2023年安徽省蚌埠市高考理科数学模拟试卷及答案解析

2023年安徽省蚌埠市高考理科数学模拟试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上;如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=/〃（1-2x）},B={x|y=Vx+2},则AC1B=（）

1111

A.[-2,-）B.[-2,-]C.[0,-）D.[0,-J

2.若复数z满足（1+i）?z=l-i（i是虚数单位），则z=（）

11.11.11.11.

A.一5+B.一弓一5/C.———zD.—+—i

22222222

3.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业

生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019年该

校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现

就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.根

据如图，下列说法不正确的是（）

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

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4.已知向量Q,b为相互垂直的单位向量，若c=-b,则向量Q与向量c的夹角为()

7171

AA.一可nBC.一D.-

."I63

5.将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起,

则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有()

La—,

•余&

3•

A.120种B.240种C.200种D.180种

6.已知等差数列｛©｝的前n项和为S〃,公差为3,若成等比数列，则S5=()

A.9或13B.13C.15或35D.35

7.若3sin2a-2sin2a=0,则cos(2a+*)=()

V2

-7/2

A-或-B.-C.D.

2Io2

x—1

8.已知函数/(冗)=/〃春7+〃sinx+2,且/(机)=5,则/(-/%))

A.-5B.-3C.-1D.3

9.若正数x,y满足x+2y-2盯=0,则x+2y的最小值为()

A.9B.8C.5D.4

10.已知点4(今，0)在函数f(x)=cos(a)x+(p)(a)>0,a)GZ,0<(p<n)的图象上，直

线x=S是函数八X)图象的一条对称轴.若八X)在区间合电内单调，则<p=()

7TTC2JF57T

A•-B•-C.—D.—

6336

11.Vxe(0,+8),不等式恒成立，则”的最大值为()

A.-2B.0C.e'2-1D.-In3

12.根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光

线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分

该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知Q,放分别是双曲线C：x2-^=1

的左、右焦点，若从点尺发出的光线经双曲线右支上的点A(xo,2)反射后，反射光线

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为射线AM,则的角平分线所在的直线的斜率为()

L汽EL

A.-V3B.一殍C.一D.V3

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(正一白)6的展开式中的常数项为.(用数字作答)

14.已知抛物线x=2p)2上的点A(2,2),则A到准线的距离为.

15.已知四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是梯形，Q.AD//BC,ADA,DC,AD=2DC=2CB

=4,AP±PD,PA=PD,PC=2V2,AQ的中点为E,则四棱锥P-BCDE外接球的表

面积为•

16.已知函数/(x)=sinA'+|sin2x+|sin3x,给出下列四个命题：

①2n是函数/(X)的一个周期；

②函数f(x)的图象关于原点对称；

③函数f(X)的图象过点(TT,0)；

④函数/(X)为R上的单调函数.

其中所有真命题的序号是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：

共60分.

17.(12分)己知函数/(x)=；-2cosxcos(x+$,在△ABC中，角A,B,C的对边分别

为a,b,c,且/'(C)=1.

(I)求C；

(II)点。为AB边中点，且CD=b.给出以下条件：①a=2；②c=2遮(cVb).

从①②中仅选取一个条件，求人的值.

第3页共22页

18.(12分)为迎接2022年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机

抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答

错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为1，

2

答错的概率为3回答完5个问题后，记甲上的台阶等级数为X.

(1)求P(X=7)；

(2)求X的分布列及数学期望.

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19.(12分)如图，圆锥的顶点为S,AB是底面圆。的直径，C是圆0上异于A、8的一

点，。是AC的中点，平面SOOD平面SBC=/,SO=OA=1.

(1)求证：/〃BC；

(2)若/与AB所成的角为60°,求/与平面S3。所成角的正弦值.

