2024届江苏省淮安市高中校协作体高三上学期期中联考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2024届江苏省淮安市高中校协作体高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，，.故选：C.2．如果是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据余弦函数的性质，结合充分必要条件的判断即可求解.【详解】由可得，但不能得到，比如，但是，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A3．已知函数（是的导函数），则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据导数的求导法则，求导代入即可求解.【详解】对求导可得，所以，所以，故选：C4．已知，若，且，则的最小值为（

）A．9 B． C．3 D．1【答案】B【分析】根据题意求出等量关系，利用基本不等式求解即可.【详解】因为，若，且，所以，则，当且仅当时取等号.故选：B5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得，，然后根据两角差的正切公式，展开代入，即可得出答案.【详解】由可得，，所以，，所以，.故选：D.6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式即可得解．【详解】圆的内接正边形的圆心角为，所以正边形的面积为，由题意有，所以，又，所以，故选：D．7．已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（）A．24 B．27 C．36 D．40【答案】B【分析】依题意得，得，再由对数运算性质求解即可.【详解】数列是正项等比数列，，由，得，得，.故选：B.8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用函数的性质求解即可.【详解】令为定义在上的偶函数则函数为定义在上的偶函数，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.不等式可变为，即故，解得或所以不等式解集为：.故选：A.二、多选题9．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C． D．是的一个零点【答案】ABC【分析】根据图像求出函数解析式，然后逐项判断即可.【详解】由图像可知，设函数周期为，则由图像知，所以A正确；则，所以，由图像知为函数的一个最小值，所以，得，所以，所以，由，得直线为的图象对称轴，B正确；，所以D错误；，C正确；故选：ABC10．已知，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用对数函数的单调性得出，再利用函数的单调性逐项判断，即可得出合适的选项.【详解】因为，则.对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A对；对于B选项，因为函数在上为增函数，则，B对；对于C选项，令，其中，则，由，可得，由，可得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，则，即，C错；对于D选项，因为函数在上为增函数，则，即，D对.故选：ABD.11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比，下列说法正确的是（

）A．等比数列一定是等差比数列B．等差比数列的公差比一定不为0C．若，则数列是等差比数列D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2【答案】BC【分析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确．【详解】对于数列，考虑无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为则，则在中分母为0，不符合要求，故矛盾，所以B正确；若，数列是等差比数列，所以C正确；若等差数列是等差比数列，则，则，，，所以D错误．故选：BC．12．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于原点对称C．函数在上是增函数 D．函数的值域为【答案】ACD【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为，利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断C选项；利用函数的单调性求出函数的值域，可判断D选项.【详解】因为，对于A选项，对任意的，，则函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，A对B错；对于C选项，任取、且，即，则，，则，所以，，即，所以，，故函数在上是增函数，C对；对于D选项，因为函数为上的偶函数，且在上为增函数，故函数在上为减函数，所以，，故函数的值域为，D对.故选：ACD.三、填空题13．“”为真命题，则实数的最大值为.【答案】【分析】由可求出结果.【详解】因为“”为真命题，所以，即.所以实数的最大值为.故答案为：14．已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为.【答案】【分析】根据余弦定理得出.进而在中，利用余弦定理，即可得出答案.【详解】由余弦定理可得，.在中，有，，由余弦定理可得，所以，.故答案为：.15．已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为.【答案】/【分析】先根据定义域求出的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数的定义域是，所以为的两个根，所以则，即，令，则在单调递减，令，则为开口向下，对称轴为的抛物线，且，所以时，单调递增；时，单调递减；因为，所以函数的单调增区间为.故答案为：四、双空题16．已知函数，则不等式的解集为，若实数，，满足且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据分段函数的性质分段解不等式，作出函数图象，数形结合可得取值范围.【详解】由，得，又，当时，恒成立，当时，，得，当时，，得，综上所述，，即；作出函数的图象，如图所示，当时，，又，，所以，且，则，所以，设，则，，所以，设，，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，故答案为：；.五、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合和差角公式化简求解，（2）根据同角关系以及正弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理及条件得：∵为的内角，∴,∴，，又,所以（2）由（1）知：，∵，且，∴，由正弦定理得，且，∴，∴18．已知等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值及取得最小值时n的值．【答案】(1)(2)当时，最小，最小值为-26【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可；（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；方法二：根据前项和的函数性质求最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，得，，解得，，所以．（2）方法一：由知是递增数列，当时，；当时，．所以，所以当时，最小，最小值为．方法二：，又，所以当时，最小，最小值为-26.19．已知不等式.(1)求不等式的解集；(2)若当时，不等式总成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的单调性结合对数不等式可得出关于的不等式组，即可解出集合；（2）求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，则，解得，故.（2）解：令，则原问题等价，且，其中，令，可得，其中，当时，即当时，函数取得最小值，即，所以，.20．设数列的前项和为，已知，__________.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②.【答案】(1)选择①②，都有；(2)证明见解析.【分析】（1）选择①，根据等差数列的通项公式，求得；再根据与之间的关系即可求得结果；选择②，利用的关系消去，构造等差数列，与①同理，即可求得结果；（2）根据（1）中所求求得，再利用裂项求和法求得，即可证明.【详解】（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为故，故；当时，，当时，，满足.故的通项公式为；若选择②即，整理得：故，即数列是首项为，公差为的等差数列，与选择①相同，故的通项公式为.（2）根据（1）中所求可得：，则故又，故可得.21．设函数.(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；(2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程是直线，(2)【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出，进而得出周期.解，，即可得出函数的对称轴；（2）根据已知可推得，的外接圆半径，进而根据正弦定理可得出，化简得出.然后根据已知得出的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期，令，，解得，，所以对称轴方程是直线，.（2）因为为锐角三角形，所以，.因为，所以，所以，所以.因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，所以，得.由正弦定理可得，可得，，.所以，.因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，根据正弦函数的图象以及性质可知，所以，所以的取值范围是.22．已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若，过点可作曲线的3条切线，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据函数的导数在上的值域，分类讨论进行判断函数单调性即可；（2）根据导数的几何意义求出函数的切线方程，把方程有三个不等实根转化为函数零点问题，构造新函数，利用导数进行证明即可.【详解】解：（1）由题意得.当时，.①若，则对任意，恒成立，在上单调递增；②若，则