2022年广东省清远市高考数学一模试卷及答案解析

2022年广东省清远市高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={加枕|<3},B={x|-2WxW4},则ACB=（）

A.[-4,3）B.[-2,3）C.（-3,2]D.（3,4]

2.已知i为虚数单位，复数z的共辄复数2满足（1+i）2=|1+国力，则2=（）

A.1-iB.[+iC.2-2iD.2+2/

3.若椭圆C：[+1=1的焦距为6,则实数机=（）

4Til

A.13B.40C.5D.2V13

4.直线/：〃+），-1=0被圆。：/+9+6X-4y-3=0截得的最短弦长为（）

A.V6B.2V5C.4V2D.2A/6

5.在三棱锥尸-ABC中，AC=\,PB=2,M,N分别是3c的中点，若MN=竽，则

异面直线AC,P8所成角的余弦值为（）

3132

A.-B.—C.—D.—

5445

6.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果的新鲜度F与其采摘

后时间r（天）近似满足的函数关系式为尸=1-〃?•",若采摘后10天，这种水果失去的

新鲜度为10%,采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.若要这种水果的新鲜度不

能低于60%,则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（）

A.30B.35C.40D.45

7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》

第1页共25页

卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，

五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021

个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列的项数为（）

A.58B.59C.60D.61

8.己知尸是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且61=XAB+（2-2X）AC{XGR）,

则易•命的最小值为（）

A.16B.12C.5D.4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名

参赛者的得分都在［40,90］内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图

所示（按得分分成［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90］这五组），则下列

结论正确的是（）

A.直方图中。=0.005

B.此次比赛得分不及格的共有40人

C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为0.5

D.这100名参赛者得分的中位数为65

（多选）10.将函数月=COS（3X+1）（3>0）图象上所有的点向右平移四个单位长度后，得

到函数=cos（2x+w）（lelV*）的图象，若函数/（x）=y\+yi，则（）

A./（%）的最小值是一百

B./（%）的图象关于直线x=/对称

C./（X）的最小正周期是TT

第2页共25页

D.f（x）的单调递增区间是[E■-今，kn]（k6Z）

（多选）11.已知双曲线C：捻一，=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fl，Fl,点P

是双曲线C上位于第一象限的点，过点心作/尸1尸尸2的角平分线的垂线，垂足为A,若

。为坐标原点，6=2|。4],则（）

A.双曲线C的渐近线方程为丫=±2%

B.双曲线C的渐近线方程为y=

C.双曲线C的离心率为通

D.双曲线C的离心率为手

（多选）12.已知函数/'（x）=x+[—2,若方程好（|靖一1|）+彳，+3=0恰有三个不

XI。工I

同的实数根，则实数a的取值可能是（）

A.-5B.-4C.-3D.-2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

14.已知曲线八x）=（ar+b）/在点（0,2）处的切线方程为x+y-2=0,则a-6=.

15.为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，

某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师

和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有

种.

16.如图，在长方体ABC。-481C1O中，AB=AD=2,AAi=4,P为。的中点，过PB

的平面a分别与棱A41，CCi交于点E,F,且AC〃a,则平面a截长方体所得上下两部

分的体积比值为:所得的截面四边形PEBF的面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

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17.(10分)在平面四边形48CD中，NADB=NBDC=Z4BCD/AO=4,3=3.

oL

(1)求AB；

(2)求△ABC的面积.

18.（12分）某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对

第4页共25页

抗疫进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心.为

了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机

抽取了年龄在18〜99岁之间的200人进行调查，把年龄在［18,65］和［66,99］内的人分

别称为“青年人”和“中老年人”.经统计，“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：

3,其中“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的

相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1.

(1)根据已知条件，完成下面的2义2列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握

认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识.

了解全面了解不全面合计

青年人

中老年人

合计

(2)用频率估计概率从该市18〜99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控

相关知识了解全面的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

附表及公式-K2=-------n(ad-反心------其中"=a+/>+c+4

1

叩衣"/、队,K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'"〃十。十，十”.

P(非》后)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)已知数列｛斯｝的前“项和为S”数列｛尻｝的前〃项和为力”从下面①②③中选

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择两个作为条件，证明另外一个成立.

