必修二《第八章 立体几何初步》同步检测试卷与答案

《8.1基本立体图形》同步检测试卷

一、基础巩固

1.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）

2.把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径

之比为1:3,母线长为6cm,则已知圆锥的母线长为（）cm.

A.8B.9C.10D.12

3.如图所示的组合体，其结构特征是（）

A.左边是三棱台，右边是圆柱B.左边是三棱柱，右边是圆柱

C.左边是三棱台，右边是长方体D.左边是三棱柱，右边是长方体

4.下列说法正确的是（）

A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中各条棱长都相等

D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

5.如图，在棱长为1的正方体ASCO-AgCQ中，M，N分别是44,

的中点，过直线8。的平面。||平面40N,则平面a截该正方体所得截面的面积

为（）

A.V2B.-C.&D.国

82

6.一个圆锥的母线长为/,母线与轴的夹角为30。，则该圆锥侧面展开图的

圆心角大小为（）

A.生B.三C.生D.万

323

7.已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且

是边长为6的等边三角形，则球面面积为（）

A.42万B.487rC.64〃D.60乃

8.半径为E的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）

A.且兀R3B.&兀R?C.B兀ND.也兀R3

248248

9.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原

棱锥的高的比是（）

A.-B.-C.-D.-

2334

10.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为（）

A.4B.729C.2>/23D.4>/17

11.下列说法中错误的是（）

A.正棱锥的所有侧棱长相等

B.圆柱的母线垂直于底面

C.直棱柱的侧面都是全等的矩形

D.用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形

12.正三棱锥底面边长为“，高为巫a,则此正三棱锥的侧面积为（）

6

A33「362n373

A♦Cl2D.Cl2U•------ciD•----ci2

4242

二、拓展提升

13.已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形，各侧棱长均

相等，且侧棱长为J万，求四棱台的高.

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1：4.母线长

为10,求圆锥的母线长.

15.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀cm?和25兀cm?.

（1）求圆台的高；

（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.

答案解析

一、基础巩固

1.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）

▽

【答案】C

【详解】

由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.

2.把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径

之比为1:3,母线长为6cm,则已知圆锥的母线长为（）cm.

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【详解】

设圆锥的母线长为/,

因为圆台的上、下底面半径之比为1:3,

所以/—6:/=1:3,

解得1=9.

3.如图所示的组合体，其结构特征是（）

A.左边是三棱台，右边是圆柱B.左边是三棱柱，右边是圆柱

C.左边是三棱台，右边是长方体D.左边是三棱柱，右边是长方体

【答案】D

【详解】

根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方

4.下列说法正确的是（）

A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中各条棱长都相等

D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【答案】A

【详解】

A显然正确；

棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，

例如正六棱柱的相对侧面，故B错误；

棱柱的每条侧棱长相等，而不是各条棱长都相等，故C错误；

棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故D错误.

5.如图，在棱长为1的正方体ABC。-A5GA中，M,N分别是AQ,4用

的中点，过直线8。的平面。||平面40N,则平面a截该正方体所得截面的面积

C.D.—

2

取CQ,8£的中点为P,Q.

易知\MN/IBQJIBD,AD//NP.AD=NP,所以四边形ANPD为平行四边

形，所以AN//DP.

又BO和DP为平面DBQP的两条相交直线，所以平面DBQP//平面AMN,

即DBQP的面积即为所求.

由PQ//DB,PQ=；BD/,所以四边形DBQP为梯形，高为

Ig

所以面积为：-{PQ+BD）h=^.

2o

6.一个圆锥的母线长为L母线与轴的夹角为30。，则该圆锥侧面展开图的

圆心角大小为（

,7t

A.—BcD

3-T-T-"

【答案】D

【详解】

设半径为「，

由母线长为/,母线与轴的夹角为30。，

得：sin30°=-^r=-/,

12

则底面圆的周长为：2兀厂=兀/,

jrl

所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为：囤=子=

7.已知过球面上三点A民。的截面到球心距离等于球半径的一半，且

△ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为（）

A.42万B.48%C.647rD.60万

【答案】C

【详解】

取的中点〃，连接切，由题意可得△/回的外心O'在线段切上，

由A/WC是边长为6的等边三角形可得CO=3百，O'C=|cr）=2V3,

设球的球心为。，半径为R,连接OC、OO',如图:

R

由球的性质可得OC=R,OO'，平面ABC,即。。'=—,

2

所以

在用△(?/中，O'O2+0'C2^OC2sp-+(2@-=&,

\2J

解得R=4或R=T（舍去）,

所以该球的表面积S=4TTR2=64乃.

