江苏省淮安市2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省淮安市2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，得.故选：C．2.已知函数，由下表给出，则（）x123321x123132A.1 B.2 C.3 D.1或3【答案】A【解析】当时，，所以.故选：A.3.下列函数中与函数在区间上单调性不一致的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，，所以函数在区间上单调递增，对于A，由一次函数的图像可知，在上单调递增，故A不合题意；对于B，由反比例函数的图像可知，在上单调递减，故B符合题意；对于C，，由幂函数的图像可知，在上单调递增，故C不合题意；对于D，由二次函数的图像可知，在上单调递增，故D不合题意.故选：B．4.“”是“函数在区间上单调递减”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】由题意，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减，符合题意，当时，则，解得，综上，函数在区间上单调递减”的条件为，由能推出，但是推不出，所以“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，，则.故选：C．6.已知，，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时解得，此时，所以，因为，所以；当时解得，此时，所以；当时解得，此时，所以，因为，所以；综上可知.故选：D.7.已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，由基本不等式得，故，因为，，两式相减得，，故，所以，故，所以.故选：B.8.定义：，其中为的个位数字，，若（），则（）A.0 B.1 C.3 D.5【答案】A【解析】则为的个位数字，即为的个位数字，则由（），可得,则.故选：A.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由得，，则，故A正确；对于B，由及得，，故B错误；对于C，由得，，故C正确；对于D，因为，，所以，所以，即，因为，所以，故D正确.故选：ACD．10.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.的定义域为 B.是奇函数C.当时，与为同一函数 D.当时，的最小值为2【答案】ABD【解析】要使函数有意义，则，即的定义域为，故选项A正确；因为，且的定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，故选项B正确；当时，的定义域为，而的定义域为R，定义域不同，所以与不同一函数，故选项C错误；当时，，当且仅当即时等号成立，故选项D正确.故选：ABD.11.规定，之间的一种运算，记作，若，则，则下列正确的是（）A. B.C. D.若，，则【答案】BCD【解析】对于A：令，，则，，所以，即，所以，即，故A错误；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：令，，，则，，，所以，即，所以，即，故C正确；对于D：因为，，令，则且，所以，则，所以，当且仅当，，即时取等号，故D正确；故选：BCD.12.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A，设的图象关于点成中心对称图形，则为奇函数，所以，所以，因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，所以的对称中心为，符合题意；对于选项B，因为，所以关于直线对称，结合函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于选项C，设的图象关于点成中心对称图形，则为奇函数，所以，所以，因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，所以的对称中心为，符合题意；对于选项D，设的图象关于点成中心对称图形，则为奇函数，所以，所以，化简得，因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，所以的对称中心为，符合题意.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足的集合的个数为____________个.【答案】4【解析】，或或或.故答案为：4.14.写出一个单调递减的奇函数______．【答案】（答案不唯一）．【解析】，在定义域R上是减函数，又，所以函数是奇函数.故答案为：（答案不唯一）．15.对a，，记，函数的最大值是______________.【答案】1【解析】令，解得，令，解得，所以，当时，，，当或，，，所以函数的最大值为1.故答案为：1.16.定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减.若，，，则a，b，c按照从小到大顺序排列为______________.【答案】【解析】由题意，在函数中，函数是奇函数且，∴即，∴，是周期为的周期函数，∴，，，∵在区间上单调递减，∴区间上单调递增，∵，∴.故答案：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.（1）求实数的值，并在如图坐标系中画出函数在上的图象；（2）求函数的解析式.解：（1）由题意，在函数中，当时，，且，因为函数是定义在上的偶函数，所以解得：，所以当时，，由于偶函数的图象关于y轴对称，可得函数的图象：（2）由题意及（1）得，在函数中，当时，，由于是上的偶函数，当时，，所以，所以.18.对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示.（1）若，，求集合和；（2）集合，集合，若，求实数m的取值范围.解：（1）由，可知：，.（2）由，可得：，由题意可知，由，可知；所以，解得，所以.19.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并证明.解：（1）由题意，，在中，为奇函数，∴对于任意，都有，所以.（2）函数在区间上单调递增，由题意及（1）证明如下，，在中，，∴，任取，，且，所以，因为，，所以，即，所以函数在区间上单调递增.20.已知函数.（1）当时，关于x的不等式的解集为，求实数n的值；（2）当时，若时，关于x的不等式恒成立，求的最小值；（3）当时，若时，关于x的不等式恒成立，求m的取值范围.解：（1）由题设解集为，所以，解得.（2）由时，关于x的不等式恒成立，且，当，则恒成立，满足题设，此时，故无最小值；当，即时，恒成立，即恒成立，又在上递减，则，故，所以，只需，当且仅当，时等号成立，此时，的最小值为2；当，即时，恒成立，即恒成立，又在上递减，则，故，所以，只需，同上分析知：，故无最小值；综上，时无最小值；时的最小值为2.（3）由题设，，当时，，对于任意，恒成立；当时，对于，，即恒成立，所以，解得，故；当时，若，则，，则，即，因为函数在区间上单调递减，所以，又，所以；若，则，，则，即，因为函数在区间上单调递减，所以，又，所以；若，则时，，即时，即，无解，此时；综上，.21.中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．（1）若图3构成正八边形，求实数m的值；（2）若关于的方程有两个不相等实数根，．①求实数m的取值范围；②求的最小值．解：（1）设，，且，则，由得，，即，因为和关于对称，所以，所以（*），又因为点在图像上，所以，将（*）代入可得：，解得．（2）①由，可得：的两个实数根为，所以，解得或，又因为，所以.②由根与系数关系得，，所