投资学因子模型和套利定价理论

投资学第八讲因子模型和套利定价实际组合选择实际的一个缺陷马科维茨的PortfolioSelection实际阐明了如何在给定风险程度下获得最大的资产组合收益。但是在有效边境确实立上，需求做大量的变量估计，对计算才干的要求非常高。

假定分析人员需求分析n种股票，那么按照均值－方差模型的要求需求估计：n个期望收益n个方差(n2-n)/2个协方差假设n＝50，总共为1325个假设n＝100，总共为5150个假设n＝3000，总共要估计超越450万个变量8.1因子模型〔Factormodel〕定义：因子模型是假设资产的收益是由某个收益生成过程所决议的〔而不是根据Markowitz方法〕，而这个生成过程那么可以经过某个收益率统计公式线性地表述出来。根据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。8.1.1单因子模型假设把经济系统中的一切相关要素作为一个总的宏观经济指数。假设：〔1〕证券的报答率主要取决于该指数的变化；〔2〕除此以外的要素是公司特有风险：剩余风险例如，GDP增长率是影响证券报答率的主要要素。因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7

14.326.4

19.23

8.9 23.44

8.0 15.65

5.1

9.2 6

2.9 13.04%图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的报答率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的报答率与GDP增长率。经过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为经过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的普通方式：对时间t的任何证券i有时间序列其中：rit在时期t证券i的报答ai零因子ft是t时期公共因子的取值bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷〔factorloading〕eit在时期t证券i的特有报答

〔8.1〕假设只思索在某个特定的时间的因子模型，可以省掉角标t，从而〔8.1〕式变为并且假设〔8.2〕假设(1)：因子f详细取什么值对e没有影响，即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是报答率的独一要素。假设(2)：一种证券的e对其他任何证券的e没有影响，两种证券之所以相关，仅是由于它们具有共同因子f所致。假设上述假设不成立，那么单因子模型不准确，应该思索添加因子或者其他措施。对于证券i，由〔8.2〕其报答率的均值〔期望值〕为其报答率的方差因子风险非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为〔8.3〕用因子模型简化组合选择过程单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差，一个因子f方差，共3n＋1个估计值假设n＝50，之前1325个，如今151假设n＝100，之前5150个，如今301假设n＝3000，之前450万＋，如今9001一个特殊的因子模型证券收益可以用预期到的收益和未预期到的收益两个部分来解释，构成了未预期到的因子变化包含知信息的预期报答f是证券i的因子变化，它是不可预测的。假设市场有效，那么t-1时辰的信息集预测t时辰的价钱无效，这等价于t-1时辰信息无法预测t时辰的因子，即对于因子的变化没有任何倾向——公平赌局〔Fairgame〕价钱〔收益〕的不可预测，本质上是信息的不可预测。单要素模型的简化是有本钱的，它仅仅将资产收益简单地以为仅与一个因子相关。因此难以把握公司对不同的宏观经济要素的反响。例：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。8.1.2多因子模型双要素、三要素与五要素模型双要素模型：经济周期[GDP]和利率[IR]是两个最重要的系统要素.三要素模型：FamaandFrench除市场收益外,调查了公司规模大小[SIZE]、托宾Q值比[HML]这两个要素.五要素模型：把宏观经济要素分解为：行业消费变动百分比[IP]、预期通胀变动百分比[EI]、非预期通胀变动百分比[UI]、长期公司债券对长期政府债券的超额收益[CG]、长期政府债券对短期国库券的超额收益[GB].两因子模型假设只思索一期的模型，那么可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券i，其收益率的均值其收益率的方差对于证券i和j，其协方差为证券i对因子1的敏感度多因子模型对于n种证券相关的m〔m<n)个因子，证券i的收益可以表示为

CAPM：市场平衡条件下的最优投资组合实际

APT：无套利平衡下因子模型8.2套利定价实际〔APT〕套利〔Arbitrage〕是利用证券定价之间的不一致，同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而在不承当风险的情况下锁定一个正收益。三要点：-零投入-无风险-正收益.套利时机套利时机-假设可以持有自融资的投资组合并获得确定的正收益arisesifaninvestorcanconstructazeroinvestmentportfoliowithasureprofit.假设市场是有效的,套利时机将立刻消逝.由于任何投资者,不思索风险厌恶与财富情况,均情愿尽能够多地拥有套利组合的头寸,大量头寸的存在将导致价钱上涨或下跌直至套利时机完全消除.