8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）

A.@万R3B.好■兀RC.立兀R3D.立兀N

248248

【答案】C

【详解】

设底面半径为则忘"R,所以「哈

所以圆锥的高力=J店-产=走c

2

所以体积旷=L/x/z」/咛x近R=@仝.

33⑴224

9.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原

棱锥的高的比是（）

【答案】B

【详解】

设棱台的高为〃与截得它的棱锥的高“，作出草图，如下图所示:

SO_(9,C,SO;QCj5H-h^4

由相似关系可得,t所以《5?=方声=不，则

~SO~~OCoc/J下9

/A\24A

得

r可

n1H=-

4-w9-H

77

10.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为()

A.4B.V29C.2723D.4>/17

【答案】B

【详解】

设长方体的三条棱的长分别为：x，v，z,

12(xy+yz+词=52

人4(x+y+z)=36

可得对角线的长为

yjx2+y2+z2-y](x+y+z)2-2(xy+yz+zx)-^92-52=^29•

11.下列说法中错误的是()

A.正棱锥的所有侧棱长相等

B.圆柱的母线垂直于底面

C.直棱柱的侧面都是全等的矩形

D.用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形

【答案】C

【详解】

对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A正确；

对于B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与

底面垂直,故6正确；

对于C,直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等,故。错误；

对于〃圆锥的轴截面是全等的等腰三角形，故。正确.

综上可知，错误的为C

12.正三棱锥底面边长为“，高为"”，则此正三棱锥的侧面积为（）

6

An2zi2C35/32n3百2

A♦。B・aC»------ciD•-----ci

4242

【答案】A

因为底面正三角形中高为立a,

其重心到顶点距离为=且

2233

棱锥高逅a,所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为

加噎所以侧面积为

二、拓展提升

13.已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形，各侧棱长

均相等，且侧棱长为J万，求四棱台的高.

【答案】3.

由题意可知该四棱台为正四棱台，过A作AELAC于E点，

在△AEA中，AA=VF7,AE=8近个近=2叵，

：.4七=，17-8=3

故答案为3

14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1：4.母线长

为10,求圆锥的母线长.

40

【答案】y.

【详解】

设圆锥的母线长为/,圆台的上、下底面半径分别为广，R

"-10r1,40

IR43

40

即圆锥的母线长为：y

15.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀31?和ZSTtcm?.

(1)求圆台的高；

(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.

【答案】(1)3厉cm.(2)20cm.

【详解】

(1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD,。一。分别为

AD,5C的中点，作于点连接。。.

由已知可得上底半径。丛=2cm,下底半径OB=5cm,且腰长AB=12cm,

AAM=V122-32=3V15(cm),即圆台的高为3，i?cm.

(2)如图，延长84,。。交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为/cm,

则由△SAQS^SB。，得警=%，即二经=],.•.即截得此圆台的圆锥的母

SDD(J/5

线长为20cm.

s

《8.2立体图形的直观图》同步检测试卷

一、基础巩固

1.已知水平放置的△/回是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其

中夕O'=CO'=1,A'O'=也,那么原△力回的面积是（）

2

A.GB.272

U・--Un・-石-

24

2.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的

直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以

上结论正确的是（）

A.①②B.①C.③④D.①②③④

3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于y轴，BC,

平行于x轴.已知四边形/四的面积为20cm2,则原平面图形的面积为（）

C.8cm2D.872cm2

TT

4.已知边长为1的菱形ABC。中，ZA=-,则用斜二测画法画出这个菱形

的直观图的面积为（）

A>/3R6ry/6口娓

2468

5.如图，正方形O'AB'C'的边长为1M,它是水平放置的一个平面图形用斜

二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）

A.8cmB.6cmC.2（1+G）cmD.2（1+V^cm

6.已知正AA5c的边长为。，那么AABC的平面直观图VAEC的面积为

（）

A.直/B.轧2C.通/口.逅/

48816

7.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1

的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）.