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xy

20.(12分)己知为(-1,0),Fi(1,0)是椭圆E-.—+—=l(a>8>0)的左，右焦

点，尸是E上一点，PFdPF2,△P1PP2的面积为3.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过尸2作两条互相垂直的直线与E分别交于A,B和C,D,若M,N分别为AB和

C。的中点.证明：直线用N恒过定点，并求出定点坐标.

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21.（12分）已知函数（1+1）,znGR.

（1）设x=0是，（x）的极值点，求〃2,并讨论了G）的单调性；

（2）若m=4,证明/G）有且仅有两个不同的零点.（参考数据：矫-15.15）

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四、［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)如图，在极坐标系Ox中，4(4,£),2(2也»CQa,竿)，2(4,竽),

弧就弧死，弧丽所在圆的圆心分别是(2,»(2,0),(2,第，曲线Ci是弧加

曲线C2是弧能，曲线C3是弧前，曲线C：f(p,9)=0(0^e<2ir)由Ci,Cl,Ci

构成.

(I)写出曲线C的极坐标方程，并求曲线C与直线0=£(06/?)所围成图形的面积；

(II)若点M在曲线C上，且10Ml=2a，求点M的极坐标.

D

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［选修4・5：不等式选讲］

23.函数/(x)=|工|+|冗-1|的最小值为在

(1)求加；

(2)设正实数a,b,c满足a+b+c=〃z,证明：ab+bc+ca>y/3abc.

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2023年安徽省蚌埠市高考理科数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.己知集合A={x[y=/〃(1-2x)},B={x\y=V%+2},贝4nB=()

1111

A.[-2,-)B.[-2,-]C.[0,-)D.[0,-]

【解答】解：由1-2r>0得xV}・・・A={x|xV'},

由"220得xN-2,：.B={x\x^-2),

1

：.AnB=[x\-2<x<^},

故选：A.

2.若复数z满足(1+i)2z=l-j(，是虚数单位)，则2=()

111111

A.一4~TyfB.__iziC._—_j

222222

【解答】解：z(l+z)2=1-i,

.*.2zi=l-i,

：.-2z=i(1-«)=l+i,

.11.

•♦z=~2~21)

故选：B.

3.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业

生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019年该

校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现

就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.根

据如图，下列说法不正确的是（）

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B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

【解答】解：对于A,由图中的数据可知，在北京就业的博士生就业率为52.1%>50%,

故选项A正确;

21.9%x2971+39.6%x2527+52.1%xl467

对于B,毕业生在北京的就业率为

2971+2527+1467

34.7%<50%,故选项B正确;

对于C,到四川省就业的硕士毕业生人数为3.2%X2527=81人，到四川省就业的博士毕

业生人数为3.7%X1467=54<81,故选项C正确;

对于D,浙江省就业的毕业生人数占毕业总人数的比例为

3.O%X2971+5.6%X2527+4.2%X1467

----------------------------------------------------=4.2%,故选项。错误.

2971+2527+1467

故选：D.

4.已知向量Zb为相互垂直的单位向量，若"=百友-b,则向量；与向量工的夹角为（）

【解答】解：根据题意，设向量；与向量之的夹角为。,

贝力留=(V3a-b)2—4,则面=2,

a*c=a*(y/3a-b)=>/3,

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则cos0=f)=辱

klkl2

又由owewm则e=[,

O

故选：c.

5.将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起,

则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（)

A.120种B.240种C.200种D.180种

【解答】解：排《傲慢与偏见》，有2种排列方法，其它任意排，

故《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有：2席=240种，

故选：B.

6.已知等差数列的前n项和为S”,公差为3,若“2,。1+。3,。6成等比数列，则S5=()

A.9或13B.13C.15或35D.35

【解答】解：等差数列｛〃”｝的公差d为3,前一项和为品，

由“2,ai+6(3,。6成等比数列,可得a2a6=(ai+a3)2»

即(ai+3)(ai+15)=(2ai+6)2,解得ai=l或ai=-3,

若m=-3,则。2=0,不合题意，舍去；

则m=l,得55=5X1+5X.3=35.

