09春经济数学基础期末复习指导

09春《经济数学基础》期末复习指导第一章．函数1．重点掌握：初等函数、分段函数定义域求法，函数值的计算，函数奇偶性的判别。2．基本练习：（1）求下列函数的定义域； ；（2）设，求，；（3）判别下列函数的奇偶性；；第二章．一元函数微分学1．重点掌握：极限的四则运算法则和两个重要极限，极限的计算方法；导数的基本公式，导数的四则运算法则和复合函数求导法则，隐函数的求导方法；2．典型例题计算下列极限（1）解：原式＝＝＝＝1（2）解：原式＝＝例2．计算下列函数的导数或微分（1），求解：＝＝＝（2）是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边对x求导得：解关于的方程得：,3．基本练习（1）计算下列极限A．；B．；C．；D．；E．；F．；（2）计算下列函数的导数或微分A．设，求；B．设，求；C．设，求；D．设是由方程确定的隐函数，求；F．设是由方程确定的隐函数，求；（3）求下列函数的间断点A．；B．；（4）求下列函数的二阶导数A．设，求；B．设，求；C、设，求第三章导数的应用1．重点掌握求切线方程；判别函数的单调性；极值点的判别；求边际成本，边际收入，边际利润；求需求弹性；经济分析中平均成本最低，收入最大，利润最大等问题的解法。2．基本练习（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单减区间；（3）设某种商品的收入函数，求销售量为10时的边际收入。（4）设某种商品的需求函数为，求价格为20时的需求弹性；(5)已知某产品的销售价格（单位：元／件）是销量（单位：件）的函数，而总成本为（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？第四章一元函数积分学1．重点掌握积分基本公式；不定积分的直接积分法，凑微分法和分步积分法；定积分的计算方法。2．典型例题例1．计算不定积分解：令，则，根据分部积分公式得：例2．计算定积分解；3．基本练习（1）计算下列积分A．；B．；C．；D．；E．；F．；（2）计算下列积分A．；B．；C．；D．；第五章积分的应用1．重点掌握用不定积分或定积分求总成本函数，总收入函数，利润函数及其增量；微分方程解的概念及可分离变量微分方程，一阶线性微分方程的解法。2．典型例题例1：设某产品的总成本是产量q的函数，且边际成本（元/件），固定成本元。问产量为何值时，平均成本最低？最低平均成本是多少？解：总成本平均成本=0解之：根据问题的实际意义，产量为400件时，平均成本最低。最低平均成本为（元/件）例2：求微分方程的通解。解：方程为一阶线性微分方程，其中，因根据通解公式知：3．基本练习某产品的边际成本为（万元/百台），固定成本为48万元。问；产量为多少时平均成本最低？最低平均成本是多少？（2）某商品的边际收入（元/件），求收入最大时的销售量及最大收入。（3）某商品的边际收入（元/件），边际成本为（元/件），问：产量为多少时，得润最大？在此基础上再生产100件，利润如何变化？（4）解微分方程A．求微分方程的通解；B．解微分方程，。矩阵1．重点掌握：矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵2．典型例题例1：设矩阵，求解因为所以例2：设，，解矩阵方程AX=B，并求解：（1）先求。由AX=B得（2）3．基本练习（1）解矩阵方程A设.B．设,,（2）求逆矩阵设,.B．设,.（3）设,；（4）设A为可逆矩阵，若；若；线性方程组重点掌握线性方程组的有解判定定理；用消元法求线性方程组的一般解．2．典型例题例1：设线性方程组讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.解因为所以当且时，方程组无解当时，方程组有唯一解当且时，方程组有无穷多解.例2：λ为何值时，线性方程组有解？有解时求出解来。解：（1）（2）当λ=1时方程组的一般解为3．基本练习（1）λ为何值时，方程组有解？有解时求出解来。（2）解方程组（3）若线性方程组有唯一解，则方程组；若线性方程组只有0解，则。（4）线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵后为：当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。经济数学基础形成性考核册参考答案经济数学基础作业1一、填空题：1.02.13.4.5.二、单项选择：1.D2.B3.B4.B5.C三、计算题：1、计算极限(1)(2).原式=(3).原式===(4).原式==(5).原式==(6).原式===42.(1)当(2).函数f(x)在x=0处连续.3.计算下列函数的导数或微分(1).(2).(3).(4).=(5).∵∴(6).∵∴(7).∵=∴(8)(9)===(10)2.下列各方程中y是x的隐函数，试求(1)方程两边对x求导：所以(2)方程两边对x求导：所以3.求下列函数的二阶导数：(1)(2)经济数学基础作业2一、填空题：1.2.3.4.05.二、单项选择：1.D2.C3.C4.D5.B三、计算题：1、计算极限(1)原式==(2)原式==(3)原式=(4)原式=(5)原式==(6)原式=(7)∵(+)(-)1(+)0∴原式=(8)∵(+)1(-)∴原式===2.计算下列定积分：(1)原式==(2)原式==(3)原式==(4)∵(+)(-)1(+)0∴原式==(5)∵(+)(-)∴原式==(6)∵原式=又∵(+)(-)1-(+)0∴=故：原式=经济数学基础作业3一、填空题1.3.2..3..4..5..二、单项选择题1.C．2.A．3.C．4.A．5.B．三、解答题1．（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=2．解：原式==3．解：=4．解：所以当时，秩最小为2。5．解：所以秩=26．求下列矩阵的逆矩阵：（1）解：所以。（2）解：所以。7．解：四、证明题1．试证：若都与可交换，则，也与可交换。证明：∵，∴即，也与可交换。2．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。证明：∵∴，是对称矩阵。3．设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。证明：充分性∵，，∴必要性∵，，∴即为对称矩阵。4．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。证明：∵，∴即是对称矩阵。经济数学基础作业4一、填空题1..2.，，小3..4.4.5..二、单项选择题1.B．2.C．3.A．4.D．5.C．三、解答题1．求解下列可分离变量的微分方程：(1)解：原方程变形为：分离变量得：两边积分得：原方程的通解为：（2）解：分离变量得：两边积分得：原方程的通解为：2.求解下列一阶线性微分方程：（1）解：原方程的通解为：*（2）解：原方程的通解为：3.求解下列微分方程的初值问题：(1)解：原方程变形为：分离变量得：两边积分得：原方程的通解为：将代入上式得：则原方程的特解为：(2)解：原方程变形为：原方程的通解为：将代入上式得：则原方程的特解为：4.求解下列线性方程组的一般解：（1）解：原方程的系数矩阵变形过程为：由于秩()=2<n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：（其中为自由未知量）。（2）解：原方程的增广矩阵变形过程为：由于秩()=2<n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：（其中为自由未知量）。5.当为何值时，线性方程组有解，并求一般解。解：原方程的增广矩阵变形过程为：所以当时，秩()=2<n=4，原方程有无穷多解，其一般解为：6．解：原方程的增广矩阵变形过程为：讨论：（1）当为实数时，秩()=3=n=3，方程组有唯一解；（2）当时，秩()=2<n=3，方程组有无穷多解；（3）当时，秩()=3≠秩()=2，方程组无解；7．求解下列经济应用问题：（1）解：①∵平均成本函数为：（万元/单位）边际成本为：∴当时的总成本、平均成本和边际成本分别为：（万元/单位）（万元/单位）②由平均成本函数求导得：令得唯一驻点（个），（舍去）由实际问题可知，当产量为20个时，平均成本最小。（2）解：由得收入函数得利润函数：令解得：唯一驻点所以