A.1+72B.2+V2C.-+—D.1+也

222

8.如图，已知AQ钻的直观图△0W8'是一个直角边长是1的等腰直角三角

形，那么的面积是（）

D.V2

9.下列说法正确的是（）

A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

B.梯形的直观图可能是平行四边形

C.矩形的直观图可能是梯形

D.正方形的直观图可能是平行四边形

10.如图所示，正方形斤C的边长为1,它是水平放置的一个平面图形

的直观图，则原图形的周长是（）

O'A'

C.2+3夜D.2+273

11.用斜二测画法画水平放置的AABC的直观图，得到如图所示的等腰直

角三角形V4BC.已知点O'是斜边BC的中点，且A也=1,则AABC的边BC

边上的高为（）

C.垃D.272

12.如图所示，XNB'C是水平放置的AABC的直观图，则在AABC的三

边及中线AD中，最长的线段是（）

A'/y'

B'D'C

二、拓展提升

13.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直

观图.

14.如图，正方形O'AB'C的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直

观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.

15.圆台的上、下底面半径分别为5c»z、IOCT/Z,母线长AB=20C7〃，从圆台

母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到3点（3在下底面），求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.

答案解析

一、基础巩固

1.已知水平放置的△/少是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中

B'O'=CO'=1,A'O'=①，那么原△/L%的面积是（）

2

A.y/3B.272

u・—u«

24

【答案】A

【详解】

由题图可知原△/%的高为A0=百,

•*.S&ABC=~XBCX0A=-X2Xy/3=百，故答案为A

2.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的

直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以

上结论正确的是（）

A.①②B.①C.③④D.①②③④

【答案】A

【详解】

由斜二测画法的规则可知：

因为平行关系不变，所以①正确；

因为平行关系不变，所以②是正确；

因为直角变为45。或135。，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；

因为平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴的线段长度不变，所以④是错

误，

3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边4?平行于y轴，BC,

"平行于x轴.已知四边形力时的面积为2力cm）则原平面图形的面积为（）

A.4cm1B.4及cm2C.8cm2D.8>/2cm-

【答案】C

【解析】

详解：设斜二测画法中梯形的上底为长度。，下底长度为。，AB=h,

则梯形的面积为：S=g（a+b）x¥〃=2上，则（a+b）/z=8cv/,

原平面图形是一个梯形，且上底为长度。，下底长度为6,高为243=2〃,

其面积为：S'=g（a+〃）x2/z=+=8cm2.

TT

4.已知边长为1的菱形ABC。中，4=则用斜二测画法画出这个菱形

的直观图的面积为（）

A6R6「娓nC

A.D.C.U.

2468

【答案】D

【详解】

JT

菱形ABCD中，45=1,ZA=—,

则菱形的面积为S菱形Meo=2SMB°=2xgxlxlxsin?=~^;

所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S：S-c“k=娓.

~25/2~2y/2~8

5.如图，正方形O'AB'C'的边长为1项，它是水平放置的一个平面图形用斜

二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）

C.2（1+6）cmD.20+旬cm

【答案】A

【详解】

解：将直观图还原为平面图形，如图所示.

OB=2O'B'=242-OA=O'A!=\,所以48=d+(2夜y=3,

6.已知正AABC的边长为。，那么AABC的平面直观图VA0C的面积为

)

A.昱a2B.&a1C.逅/D.逅/

48816

【答案】D

【详解】

如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，AB=AB^a,O'C'^-OC^—a,

24

在图②中作C'D'1.A'B'于，则CD'=O'C's\w^=—a^—=—a.

428

所以S，、/=-A'B'C'D'^-ax-a^—a2.

“sc22816

7.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1

的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）.

A.1+72B.2+正C.-+—D.1+也

222

【答案】B

【详解】

如图，恢复后的原图形为一直角梯形,

8.如图，已知AQAB的直观图△O'A'6'是一个直角边长是1的等腰直角三角

形，那么△。钻的面积是（）

【答案】D

【详解】

平面直观图AO'/T歹与其原图形如图,

直观图AO'/Te是直角边长为1的等腰直角三角形，

还原回原图形后，边O'4还原为Q4长度不变，仍为6,

直观图中的09在原图形中还原为0B长度，且长度为2,

所以原图形的面积为5=:。4。8=:乂2*0=血，故选D.

