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PAGE2-矩阵初等变换的应用摘要：矩阵是高等代数研究数学问题的工具，而矩阵的初等变换尤为突出.本文通过用矩阵的初等变换法求矩阵的逆矩阵、对空间中向量的线性关系的判断、求空间的基以及不同基之间的过渡矩阵、化二次型为标准形，总结矩阵初等变换的应用.关键词：初等矩阵；初等变换；线性关系；基；过渡矩阵；二次型；标准形1.通过矩阵的初等变换证明矩阵的可逆性及求矩阵的逆矩阵定理阶矩阵可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积[1]即=由此可得（1）故（2）（1）式中就相当于对作一系列初等行变换，（2）式表明对Ｅn实施了同样的初等行变换,即对于增广矩阵进行初等行变换当变为单位矩阵的同时单位矩阵就变为逆矩阵.定理方阵可逆的充分必要条件是[3]任意一个矩阵经过一系列的初等行变换总能变成阶梯形矩阵，矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性，若为方阵且,则可逆.例[1]：设,求解：对增广矩阵作一系列初等变换如下：,故2.通过矩阵的初等变换确定向量间的线性关系设是ｎ维线性空间的基,是中的一向量组，且即对矩阵进行一系列初等行变换成阶梯矩阵,容易确定其列向量的线性关系,也可以由线性相关性定义出发,建立向量等式即由条件线性无关导出线性方程组由此判断间的线性关系.当线性相关时,此方程组有非零解;当线性无关时，此线性方程组只有零解.例：已知=（1,1,1），=（0,2,5），=（1,3,6）讨论它们之间的线性相关性=r()=2<3=向量个数.所给向量组是线性相关的3.初等变换求子空间的与和交的基在解析几何中我们是通过引入坐标来研究向量的性质，对于有限维线性空间,坐标同样是一个有力得工具，那么确定线性空间的一组基显得越来越重要.设是数域Ｐ上的维线性空间，表示由中一组向量生成的子空间，向量组的一个极大无关组就是该空间的基.3.1和空间基的求法若,对进行初等变换不改变的列向量的线性关系,即,其中,i)若,则ii)若线性相关线性相关事实上,由初等变换的定义知道,方程组与同解.因此,若,则有,求和空间的基，只要求向量组的一个极大无关组即可.对进行一系列的初等变换变为阶梯形矩阵，该阶梯形矩阵列向量的极大线性无关组,对应的原矩阵的列向量即为的一组基.例[4]设,其中,,,,,求的基解：以为列作矩阵，并对进行初等行变换得：中第列线性无关，故为的基3.2交空间基的求法若,维,维,则且,于是,s.t.,即则是齐次线性方程组（*）的解,其系数矩阵为设（*）的解空间维数为，由于维=维+维-维由维数公式得维,上述过程给出了求交空间基的方法,只要求出齐次线性方程组的基础解系，便可求得基.例[4]设,,其中,,,,求的基解：设,则,使得其中数是方程的解,对其系数矩阵作初等行变换得：解矩阵对应的齐次线性方程组，得其基础解系为从而,是的基.4.将线性无关向量扩充成基设是维向量空间的线性无关的向量组，如果将其扩充为的一组基，初等行变换是一种有效的方法，对进行一系列初等变换，变为阶梯形矩阵容易确定其列向量的极大线性无关组即为扩充基.例[4]：将扩充成的一组基子式，这相当于第2列与第3列作了交换，取则的行列式不为零，是的一组基5.用矩阵的初等变换求两基的过渡矩阵在维线性空间中，任意的个线性无关的向量组都可以取作该空间的基,对于不同的基,同一向量的坐标一般是不同的,设是维线性空间的单位基,为到基的过渡矩阵，由初等变换与初等矩阵的关系，通过初等行变换将化为,即,故因此,即,则例[4]在中,求由基到基的过渡矩阵设解故由基到基的过渡矩阵的过渡矩阵为6.通过矩阵的初等变换化二次型为标准定理在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵[1]将二次型化为标准形，新二次型矩阵与原二次型矩阵合同.,则阶满秩矩阵有为对角阵),由于满秩矩阵可以分解为有限个初等矩阵的乘积,即则于是（是初等矩阵是进过一系列初等变换得到），那么也是初等矩阵，因左乘相当于对进行初等行变换，而右乘相当于对作初等列变换，对应的变换有三种：(记：为的行，为的列)

i)对调的与得同时对调与ii)的乘以同时对的也乘以iii)的得同时对的实际上,例[1]化二次型为标准形解：该二次型矩阵为于是故（，，）=2-2+参考文献：[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2006[2]刘丁酉.矩阵分析[M].武