专题24.5点与圆的位置关系（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.5点与圆的位置关系（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•温州期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，∴OP＜5．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．2．（2022秋•邗江区校级期末）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．无法确定【答案】A【分析】根据题意：OP＝4＜r，进行判断即可．【解答】解：设圆的半径为r，由题意得：OP＝4＜r＝5，∴点P与圆O的关系是：点P在圆内．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与半径的大小关系，来判断点与圆的位置关系是解题的关键．3．（2022秋•沭阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三角形各边距离相等【答案】B【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据三角形外心的性质对D进行判断．【解答】解：A、经过不共线的三点一定可以作圆，所以A选项错误；B、等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以C选项错误；D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．4．（2022秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】A【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心．故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单．5．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，故选：D．【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．6．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．【答案】C【分析】由点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内知|a﹣1|＜2，据此可得答案．【解答】解：∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，∴|a﹣1|＜2，则﹣2＜a﹣1＜2，解得﹣1＜a＜3，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．7．（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【答案】C【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD＝7，在Rt△PBC中计算出PC＝9，则PC＞PD＞PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝35，∵AB＝8，BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6，在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝35，∴PD=AP在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝35，∴PC=PB∴PC＞PD＞PB，∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．8．（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值【答案】A【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．9．（2021•孝感）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】由题知，AC为直径，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．【解答】解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD=12AB=12又∵OD＝3，∴OA=AD∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．10．（2023•金东区三模）如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是（）A．32+1 B．32-1 C．2【答案】B【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，∵直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，∴A（6，0），B（0，6），∴OA＝OB＝6，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝6，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，∴BD＝62，∴CD＝62-2∴OM=12CD＝32即OM的最小值为：32-1故选：B．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键，也是难点．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•增城区校级期末）若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O外（填“内、上、外”）【答案】外．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝6cm，∴d＞r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O外，故答案为：外．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．12．（2022秋•惠城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是弧CAB上一点，若∠ABC＝20°，则∠D的度数是70°．【答案】70°．【分析】由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，再由∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，由同弧所对的圆周角相等得到所求的角与∠BAC的度数相等，进而确定出所求角的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝20°，∴∠BAC＝70°，∵∠D和∠BAC都为BC所对的圆周角，∴∠D＝∠BAC＝70°．故答案为：70°【点评】本题考查了圆周角定理，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．13．（2023•南漳县模拟）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是4或5．【答案】见试题解答内容【分析】这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况：（1）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2）斜边是AC，即外接圆直径是10．【解答】解：根据题意得（1）斜边是BC，即外接圆直径是8，半径为4；（2）斜边是AC，即外接圆直径=62+8故答案为4或5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝43，则⊙O的半径是4．【答案】4．【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD=33BC=33∴CD＝2BD＝8，∴OC＝4，即⊙O的半径是4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．15．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为（6，6）．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵⊙M是△ABC的外接圆，∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN＝CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴点M的坐标为（6，6）；故答案为：（6，6）．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证出OMN为等腰直角三角形是解题的关键．16．（2022•扬州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为210-2【答案】见试题解答内容【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC=BC2则CE′＝OC﹣OE′＝210-2故答案为：210-2【点评】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=253∴圆片的半径R为253cm【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．18．（2021秋•新昌县期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】首先连接BE，由AE是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABE＝90°，又由AD⊥BC，∠E＝∠C，即可证得∠BAE＝∠CAD．【解答】解：∠BAE＝∠CAD．理由：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠E，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∵∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠CAD．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．19．（2018秋•海州区校级月考）如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点．（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为（2，0）；．（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径＝25（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D外（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为90°．【答案】见试题解答内容【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可得到圆的半径；根据圆的半径＝25即可判断点与圆的位置关系．【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心D的坐标为（2，0）；（2）①圆D的半径=42+②点（7，0）在圆D外；③∠ADC的度数为90°．故答案为：（2，0），25，外，90°．【点评】本题考查的是垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．20．（2023•贵池区一模）如图，△ABC内接于半圆O，AB为直径，∠ABC的平分线交AC于点F，交半圆O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，求证：（1）∠CAD＝∠ABD；（2）点P是线段AF的中点．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠DBC＝∠CAD，然后利用等量代换即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠ADE+∠EDB＝90°，再根据垂直定义可得∠DEB＝90°，从而可得∠EDB+∠ABD＝90°，进而利用同角的余角相等可得∠ADE＝∠ABD，然后再利用（1）的结论可得∠ADE＝∠CAD，从而可得PA＝PD，最后再利用等角的余角相等可得∠DFP＝∠EDB，从而可得PD＝PF，即可解答．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DBC＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ABD；（2）∵AB为半⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠ADE＝∠ABD，∵∠CAD＝∠ABD，∴∠ADE＝∠CAD，∴PA＝PD，∵∠ADF＝90°，∴∠CAD+∠DFP＝90°，∴∠DFP＝∠EDB，∴PD＝PF，∴PA＝PF，∴点P是线段AF的中点．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．21．（2023•福鼎市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，弦BD与AC相交于点E，连接AD，CD，∠BAD＝3∠CBD，连接AO并延长交BD于点F．（1）求证：AF＝AD；（2）若CB2﹣CD2＝4，求BD•CD的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAO＝∠CAO，由∠BAD＝3∠CBD，推出∠BAF＝∠CBD，得到∠BAF＝∠CAD，又AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，即可证明△ACD≌△ABF（ASA），得到AD＝AF，（2）由AF＝AD，∠DAE＝∠FAE，得到AE⊥DF，DE＝EF，由勾股定理得到BC2＝BE2+CE2，CD2＝CE2+DE2，于是推出BD•CD＝BC2﹣CD2＝4．【解答】（1）证明：连接OB，OC，∵AB＝AC，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAC＝2∠BAF，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2∠BAF+∠CBD，∵∠BAD＝3∠CBD，∴∠BAF＝∠CBD，∴∠BAF＝∠CAD，∵AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，∴△ACD≌△ABF（ASA），∴AD＝AF；（2）解：∵AF＝AD，∠DAE＝∠FAE，∴AE⊥DF，DE＝EF，∴BC2＝BE2+CE2，CD2＝CE2+DE2，∴BC2﹣CD2＝BE2﹣DE2＝（BE+DE）（BE﹣DE）＝BD•（BE﹣EF）＝BD•BF，∵△ACD≌△ABF（ASA），∴CD＝BF，∴BD•CD＝BC2﹣CD2＝4．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明△ACD≌△ABF（ASA），由勾股定理推出BD•CD＝BC2﹣CD2＝4．22．（2021•福田区校级三模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝32，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【分析】（1）∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，∠CAE＝∠CBD，AC＝BC，利用“ASA“即可证明；（2）先求出AE和AD，在Rt△ABD中用勾股定理可得AB，从而求出⊙O半径．【解答】解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCDAC=BC∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