两种套利方法：当前时辰净支出为0，未来获得正收入〔收入净现值为正〕当前时辰一系列能带来正收入的投资，未来的净支出为零〔支出的净现值为0〕。假设如今6个月即期年利率为10%〔延续复利，下同〕，1年期的即期利率是12%。假设有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，那么有套利时机。套利过程是：买卖者按10%的利率借入一笔6个月资金〔假设1000万元〕签署一份协议〔远期利率协议〕，该协议规定该买卖者可以按11%的价钱6个月后从市场借入资金1051万元〔等于1000e0.10×0.5〕。按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息1127万元〔等于1000e0.12×1〕，并用1110万元〔等于1051e0.11×0.5〕归还半年期的债务后，买卖者净赚17万元〔1127万元-1110万元〕。这是哪一种套利？套利不仅仅局限于同一种资产〔组合〕，对于整个资本市场，还应该包括那些“类似〞资产〔组合〕构成的近似套利时机。无套利原那么〔Non-arbitrageprinciple)：根据一价定律，两种具有一样风险的资产〔组合〕不能以不同的期望收益率出卖。8.2.1APT的根本假设1、市场是充分竞争的、无摩擦的〔Perfectlycompetitiveandfrictionlesscapitalmarkets〕；2、投资者是非满足的：只需有套利时机就会不断套利，直到无利可图为止。－不用对投资者风险偏好作假设3、资产的报答可以用因子模型表示。

APT的根本原理：由无套利原那么，在因子模型下，具有一样因子敏感性〔b〕的资产〔或组合〕应提供一样的期望收益率。

8.2.2构建套利组合

Arbitrageportfolio1、零投资：套利组合中购买证券的资金由卖出别的证券来提供，即自融资〔Self-financing〕。2、无风险：在因子模型条件下，因子动摇导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。3、正收益：套利组合的期望收益大于零。用数学表示就是WellDiversifiedPortfolioRecallthereturnonaportfolioremainscanapproach0withdiversificationRiskassociatedwithfissystematicornon-diversifiableRiskassociatedwiththeei’sisdiversifiable.WesaythataportfolioiswelldiversifiedifTheEffectofDiversificationAssume(i.e.allerrorshavethesamevar)LetTheerrorisreducedbyafactorofn.AsLet’stakealookattheerrorterm8.2.3套利定价模型假设投资者构造这样的资产组合：〔1〕无风险利率借入1元钱；〔2〕1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。假设不存在套利时机，那么该套利组合的收益为0根据条件〔2〕，普通方式的证明见附录APT的意义假设bi＝0，那么上式退化为无风险资产，那么意味着假设bi≠0，那么期望报答随着的添加而增大风险因子载荷APT的意义假设给定等投资额的证券h多头和证券l空头，那么构成套利组合。投资者为获利必定尽能够地购入证券h，从而使其价钱上升，预期收益率下降，最终到达APT定价线。在平衡时，一切的证券都落在套利定价线上，只需证券偏离APT定价线就会有套利时机。APT定价线8.2.4APT的另一种表达那么称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合)在两因子模型下，我们有即第1因子的风险价钱第2因子的风险价钱这样可将APT的表达式可以改写为8.3APT与CAPM的比较APT与CAPM的一致性假设只需一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，那么当APT与CAPM均成立时有1、CAPM是一种实际上非常完美的模型，但假设条件太多、太严厉。其中关键的假设是同质性假设和普通平衡。APT假设少得多。根本假设是：个体是非满足，不需求风险躲避的假设！只需一个人套利，市场就会出现平衡CAPM与APT的区别2、在CAPM中，市场组合居于不可或缺的位置〔假设无此，那么其实际瓦解〕。APT并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合：纯因子组合3、假设纯因子组合不是市场组合，那么APT与CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与APT等价。CAPM与APT的区别留意二者并不一致由于市场组合在实践中不是总能得到，因此，在实践运用中，只需投资基金等组合，即可满足APT。所以APT的适用性更强！4、APT的推导以无套利平衡为中心，CAPM那么以普通平衡GeneralEqulibrium中心。5、CAPM属于单一时期模型，但APT并不遭到单一时期的限制。6、在CAPM中，证券的风险只与市场组合相关。APT成认有多种要素影响证券价钱，为识别证券风险的来源提供了分析工具。1976年罗斯(Stephen.A.Ross,1944～)的套利定价实际(APT,ArbitragePricingTheory)。命题：假设n种资产其收益率m个因子决议〔m<n〕，即其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,m，那么附录：APT的严厉证明证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险的组合，即wi满足以下条件零投资无风险〔2〕〔1〕即，1、bj〔j=1,2,…,m)线性无关。假设市场有效，那么不会有套利平衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只需〔1