①斯=〃-5",②b"=Cln-1,③〃=&)“一1・

20.（12分）已知正三棱柱ABC-AiBi。中，AA\=AB=2,D,E,尸分别为AC,CC\,AA\

第6页共25页

的中点.

(1)证明：平面平面BOE.

(2)求二面角D-BE-A\的正弦值.

21.(12分)设抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为产，准线为/，过焦点尸且斜率为1的

第7页共25页

直线与抛物线C交于A,8两点，若AB的中点到准线/的距离为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设P为/上任意一点，过点尸作C的切线，切点为Q,试判断f是否在以PQ为直

径的圆上.

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22.(12分)己知函数/(%)=^-1-6/(x-1).

(1)讨论f(x)的零点个数；

(2)若/(X)有两个不同的零点XI，X2，证明：Xl+X2>4.

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2022年广东省清远市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x||x|<3},8={x|-2WxW4},则AAB=()

A.[-4,3)B.[-2,3)C.(-3,2]D.(3,4]

解：集合A={x|园<3}={x|-3<x<3},

8={x|-2WxW4},

则ACB={x|-2Wx<3}.

故选：B.

2.已知i为虚数单位，复数z的共桅复数2满足(1+i)2=|1+百力，则2=()

A.1-/B.1+zC.2-2/D.2+2z

解：由已知，可得2=忐界内=1-i,

l+l.十!乂1.一

则z=l+i,

故选：B.

3.若椭圆C：[+A=1的焦距为6,则实数()

A.13B.40C.5D.2g

解：椭圆C；3+《=l的焦距为6,

可得J|4-=3,m>0且

解得m=13.

故选：A.

4.直线/：以+y-l=0被圆C：/+/+61-4y-3=0截得的最短弦长为()

A.V6B.2>/5C.4V2D.2V6

解：直线/：ar+y-l=0经过定点(0,1),圆的方程即(x+3)2+(厂2)2=16,

则圆心与定点之间的距离d=J(0+3)2+(l—2尸=V10,

故最短的弦长为2/16-10=2V6.

故选：D.

5.在三棱锥P-A8C中，AC=1,PB=2,M,N分别是孙，BC的中点，若MN=孝，则

第10页共25页

异面直线AC,P8所成角的余弦值为（）

。是A8中点，N是BC中点，^QN//AC,QN=1^C=

1

同理，可得QM〃BP,QM=^PB=1,

所以/MQN就是异面直线AC、所成的角或其补角，

1万

在△MQN中，QM=1,QN=*,MN=

12+&）2_（粉2

cosNMQN=——-

2xlxi4

3

.,•异面直线4C,尸8所成角的余弦值为二.

4

故选：C.

6.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果的新鲜度F与其采摘

后时间r（天）近似满足的函数关系式为尸=1-〃?•〃，若采摘后10天，这种水果失去的

新鲜度为10%,采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.若要这种水果的新鲜度不

能低于60%,则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（）

A.30B.35C.40D.45

解：由题意可得，仃一根日:二???1,解得a=2%,加=0.05,

（1-mazo=80%

1

所以1—0.05•（2而＞260%,解得£30,

故采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为30.

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故选：A.

7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》

卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，

五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021

个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列的项数为()

A.58B.59C.60D.61

解：被5除余3且被7除余2的数构成首项为23,公差为35的等差数列，记为｛斯｝,

则斯=23+35(n-1)=35〃-12,

3

令斯=35〃-12W2021,解得”W58—.

35

.•.将1到2021这2021个自然数中满足被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺

序排成一列，

构成一个数列，则该数列的项数是58.

故选:A.

8.已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且13=AAB+(2-24)后(A6R),

则易•命的最小值为()

A.16B.12C.5D.4

解：如图，延长4c到。，使得G=2几，

因为G=AAB+(2-2X)AC=XAB+(1-A)

所以点P在直线BO上，

取线段4c的中点O,连接OP,

则赢-PC=(访+OAXPO-OA)=|访『-\0A\2=|而F-4,

显然当OP,8。时，|访|取得最小值，

因为BO=2b，00=6,则80=4百，

-2'73X6

所以|P0|最小值为，局=3,

473

所以易■丽的最小值为32-4=5,

故选：C.