9.下列说法正确的是（）

A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

B.梯形的直观图可能是平行四边形

C.矩形的直观图可能是梯形

D.正方形的直观图可能是平行四边形

【答案】D

【详解】

A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误.B

项，原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯

形的直观图不可能为平行四边形，故B项错误.C项，原图形相互垂直的两条直

线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中

仍然互相平行，所以矩形的直观图中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平

行四边形而不能为梯形.故C项错误.D项，原图形相互垂直的两条直线在直观

图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相

平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方

形的直观图可能是平行四边形.故D项正确.选D

10.如图所示，正方形O'4B'。的边长为1,它是水平放置的一个平面图形

的直观图，则原图形的周长是（）

A.6B.8C.2+3收D.2+2百

【答案】B

【详解】

作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段。片轴,

所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变,

点C和B'在原图形中对应的点。和3的纵坐标是O夕的2倍,则0B=2及，

得到如图所示的等腰直

角三角形VA'B'C.已知点O'是斜边BC的中点，且A©=1,则AABC的边5c

A.1B.2C.y[2D.272

【答案】D

【详解】

•.•直观图是等腰直角三角形AB'C,?5i4C90,AV=I,AAVC=夜，

根据直观图中平行于丁轴的长度变为原来的一半，

...△ABC的边上的高2At=2VL故选D.

12.如图所示，ANB'C是水平放置的AABC的直观图，则在AABC的三

边及中线AD中，最长的线段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

【答案】D

【解析】

因为A'B'与y'轴重合,B'C与x'轴重合，所以AB_LBC,AB=2A'B',

BC=B,C'.所以在直角△ABC中,AC为斜边，故AB<AD〈AC,BC<AC.

二、拓展提升

13.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直

观图.

【答案】见解析

【详解】

由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，

其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图

所示.

14.如图，正方形O'AB'C的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直

观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.

【答案】原图见解析，Scm,2

【详解】

如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O/Mie/??;在y轴上取

08=20'*=2岳加在过点8的x轴的平行线上取3c=3'C'=la〃.

连接0,A,B,。各点，即得到原图形.易知，四边形力宽为平行四边形,

0C=yj0B2+BC=^/8+T=3(cm),

:•平行四边形如a1的周长为(3+l)x2=8(cm),面积

S=lx2夜=20(c>).

15.圆台的上、下底面半径分别为5c加、10cm,母线长AB=20cm,从圆台

母线A8的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到3点（B在下底面），求:

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.

【答案】（1）Site触；（2）明麓.

【解析】

试题解析：（1）画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇

形的圆心为©.

有图得：所求的最短距离是:戚醉，设嬷法=：感，圆心角是管，则由题意知，

为版=僦①，腐蜘=篇图普遭）②，由①②解得，筋=3：震=懒，

.,.»=»W,=«,则颤縻=演瞰题!.故绳子最短的长度为：.

（2）作例垂直于逑懒:交于：D,皿是顶点◎到翻解的最短距离，

I◎用翔的如游”

则TC是阙脚与弧悬殿的最短距离，度=踊-逊=--2电初,

：»

即上底面圆周上各点到绳子的最短距离是强的.

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积》同步检测试卷

一、基础巩固

1.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFG”,下半部分是长方

体ABC。—EEG”.正四棱锥尸-EFG”的高为百，EF=2,AE=l,则该组合

体的表面积为（）

A.20B.473+12C.16D.4百+8

2.一个正四棱锥的底面边长为2,高为百，则该正四棱锥的全面积为

A.8B.12C.16D.20

3.如图所示，已知正三棱柱ABC-A46的所有棱长均为1，则三棱锥

的体积为（）

---------------------B

'、B

A.—B.@C.—D.—

124124

4.把正方形ABC。沿对角线AC折起，当以4,8,C,。四点为顶点的棱锥体

积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）

A.90°B.60C.45°D.30°

5.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（)

12T12T

正视图侧视图

俯视图

A.-B.1CD

3-?-1

6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）

A.gB.|C.半D.2及

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上

有袤无广.刍，草也.薨，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如

图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱=即7平面/比〃即与平

面口的距离为2,该刍薨的体积为（）

34

8.已知三棱锥F/8C满足：P（=AB=45,PA=B^y/3,4俏分=2,则三棱锥

产/回的体积为（）

A而RV6R2A/6八V6

2334

9.如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体

的三视图，则该四面体的表面积为（)

A.6+18人

B.18+9夜

C.9+18夜

D.18+6上

10.在直三棱柱中，AB=AC=3c=2,AAt=l,则点A到平

面ABC的距离为（）

A.立B.—C.迪D.y/3

424

11.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用

一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸,

盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口

面积之比）为（）（台体体积公式：嗅体=g（R+J啊+S2）〃，5,,邑分别

为上、下底面面积，力为台体的高，一尺等于10寸）

12.在正方体4况物/《〃中，三棱锥〃力8c的表面积与正方体的表面积的

A.1：1B.1：m

C.1：铺D.1：2

二、拓展提升

13.如图，已知A6CO-agG2是棱长为2的正方体.

