数学行列式计算论文

PAGE第2页共9页高等代数典型方法选讲论文行列式的计算方法行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法。定义法级行列式的值等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和,这里是的一个排列,每一项都是按下列规则带有符号:当是偶排列时,带有正号,当是奇排列时,带有负号.这一定义可以写成,这里表示对所有级排列求和.但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对2级3级的行列式采用。而对与高阶行列式中0元素较多的行列式则可以采用.因行列式的项中有一因数为零时，该项的值为零，故只需求出全部为非零乘积的项相加即可。通常是从行列式的一般项行入手，将行标按自然数排列，讨论列标的所有可能的非零取值，并且要注意每一项的符号。例.计算12345阶行列式=解:有定义法知:只需求出A中所有的非零项相加即可。D中的第一行的非零元素只有，因而，同理于是在可能取的数值中，只能组成一个12345个元素的排列：1234412343…2112345.而此排列的逆序数为=为偶数，故化三角法运用行列式的8个性质将化为上(下)三角形或者对焦三角形此时行列式值即比较明显求出.这是计算三阶及三阶以上行列式值的基本方法和主要方法.特别对于和型行列式可用主对角线元素化为上(下)三角形计算.对于和型行列式可用副对角元素化为上(下)三角形行列式计算．例.求解4阶行列式三.降阶法利用行列式的性质对行列式中存在某行（列）0元素较多的行列式进行行(列)展开.容易留下少些非0部分将行列式降阶一般也只对非特殊阶数不高的行列式计算如下.亦可利用降阶定理对高阶的行列式求值.例．计算行列式解：====-7降阶定理:设是方阵,且A可逆,则证明:四.加边法行列式的计算一般是想办法降阶,但对于某些行列式,在保持原行列式值不变的基础上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是有0和1组成),然后可化为爪型行列式,最终在根据行列式性质化为上下三角形行列式计算.例.求分析:这类行列式的一个显著特点就是每一行每一列除个别元素以外均相同,这时可加条边将相同元素化为0.解：五.递推法按行或者列展开行列式,使行列式降阶,比较原行列式和降阶后的行列式异同,找出递推关系,如降阶一次看不出关系,可再降阶一次试试.观察总结出递推关系.此类行列式一般行列式都表现出特殊规律的形式.例．计算行列式解:这个行列式的特点是主对角线上的元素全是a,上次对角线上的元素全为b,下次对角线上元素全为c,其余元素均为0.为了求递推公式,可按第一行展开得:.令,.则,于是,.因此,(1)若,则(2)若,则六．利用VanderMonde行列式计算因为要用到Vandermonde行列式，所以先简单介绍（Ⅰ）（Ⅱ）Vandermonde行列式的结构特点：第一行（列）全为零2.后行（列）与前行（列）之比为3.的指标数从0依次增加到n-1例.计算行列式解：七.用数学归纳法求解（证明）行列式数学归纳法是证明（计算）行列式的常用方法。首先建立递推关系，当递推关系仅涉及相邻两阶行列式时，采用归纳法。但是它必须事先知道结论,或者可以猜出结论然后归纳证明.所以数学归纳法大都用于已经知道结果的关于特殊行列式求值的证明题.八.拆行（列）法计算若行列式某一行（列）或多行（列）可以表示成两项之和，且有一拆成的项相同元素较多(一般都会全力相同)，则此时可以利用行列式的拆项的性质，将行列式拆成两个简单的行列式计算。例.计算n阶行列式解：=0计算行列式的方法有很多，还需要我们更深入的学习。以上是常用行列式的求解方法。方法之间也可以交错运用。做题目时候灵活结合。使得题目更加的简单更加容易的处理。提高运算效率。对于行列式的计算，往往由于方法的不同，难易繁简差别程度甚大，欲使计算过程简单明了，要善于选择适当的方法，掌握一定的技巧。对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义。因此，我将着力于研究各种方法的使用领