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B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名

参赛者的得分都在［40,90］内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图

所示（按得分分成［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90］这五组），则下列

结论正确的是（）

A.直方图中a=0.005

B.此次比赛得分不及格的共有40人

C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为0.5

D.这100名参赛者得分的中位数为65

解：对于A,由频率分布直方图得：

（4+0.035+0.030+0.020+0.010）X10=1,

解得a=0.005,故A正确；

对于B,此次比赛得分不及格的频率为：（0.005+0.035）X10=0.4,

,此次比赛得分不及格的人数为：0.4X100=40人，故8正确；

对于C,得分在［60,80）的频率为（0.030+0.020）X10=0.5,

.♦.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为0.5,

故C正确；

对于。，［40,60）的频率为（0.005+0.035）X10=0.4,［60,70）的频率为:0.030X10

=0.3,

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.•.这100名参赛者得分的中位数为60+锤芦x10=詈，故O错误.

故选：ABC.

(多选)10.将函数、1=005(⑦工+1)(3〉0)图象上所有的点向右平移&个单位长度后，得

到函数力=cos(2x+0)(5<*)的图象，若函数/G)=#+”，则()

A.f(x)的最小值是一遍

B./(x)的图象关于直线“髀称

C./(X)的最小正周期是TT

D.f(x)的单调递增区间是因r-*,/C7r](k6Z)

解:由题意知，％=cos(2%+,丫2=cos[2(%—看)+自=cos(2%—,),

则f(%)=cos(2x+1)+cos(2x一看)=cos2x•亨—sin2x•4-cos2x•学+sin2x-g=

Wcos2x,/(%)的最小值是-百，最小正周期是n,故A,C正确；

令法=加(蛇Z),得％=^(keZ),

ZtTTTT1

若77=7，则故3错误；

242

令21m-TTW2XW2E;(ZEZ),得/CTT—^<X<kn(kEZ),

即/(无)的单调递增区间是即一会时(k£Z),故。正确.

故选：ACD.

(多选)11.已知双曲线C；4-4=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，/2，点P

ab

是双曲线C上位于第一象限的点，过点F2作NQPF2的角平分线的垂线，垂足为A,若

O为坐标原点，b—2\OA\,则()

A.双曲线C的渐近线方程为丫=±2%

B.双曲线C的渐近线方程为丫=±*%

C.双曲线C的离心率为通

V5

D.双曲线C的离心率为一

2

解：设F2A的延长线交PF1于8，

则由题意可得A为B乃的中点，因为。为尸|放的中点，所以|。4|=嘤，

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因为以为NF1PF2的角平分线，PALBFi，

所以可得|「引=俨放|，

所以|。川=嘤=3产=吧产1=竽=〃，

所以2|OA|=2a,

而b=2\OA\=2a,

可得渐近线的方程为y=±4=±2x,所以A正确，8不正确；

a

双曲线的离心率e=「=1+^=V1T27=V5,所以C正确，。不正确;

a1砂

故选：AC.

(多选)12.已知函数/(x)=%+a一2,若方程a/(|ex-l|)+1727T+3=0恰有三个不

xI，，I

同的实数根，则实数”的取值可能是()

A.-5B.-4C.-3D.-2

解:原方程可化为al，-If-(2a-3)\^-l|+2a+2=0,

令f=Ql|,则正(0,+8),其图象如下图所示：

由题意可得a--(2a-3)f+2a+2=0有2个不同的实数解r”/2,且0<h<1,也>1，

记(p(r)—at2-(2a-3)t+2a+2,

当年(1)=0时，解得a=-5,此时两根分别为1,不符合题意；

a<0(a>0

(p(0)V0或［(0)>0，解得即a的取值范围是(-5,-1).

{W⑴>0U(l)<0

故选：BCD.

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

si7i(a-f)cos(a+f)

1

13.已知tana=2,则一急L

8—'

sin^a-^cos^a-{—)^^sina-cosa)--{cosa-sinoc)

解：因为•

sin2a2sinacosa

sinza—2sinacosa-^-cos2a1tan^a—Ztana+l22—2x2+1

—,X—zz，一~~~，■

2sinacosa2-4tana-4x2

故答案为：_差.

o

14.已知曲线f(x)=Cax+b)，在点(0,2)处的切线方程为x+y-2=0,则4-。=L

5.