(1)求证：平面ABQ//平面C乃。；

(2)求多面体5GA的体积.

14.如图，正方体ABS-AB'C'D的棱长为。，连

AC,4。,43,80,80,得到一个三棱锥.求：

D'C,

(1)三棱锥4-3co的表面积与正方体的表面积之比；

(2)三棱锥4-的体积.

15.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等，E

为a1的中点，高为P0,且N0正=30。，求该四棱锥的侧面积和表面积.

p

答案解析

一、基础巩固

1.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体

ABC。一EEG".正四棱锥P-EFG”的高为百，EF=2,AE=1,则该组合体

的表面积为（）

P

A.20B.473+12C.16D.4百+8

【答案】A

【详解】

由题意，正四棱锥P-瓦’GH的斜高为百工1=2,该组合体的表面积为

2x2+4x2xl+4x—x2x2=20.

2

2.一个正四棱锥的底面边长为2,高为百，则该正四棱锥的全面积为

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【详解】

由题得侧面三角形的斜高为4引1=2，

所以该四棱锥的全面积为22+44-2.2=12.

2

3.如图所示，已知正三棱柱ABC-4与£的所有棱长均为1,则三棱锥

8「486的体积为（）

C.

...-L---H

.广、8

A百Gcan指

A.DR.C.U.

124124

【答案】A

【详解】

三棱锥4-HBG的体积等于三棱锥G-AB0的体积，

因此，三棱锥g-A8C的体积为_LXY1XLX1X1=正，

32212

3.把正方形ABCO沿对角线AC折起，当以A,5,C,D四点为顶点的棱锥体积

最大时，直线60和平面A8C所成的角的大小为（）

A.90°B.60C.45°D.30°

【答案】C

【详解】

记正方形ABCO的对角线AC与B。交于点。，

将正方形ABCD沿对角线AC折起后，如图，

当。O_L平面ABC时，三棱锥。-A5c的体积最大.

D

：.ZDBO为直线30和平面ABC所成的角,

•.•因为正方体对角线相互垂直且平分，

所以在RSOOB中，OD=OB,

直线8D和平面ABC所成的角大小为45°.

4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()

K—2T12-

正视图侧视图

俯视图

【答案】C

【解析】

该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积V=；x(gx2x2)x2=g.故

选C.

5.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）

C晅D.2亚

'亍

【答案】C

【详解】

设圆柱的底面半径为此则圆柱的高为2尺圆柱的体积眸n#・2庐2n〃,

外接球的半径为0R，故球的体积为：三兀=当兀鹏,

故外接球的体积与该圆柱的体积的比值为迪.

3

6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上

有袤无广.刍，草也.薨，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如

、3

图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱=即〃平面4BCD,跖与平

面勿口的距离为2,该刍薨的体积为（）

A.6B.—C.—D.12

34

【答案】B

【详解】

如图，作.FNHAE,FM//ED,则多面体被分割为棱柱与棱锥部分,

因为夕7与平面45⑦的距离为2,

所以四棱锥片A比V的高为2,

j1（3、2

所以「四棱惟尸,悦尸qS.悦〃x2=-x2x2——x2=—

313

/棱柱ZMI^NW：=S且截面x—=—x2x2x——3

211

所以该刍薨的体积为V=K四校推尸3+，棱柱gNMF=Q+3=1.

