天津市北辰区2024届高三上学期第一次联考(期中)数学试题（解析版）

PAGEPAGE1天津市北辰区2024届高三上学期第一次联考(期中)数学试题一、选择题1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，，故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】，故或；，则或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，，，即，所以，故选：A.4.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，定义域为R，所以所以为奇函数，且，排除AB；当时，，即，排除D故选：C.5.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（）A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│【答案】A【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．6.已知数列的前项和为，且，则（）A. B. C.16 D.32【答案】B【解析】∵①，∴②，②减去①得：，即，又∵，即，∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴.故选：B.7.观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（）A.正相关、负相关、不相关 B.负相关、不相关、正相关C.负相关、正相关、不相关 D.正相关、不相关、负相关【答案】D【解析】有相关性可知从左到右的第一个图是正相关，第二个图相关性不明确，所以不相关，第三个图是负相关.故选D.8.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知为等边三角形且其面积为，故，即得，设的外接圆圆心为，设三棱锥的外接球球心为O，因为平面，当共线且O位于之间时，三棱锥的高最大，此时其体积也最大；

由于平面，平面，故，而，故，所以，即三棱锥的高最大为6，所以三棱锥的体积的最大值为.故选：B.9.双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，若原点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作图如下：∵原点到直线的距离等于实半轴的长，∴直线的距离为，又∵以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，∴，由双曲线定义的，∴直线的距离为，故，即，∴，解得（舍去）或.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题10.已知（为虚数单位），则________．【答案】【解析】∵，∴.故答案为：.11.的展开式中的系数为________．【答案】【解析】展开式的通项为，取，解得，系数为.故答案为：.12.一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于，两点，则________．【答案】【解析】由题意得，抛物线的焦点为，则直线方程为，即，圆化为，则圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则，则，故答案为：.13.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是________．【答案】【解析】和等于的数组为，，故概率.故答案为：14.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.【答案】11【解析】根据平面向量的点乘公式,由图可知，,因此=;,而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1.15.已知函数，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】，当时，令,可得，对称轴为，故最大值为,即得最大值为,当时，令，则.当时，,当时，二次函数对称轴为，故函数在对称轴处取到最大值为,当时，开口向上，0距对称轴远，故当时取到最大值为,所以由题意可得,即当时，，解得，故.当时，，满足题意,当时，，解得综上：.故答案为：.三、解答题16.在中，分别为三个内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若求和的值.解：（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，，即，又,所以.（2），，又，，,，.17.如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：、分别为、的中点，则，平面，平面，故平面.（2）解：因为四边形为正方形，则，又因为，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设平面的法向量为，，，则，得，取，可得，，则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：易知平面一个法向量为，.因此，平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆离心率，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，若在轴上的截距为，求直线的方程.解：（1）由题意得，，即，直线与圆相切得，.故椭圆的方程是.（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设，，中点，联立，消去并整理得，，又，解得且，，得，由，即，化简得，令得，解得或，由于且，故，直线的方程为，即.19.各项均为正数的数列的前n项和为，且满足各项均为正数的等比数列满足．（1）求证为等差数列并求数列、通项公式；（2）若,数列的前n项和．①求；②若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）∵,∴.∴,∴,又各项为正,∴,∴开始成等差,又,∴,∴∴为公差为3的等差数列,∴,,∴．(2),①,,∴,,,​∴．②恒成立,∴,即恒成立,设,,当时,;当时,∴,∴．20.已知函数．（1）当时，求曲线在处切线的斜率；（2）讨论函数的单调性；（3）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，∴，∴曲线在处切线的斜率为.（2）∵，定义域为，∴，当时，，即，则在单调递减；当时，令，得，则，时，，则单调递减，时，，则单调递增，时，，则单调递减；当时，令，得，则，∴时，，则单调递增，时，，则单调递减；综上所述：当时，在单调递减；当时，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减；当时