浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，即，故选：C.2.平行六面体中，化简（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，.故选：B.3.若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直线可知，，，则.故选：C.4.若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（）A.3 B. C. D.1【答案】B【解析】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别，所以.故选：B.5.如图，是棱长为1的正方体中，点P在正方体的内部且满足，则P到面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则，，所以，设平面的一个法向量，所以，令，即，故P到面的距离.故选：A.6.细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是（）A.在同一直线上 B.12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. D.弧形所在圆的半径BC变化时，存在【答案】D【解析】已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即在同一条直线上，A正确；对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B正确；对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，C正确；对于D：由得，所以，又，所以，所以，所以恒成立，D错误.故选：D.7.已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】连接，由切圆于A，B知，，因为直线AB与l平行，则，，而圆半径为1，于是，由四边形面积，得，所以.故选：A.8.已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（）A.无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称B.无论a取何值，曲线C关于直线和对称C.存在唯一的实数a使得曲线C表示两条直线D.当时，曲线C上任意两点间的距离的最大值为【答案】C【解析】A选项，在曲线C上任取一点，则关于原点的对称点为，代入曲线方程可知，，即，所以无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称，故A选项正确；B选项，关于的对称点为，代入曲线方程得，所以对称点在曲线上.关于的对称点为，代入曲线方程得，，故对称点也在曲线上；故B选项正确；C选项，当时，曲线方程为即，即或，当，曲线方程即，即或；故C选项错误；D选项，当时，曲线C的方程为，，，则代入曲线方程化简得，，方程表示焦点在轴上的椭圆，所以曲线C上任意两点间的距离的最大值为，故D选项正确；故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为三点不共线，若四点共面，不妨设，则，即，显然有，反之若，则有，即共面，所以共面，对于A，，有，故共面，A正确；对于B，，有，故共面，B正确；对于C，，有，故不共面，C错误；对于D，，有，故共面，D正确；故选：ABD.10.已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（）A.m的取值范围为 B.若该椭圆的焦点在y轴上，则C.若，则该椭圆的焦距为4 D.若椭圆的离心率为，则【答案】BC【解析】由题意，A错；椭圆的焦点在y轴上，则，即，B对；若，则，故，该椭圆的焦距为4，C对；若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错.故选：BC.11.己知过点的直线l与圆交于A，B两点，在A处的切线为，在B处的切线为，直线与，交于Q点，则下列说法正确的是（）A.直线l与圆C相交弦长最短为 B.AB中点的轨迹方程为C.Q、A、B、C四点共圆 D.点Q恒在直线上【答案】ACD【解析】由题意可知，圆C半径，设的中点为，则，而，所以，故A正确；当不重合时，易知，即在以为直径的圆上，易知的中点为，所以D的轨迹方程为，显然重合时符合上方程，但当时，此时为直径，过的切线平行，不符合题意，即D的轨迹方程为，故B错误；易知，即Q、A、B、C四点在以为直径的圆上，故C正确；不妨设，则为直径的圆心为，半径为，故该圆方程为，易知直线为圆C与圆E的公共弦，两圆方程作差可得，又直线过点P，即，故D正确；故选：ACD.12.已知正方体的棱长为1，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A.二面角的大小为B.C.若O在正方形内部，且，则点O的轨迹长度为D.若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为【答案】BD【解析】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，其中，对于A：，，设平面的法向量为，则，即，取，则，故.设平面的法向量为，则，即，取，则，故.故，而二面角为锐二面角，故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故A错误.对于B：，故即，故B正确.对于C：由在正方形内部，且，若分别是上的点，且，此时，由图知：O在上，故以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，所以点轨迹的长度为，故C错误.