地面(外部)联系公式中的V、W通过运动学速度关系求出3）应用动量/矩定理解题，由于必须取分离体，又只能对每个刚体特定D点取矩，故必将引入不待求的刚体间的作用力，使多刚体动力学变得很复杂，故对多刚体动力学问题，建议不用动量/矩定理解题方法，而用以后的动静法等。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。第11章动能定理一问题问题1：动能定理有哪些主要知识点？答：1）积分形式：→求速度量V、W2）导数形式（实际上就是功率方程）：，得到一个方程，可求理想约束力系统的加速度量。该方程实际上是与动量/矩定理线性相关，可替代动量/矩中的一个方程。比如对2个刚体，由动量/矩定理可列出6个独立的动力学方程，则功率方程必可由此6个独立的动力学方程推出，故7个方程不可同时使用。一般对于一个自由度系统，又未给出任何加速度信息，且所有的未知力不做功，用一个功率方程（联合运动学关系），就可容易求得加速度量，否则，使用应用功率方程将问题变得复杂，思路不清晰，尽量避免使用。此外，功率方程实际上就是采用一般坐标的一个自由度系统的拉格朗日方程的变形。同理，一般对于n个自由度系统，又未给出任何加速度信息，且所有的未知力不做功，用n个拉格朗日方程（由于采用广义坐标，各运动量是独立的，不用联合运动学关系），就可容易求得n个加速度量，推荐使用。若有未知力做功，使用拉格朗日方程将问题变得复杂，思路不清晰，尽量避免使用。采用动静法更合理。在后面动静法中将明白其原因。3）动能 ，功 4）动能定理积分形式：（用于求解一个运动过程的速度问题，从而给出所关心时刻的速度量，这是求解动力学问题中的法向加速度所需。）动能定理导数形式：（功率方程），可求解某些加速度问题。微分形式：，一般仅用于推导公式。5）功的计算：若定轴：6）刚体动能：平面任意运动：7）对于适合应用功率方程的问题，作题步骤如下：利用功率：（除法规则）（FA,VA与位置的变化无关，是待求时刻的值）（导数：求导规则）8）两种值得注意的情况：①作纯滚动，地面静止时②作纯滚动，木板滑动故作纯滚动的两物体间的摩擦力做功之和为0。问题2：如何应用动能定理解题？答：1）若求解一个运动过程的速度问题，应用动能定理的积分形式。从而给出所关心时刻的速度量，这也是求解动力学问题中的法向加速度所需。）2）应用a）动量/矩 b)动静法 c)动能定理导数形式（功率方程）三种方法均可求系统加速度方法，但难易不同。选用功率方程的原则为当a)系统自由度只有一个（即只有一个未知a、）；b)所有未知力不作功（理想约束反力）；c)只求加速度。则优先考虑用功率方程，否则用动静法。（或用功率方程取代动静法中的一个方程）此法不推荐3)动能定理之机械能守恒原理实际上也可用动能定理积分形式做题，难度差异不大，故不介绍。4）至于运动学补充方程来源，每种方法均相同。问题3：动能定理有哪些难点？1）积分形式求速度问题：弹簧问题T1=0，处于静平衡位置T=t1；m1速度为V1,求偏离静平衡位置X时的V2上述问题只要静平衡位置是重力和弹簧力(弹簧变形量L0)共同作用的结果，则取静平衡位置为零势能点，认为物体无重力，弹簧力F=kx(x为弹簧相对于静平衡位置的变形量)，应用如下公式刚体弹簧问题也类似。2）导数形式求加速度问题：弹簧问题也同上。二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。第12章达朗贝尔原理（动静法）一问题问题1：动力学有多种方法，如何选取合理的解题方法？答：动力学有多种解题方法，所学的有a）动量/矩 b)动静法 c)动能定理导数形式（功率方程），三种方法均可求系统加速度方法，但难易不同。选取合理的解题方法如下:当a)系统自由度只有一个（即只有一个未知a、）；b)所有未知力不作功（理想约束反力）；c)只求加速度。则优先考虑用功率方程，否则用动静法。（或用功率方程取代动静法中的一个方程）此法不推荐。至于运动学补充方程来源，每种方法均相同。若研究的涉及一个过程，还需用动能定理积分形式来给出所求时刻的速度量，从而得到法向加速度量。原因：动能定理导数形式（实际上就是功率方程）：，得到一个方程，可求理想约束力系统的加速度量。该方程实际上是与动量/矩定理线性相关，可替代动量/矩中的一个方程。比如对2个刚体，