故选：B

7.已知三棱锥卜四。满足：陷四=石，PA=BO^>,AOPB-2,则三棱锥I^ABC

的体积为（）

AV6「2屈n指

A.-----DR.L.--------D.------

2334

【答案】B

【详解】

因为心力庐石，PA=BOy[3,AC=PB=2,

构造长方体如图所示:

则PC,AB,PA,BC,AC,依为长方体的面对角线,

a2+b2=5

AD-a,BD-b,CD-c,则</+/=3,

a2+c2=4

解得"=血，所以三棱锥R/宽的体积为:

C=1

长方体的体积减去三棱锥C-DAB,F-PAC,G-PBC,E-PAB的体积，

gpV=>/3xV2xl-4x-xV3x—x>/2xl=—,

323

8.如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的

三视图，则该四面体的表面积为（）

二二z乙聿s二二二z至二二二

A.6+18及

B.18+9正

C.9+18及

D.18+6及

【答案】C

【详解】

根据三视图可还原为三棱锥，如图取8D中点。，连接OAOC,

由三视图可得，AC_L平面38,且AC=3,BD=6,0C=3,

OA=VOC2+AC2=3V2»BC=CD=3叵,

S.ABC=^^ADC=-X3>/2x3=—A/2,

s«8cO=；x6x3=9,S4ABD=；x6x3V^=9拒,

该四面体的表面积为2夜+2夜+9+98=9+18夜.

22

9.在直三棱柱ABC—ARC中，AB=AC=3C=2,M=h则点A到平面

ABC的距离为（）

A.—B.—C.—D.百

424

【答案】B

【详解】

-AB=BC=AC=2...AABC为边长为2的等边三角形

SMBC=1x4sin60=G,又A4,‘平面ABC

।

，9-ABC=7S&ABC'm=-

•.♦A3=AC=V?TT=6，BC=2

・・・•^^^^^。边上的高九二后斤二？:.S^BC=^BC-h=2

设点A到平面ABC的距离为d

*,匕।-ABC=匕-ABC:Js刖Bld=3d=当,解得：”=¥

10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用

一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸,

盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口

面积之比）为（）（台体体积公式：瞑体=g（S+J啊+S2）/?,5,,邑分别

为上、下底面面积，力为台体的高，一尺等于10寸）

「237474

A.3B.40.-----D.

497?

【答案】A

【详解】

解：由题意可得：池盆盆口的半径为14寸，盆底半径为6寸，盆高为18

寸，

因为积水深九寸，故水面半径为gx（14+6）=10寸，

则盆中水的体积为:乃x（6?+102+6x10）x9=588万（立方寸），

故该处的平地降雨量为：二［=3（寸），

〃xl4~

11.在正方体4a场1/C〃中，三棱锥〃M6C的表面积与正方体的表面积的

比为（）

A.1：1B.1：m

C.1：铺D.1：2

【答案】C

【详解】

2

设正方体ABCD-A.B,C,D,的棱长为a,则正方体ABCD-ABCR的表面积为S2=6a,

且三棱锥D「AB£为各棱长均为伍的正四面体,

其中一个面的面积为S=」x@x缶x缶所以三棱锥D「AB£的

222

表面积为：所以三棱锥D「AB£的体积与正方体

2

ABCD-ABCR的表面积之比为：£：Sa=l：6..

二、拓展提升

13.如图，已知ABC。-AgG2是棱长为2的正方体.

(1)求证：平面平面G8D；

(2)求多面体BGR-ABC。的体积.

20

【答案】(1)见解析；(2)y.

【详解】

(1)由已知，在四边形。能〃中，BBJ/DR豆BB产DD、,

故四边形DBB。为平行四边形，即D.BJ/DB,

'：平面DBa,:.D\B\//平面DBC\；

同理在四边形才中，ABJ/D。,

同理44〃平面DBQ,

又•：AB\CD、B\=B\,

二平面44〃〃平面BDCX.

114

(2)在正方体中，V；_A^=-X2X-X2X2=-,

又正方体的体积为片8,

所求多面体用GA-A3。的体积=8-：4=中20

14.如图，正方体ABC。-AB'C'D的棱长为。，连

4。；4。,4氏瓦),5。,。。得到一个三棱锥.求：

D'C

(1)三棱锥4-5CO的表面积与正方体的表面积之比;

(2)三棱锥4-3。。的体积.

【答案】(1)T⑵*

【详解】

如图所示:

(1)由图可知,三棱锥为正四面体，且棱长为0a

所以三棱锥4-5。。的表面积为4*4(亿『=2氐2

正方体A8C。-A'8'CZ)'〃的表面积为6a2

所以三棱锥的表面积与正方体ABCD-AB'CZ)'〃的表面积之比

为2岛2也

'6a2-T

(2)因为三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个等体积的三棱

锥的体积，

所以棱锥4-5CD的体积为：a3-4x-x—xaxa^-a3.

323

15.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等，E

为比的中点，高为P