辽宁省大连市名校联盟2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

九年级（上）期末检测数学试卷（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列事件为随机事件的是（）A．负数大于正数 B．三角形内角和等于180°C．明天太阳从东方升起 D购买一张彩票，中奖3．如图，内接于，，则的度数为（）第3题图A． B． C． D．4．如图，在中，，若，则等于（）第4题图A． B． C． D．5．判断方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根6．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（）A．12 B．24 C． D．7．二次函数，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．图像的对称轴为直线C．图象的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小8．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（）A． B．C． D．9．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（）第9题图A．10 B．12 C．15 D．1610．如图，，，将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点，则为（）第10题图A． B． C． D．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则______．12．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是______．第12题图13．星海公园的东、西、北三个方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入星海公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，且轴，，，若反比例函数的图象经过线段的中点，则的值为______．第14题图15．如图，在矩形中，，对角线相交于点，点在射线上运动，过点作交射线于点，当时，的面积为______．第15题图三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（每题5分，共10分）（1）解方程：；（2）抛物线的顶点坐标为，且经过点．求该拋物线的解析式．17．（本小题8分）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，求树高．第17题图18．（本小题9分）某校准备组织九年级同学去“发现王国”秋游，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对“发现王国”的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：第18题图（1）九年级1班共有学生______名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为______；（2）九年级共有学生600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？（3）九年级1班在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游策划师”，用画树状图或列表的方法求出抽到的一男一女的概率．19．（本小题8分）某网店专门销售某种品牌的产品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．第19题图（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天该产品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？20．（本小题8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）第20题图1第20题图2（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．21．（本小题8分）如图，为的外接圆，的角平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得．第21题图（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径．22．（本小题12分）【发现问题）】大连理工大学主楼前广场修建了一个圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．爱思考的小丽建立了如图所示的平面直角坐标系．【提出问题】怎样求从喷水头喷出的某条水柱的抛物线解析式呢？【分析问题】若喷出的水柱轨迹AB上某一点与水管OA的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．小丽在喷泉安装工人师傅的帮助下，测量记录了下面的表中y与x的五组数据：024102【解决问题】（1）求水柱轨迹所在拋物线的解析式；（2）求水柱落地点与水管的水平距离；（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：喷水头的高度不变，调整喷水头的角度，使喷出的水柱轨迹的形状不变，水柱轨迹的喷水半径（动态喷水时，点到的距离）随着音乐的节奏控制在到之间（含和），当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为；当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为，求的值．第22题图23．（本小题12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？①小明说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；小强说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段的数量关系”．②小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段的数量关系．第23题图1第23题图2【类比分析】（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．如图3，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．第23题图3【学以致用】（3）如图4，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．第23题图4

九年级（上）数学期末检测答案及评分标准一、选择题1．B；2．D；3．C；4．A；5．B；6．C；7．D；8．C；9．A；10．C二、填空题11．512．13．14．515．20或．15．解析：当点在线段上时，过点作于点于点，如图1，第15题图1四边形为矩形，为中点，为中点，，同理，，，又，，四边形为矩形，，的面积为；当点在线段的延长线上时，过点作于点于点，如图2，第15题图2此时，同理，，的面积为．三、解答题16．解：（1），，方程有两个不等的实数根，，即；（2）抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为，代入点得，解得，该抛物线的解析式为．17．解：，，，即，解得，．答：树高为10.5米．18．解：（1）九年级1班共有学生为：（名），扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为；（2）类的人数有：（人），估计九年级学生选择类大约有（人），答：估计九年级学生选择类的大约有90人；（3）画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即：男男，男女，男女，男男，男女，男女，女男，女男，女女，女男，女男，女女，这些结果出现的可能性相等，其中一男一女的结果有8种，即：男女，男女，男女，男女，女男，女男，女男，女男，（抽到的一男一女）．19．解：（1）设，将代入，得：，解得：，则；（2）设每天获取的利润为，则，又，，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值为，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．20．解：（1）如图，过作于，第20题图在中，，米，，米．答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；（2）四边形为矩形，米，米，米，在中，，米，又在中，，米，，米．米．米，答：水平横管的长度约为0.5米．21．（1）证明：连接，则，，，，是的半径，为的切线；第21题图（2）解：设交于点，的角平分线交于点，垂直平分，，在中，，，，在中，，解得的半径长为．22．解：（1）抛物线过点设抛物线的解析式为，把代入得：，解得，；（2）在中，令，则，（舍），水柱落地点与水管的水平距离为米．（3）抛物线的形状不变，喷水头的高度不变，抛物线过，设调整后抛物线的解析式为，代入，解得，代入，解得，，抛物线的顶点纵坐标为，．23．解：（1）在上截取，连接．如图1，．是等边三角形，．线段绕点逆时针旋转得到线段，，