解：求导得/(x)=d(ax+6+a),曲线y=/(x)在点(0,2)处的切线方程为x+y-

2=0.

f(0)=-1,/(0)=2,

b+a=-Lb=2,

Aa=-3,

a-b=-5.

故答案为：-5.

15.为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险,

某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师

和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有

540种.

解：根据题意，第一个学校选1名医生和2名护土，有C31c62种选法，

第二个学校选1名医生和2名护土，有C21c42种选法，

第16页共25页

第三个学校只有.1种选法，

则有C31c62c21c42=540种选法,

故答案为：540.

16.如图，在长方体ABC。-AiBiCi。中，AB=AD=2,AA\=4,尸为。。的中点，过P8

的平面a分别与棱A4],C。交于点E,F,且AC〃a,则平面a截长方体所得上下两部

分的体积比值为3；所得的截面四边形PEBF的面积为，、后

解：如图，过点B作AC的平行线分别与D4,OC的延长线交于G,H,

连接PG,PH,并分别与A4，CC1交于E,F,

"：AC//GH,且ACC平面PG”，GHu平面PGH,

；.AC〃平面PGH,...平面PGH即为平面a,

AB=AD=2fA4i=4,.*.AE=1,

(1+x2

：.V^2VB-ADPE=2X1Xpx2=4,

Vb2x2x4—4

平面a截长方体所得上下两部分的体积比值为广=---------=3.

V下4

•四边形PEB尸是菱形，且EF=2&,PB=2W,

:.SPEBF=2xEFXPB=2^6.

故答案为：3；2V6.

第17页共25页

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在平面四边形ABC。中，NADB=NBDC=?NBCD=gA£）=4,CD=3.

62

（1）求AB；

（2）求aABC的面积.

解：（1）因为△BCD为直角三角形，乙BDC=±,CD=3,

O

所以BC=VI,8。=28，NDBC=g.（2分）

在△A8O中，AD=4,BD=26,^ADB=

o

由余弦定理得AB?=AD2+BD2-2AD-BDcos^=4,（4分）

o

所以AB=2.

（2）因为所以△48。为直角三角形，且乙4BD=S，（7分）

故SA.BC——］AB•BCsin-g-——（10分）

18.（12分）某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对

抗疫进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心.为

了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机

抽取了年龄在18〜99岁之间的200人进行调查，把年龄在［18,65］和［66,99］内的人分

第18页共25页

别称为“青年人”和“中老年人”.经统计，“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：

3,其中“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的

相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1.

（1）根据已知条件，完成下面的2X2列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握

认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识.

了解全面了解不全面合计

青年人

中老年人

合计

（2）用频率估计概率从该市18〜99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控

相关知识了解全面的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

附表及公式：依…晶晶…,其中…+2乩

P（心人）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：（1）因为“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：3,

所以“青年人”和“中老年人”的人数分别为80和120,

因为“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，

所以“青年人”中对防控的相关知识了解全面的有40人，了解不全面的有40人，

因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1,

所以“中老年人”中对防控的相关知识了解不全面的有80人，了解不全面的有40人,

故2X2列联表如下：

了解全面了解不全面合计

青年人404080

中老年人8040120

合计12080200

9

因为小=2券黑毅80y雷）=*5.556>3,841.

所以有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识.

（2）用样本估计总体可知，从该市18〜99岁市民中随机抽取1人，抽到的市民对防控

第19页共25页

3

相关知识了解全面的概率为J

所以随机变量X〜8(3,I),X所有可能取值为0,1,2,3,

因为P(X=0)=C[x(l—|)3=接，p(x=i)=Gx|x(l-|)2=^,P(X=

2)=或x(|)2x(1一|)=馨，P(X=3)=四x4尸=浅，

所以X的分布列为：

X0123

P8365427

125125125125

9

E(X)=zip=引

19.（12分）已知数列｛斯｝的前〃项和为S”数列｛为｝的前〃项和为刀“从下面①②③中选

择两个作为条件，证明另外一个成立.

①斯=〃-S”②“=斯-1,③7；=（1）n-1.

解：选①②作为条件证明③，

因为斯="-5,”所以当"=1时，ax=1.

当〃22时，an-\=n-1-Srt-1»

两式相减得如一如-1=1-斯，所以2斯=斯一i+l,

=

所以2（.an-1）an-1-1.