对于D：设直线与平面所成的角为.因为平面，故为平面的法向量，而，故，而，故D正确.故选：BD.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________．【答案】【解析】由题意不妨设，则，所以两平行线，之间的距离.故答案为：.14.已知椭圆为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且，延长交椭圆于Q，则_________．【答案】【解析】由椭圆，得，，设，因为，所以，则，即，又因为P为椭圆C上的一点，所以联立得，，所以或，①当时，，直线方程为，即，联立得，所以，②当，，直线方程为，即，联立得，所以，综上，，故答案为：.15.把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________．【答案】【解析】由于，所以，不妨设正方形的边长为2，则，，，所以，故，，所以，故答案为：.16.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为_________．图①图②【答案】【解析】根据双曲线的光学性质可知与三点共线，故，不妨设，则，由双曲线的定义可知，两式相加可得，所以，由勾股定理可知，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆，直线l过点．（1）若直线被圆截得的弦长2，求直线的方程；（2）若直线被圆截得的优弧和劣弧的弧长之比为，求直线的方程．解：（1）解法1：因为圆，圆心为，半径为，直线过点，当直线斜率不存在时，直线的方程为：，由和，得到或，满足题意，当直线斜率存在时，设直线，设圆心O到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为2，所以，又，解得，又，所以，解得，此时，直线的方程为，综上，直线的方程为或.解法2：点在圆上，故令圆上点，则弦长为①又②①-②得③③式代入到①式得，或，或斜率不存在，所以，直线的方程为或.解法3：以为圆心，以2为半径的圆为①②①-②得③③式代入到①式得，或，或斜率不存在，所以，直线的方程为或.解法4：当直线斜率不存在时，直线的方程为：，由和，得到或，满足题意，当直线斜率斜率存在时，设直线，，，，，弦长：，整理得到，即，解得，此时，直线的方程为，综上，直线的方程为或.（2）易知劣弧所对圆心角为，又，故直线被圆所截弦长为，由，得到圆心O到直线l的距离为，所以，，整理得到，或，所以，或．18.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，E是PD的中点．（1）证明：平面；（2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）取中点，连接，．为中点，且，，，且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，．正三角形，，面面，面面，面，又，，所以为正方形，所以．如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设面的一个法向量为，则，不妨取，设与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.19.已知点，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C方程；（2）若直线上存在点M满足，求实数m的最小值．解：（1）设，则，∵，，.（2）解法1：（即M在圆C上及圆C的内部），，，，.解法2：由题意可知直线与圆C有交点，联立方程，，，，化简得，，.20.己知点，动点P满足关系式．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）l是过点且斜率为2的直线，M是轨迹C上（不在直线l上）的动点，点A在直线l上，且，求的最大值及此时点M的坐标．解：（1），由椭圆定义知，动点P轨迹为椭圆且，，，所以，动点P的轨迹C的方程为.（2）解法1：设M的坐标为，且满足，易知，直线，因为，设直线，由，解得，所以，又，所以，计算法1：因为，设，则，当时，取得最大值为，所以，又，所以.计算法2：因为得到，当且仅当，即时，取等号，，由和，解得，，又，得到，所以.解法2：设M的坐标为，且满足，又直线，设点M到直线l的距离为d，则所以，又因为，设，则，当时，取得最大值为，所以，又，所以，解法3：转化为直线，当与椭圆相切时，与l的交点为A，切点为M，此时最大．设方程为：，由，消得到，由，得到，所以，由图知，，联立，和，得到，故，又，，将代入，得到，所以，，此时.解法4：将问题转化为过且垂直l的直线为，则为M到的距离易知，，即，设，因为，设，则到直线的距离为，当时，取得最大值为，所以，又，所以.21.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G．（1）证明：；（2）证明：面EFDC；（3）求该五面体的体积．解：（1），平面ABEF，平面ABEF，平面ABEF，又平面平面，平面ABCD．.（2）解法1：点G为的重心，作EG的延长线交AB于H，点H为AB中点，又，，四边形AHCD为平行四边形，，又平面，平面，，由于，,又，平面，平面，平面，又，又，，平面，平面.解法2：以D为原点，以DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系,设,,又,，故，,又,平面，平面,（3）解法1：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系,，，,∴五面体体积，解法2：在中，,令