因为瓦=斯-L所以2bn=bn-i，

即7=二，

2

所以数列出"｝是首项为-£公比为三的等比数列.

因为勾=—弓）巴

所以述=一尤；一¥）L（扔-1.

1-2

选①③作为条件证明②，

因为所以当"=1时，ax=1.

当心2时，an-\=n-1-Sn-\,

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两式相减得斯-4-1=1-a”，所以2斯=斯-1+1,

a—11

所以2(〃〃-1)=an-\-1»所以------=

an_「l2

所以数列｛斯-1｝是首项为一支公比为1的等比数列.

nn

因为册-1=-(1),所以an=1-(1).

因为％=G)n-l,所以当〃=1时，瓦=71=一去

n

当〃22时，bn=Tn-TnT==-(1).

因为当〃=1时也满足上式，所以%=-&)n,

故bn=an-1.

选②③作为条件证明①，

因为〃=&尸一1，所以当"=1时，瓦=71=一米

当n2时，bn=Tn-Tn_1=弓)n_&)n-l=-(1)".

因为当〃=1时也满足上式，

所以与=一8)".

因为加=斯-1，所以％=1-6尸，

12nn

所以Sn=n-[(i)+(1)+…+(1)]=n-吟]”=n-[1-(1)]=n-an,

故an—n-Sn-

20.(12分)已知正三棱柱ABC-A由।Ci中，A4i=AB=2,D,E,尸分别为AC,CC\,A4i

的中点.

(1)证明：平面BDF_L平面BDE.

(2)求二面角D-BE-A\的正弦值.

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41

(1)证明：在正△ABC中，D为AC的中点，则

因为AAi_L平面ABC,8Qu平面A8C,所以

而A4inAC=A,所以8。_1_面441clC,又DF,OEu面AACC，

所以凡BDLDE,

所以NFOE为二面角尸-BD-E的平面角，

D,E,尸分别为AC,CCi，AAi的中点.A4i=AB=2,

所以AF=A£>,CD=CE,所以/AZ)F=/CZ)E=45°,

所以4FDE=90°

所以二面角F-BD-E为直二面角，

所以平面BZ)F_L平面BDE.

(2)以。为坐标原点，DA,DB,为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(1,0,2),B(0,V3,0),£(-1,0,1),F(1,0,1),

所以A；E=(-2,0,-1),A；B=(-1,遮，-2),

由(1)知，平面8DE的一个法向量为防=(1,0,1),

设面4BE的一个法向量为曾=(x,y,z),

'TT

rn,.n-AAE=—2x—Z=0A,/口TKc、

叫T1,令x=l,得几=(1,一遮，-2),

n-ArB=—%+V3y-2z=0

所以二面角D-BE-Ai的正弦值为一^.

4

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21.（12分）设抛物线C：y=2px（p>0）的焦点为产，准线为/,过焦点尸且斜率为1的

直线与抛物线C交于A,B两点，若A8的中点到准线/的距离为4.

（1）求抛物线C的方程;

（2）设尸为/上任意一点，过点尸作C的切线，切点为Q,试判断F是否在以PQ为直

径的圆上.

解:（解法一）（1）设A（xi，yi）,B（X2>”），则2pxi‘

\yl=2Px2,

所以资~yl-2P（%】-x2）,整理得'i"=_2P_=],（]分）

xi-x2yi+y2

所以）'l+”=2p.（2分）

因为直线AB的方程为y=x-多所以Xi+x2=yi+y2+p=3p.（3分）

因为48的中点到准线/的距离为4,所以一黄+g=2p=4,得p=2,

故抛物线C的方程为V=4x.

（2）设P（-l,r）,可知切线PQ的斜率存在且不为0,

设切线PQ的方程为x=m（y-力-1,

联立方程组-D—L得＞2-4冲+4皿+4=0,(7分)

ly2=4%,

由△=16切2-16（m/+1）=0,得t=m-即P（—1,m-（8分）

所以方程>2-4冲+4什4=夕-4my+4m2=0的根为y=2〃?，

所以工=/，即。（加2,2加）.（10分）

因为而=(一2,血一［)，FQ=(m2-1,2m),所以访•FQ=-2(m2-1)+2m(m-

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》=3

所