故选：D.

7.若3sin2a-2sin2a=0,则cos(2a+*)=()

&7；2D742「V2

AA・2或一河-iyC'_15政2D-2

【解答】解：*/3sin2a-2sin2a=0>

.".3sinacosa-sin2a=O,即sina(3cosa-sina)=0,

.,.sina=O或tana=3,

第12页共22页

7T7171y/2

*.*cos(2a+4)=cos2acos4—sin2asin4=玄(cos2a-sin2.cc),

cos(2a+4)=¥(1—2sin2a—2sinacosa)=冬

:.当sina=0时,

c口4zo兀、\/2,cos2a—sinza-2sinacosa/2A—tania—2tana.

当tana=3口寸，cos(2a+T)=(----------「--------n----------)x=>(-----；---------------)=

4，2'sin2a-]-cos2a)2'14-tan2a7

7/2

一讨.

故选：A.

x—1

8.已知函数/(x)^+asirtr+2,且/(机)=5,则/(-加)=()

A.-5B.-3C.-1D.3

%—I

【解答】解：根据题意，函数/(x)+原版+2,

—%—1%—1

贝!J/(-x)=ln--------+〃sin(-x)+2=-In-------—asinx+2,

'-x+1x+1

则有f(x)4/(-X)=4，

故/(加)4/(-zn)=4,

若/(zn)=5,则/(-nz)=-L

故选：C.

9.若正数尤，y满足x+2y-29=0,则x+2y的最小值为()

A.9B.8C.5D.4

【解答】解：由x+2y-2xy=0,得x+2y=2xy,

11

所以石+厂

所以(x+2y).l=(x+2y).(/+3=2+^+?22+2^x?=4,

当且仅当成=争哈+:j即》=2,y=l时取等号,

故选：D.

10.已知点4（今，0）在函数/（x）=cos（a）x+（p）（a）＞0,wEZ,0＜（p＜n）的图象上，直

线％=看是函数/（X）图象的一条对称轴.若/（X）在区间（Q当内单调，则＜p=（)

7T7157T

A.B.D.

636

TC7171T71471n

【解答】解：由题意得，--=->-=—，得—<一,得u)24,

624842a)2a)8

第13页共22页

12n7tn

一•—N———,.,.0)^6.

2Ci)36

综上可得，4Wo)W6.

又u)WZ,当3=4时，cos(4e—4-(p)=0,得(p=Ki+与，依Z,

24J

又OVcpVn,所以(p=E，

此时，直线A看是函数fG)=cos⑷+引的图象的一条对称轴，

所以<p=*

当co=5时，cos(5x2^4~(p)=0,可得(p=Zm+keZ,

又0V(p<n,所以年=分，

此时，cos(5x1+g)不是最值，故直线产卷不是函数f(x)的图象的一条对称轴.

当0)=6时，cos(6x芸+(p)=0,得<p=Zni+%长Z,

又0<(pVn,所以<p=?

此时,cos(6x芸+专)=0,不是最值，

所以直线冗=看不是函数fG)的图象的一条对称轴.

综上，可得3=4,(p=

故选：B.

11.VA*G(0,+8),不等式_x_/71V2〃恒成立，则〃的最大值为()

A.-2B.0C.e'2-1D.-加3

【解答】解：原不等式可化为F+底-3-(口队”3)-1^67+2,

构造"(/)=ef-r-1,H'(r)=e'-l,令--1=0,可得，=0,fVO时，Hr(力

<0,f>0时，H'Ct)>0,

所以〃(0)=0是函数的最小值，所以“(力20,

当且仅当f=0时等号成立，

/=1+或-3有零点，所以〃+2W0.

故选：A.

12.根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光

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线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分

该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：己知尸2分别是双曲线C:/一展=1

的左、右焦点，若从点放发出的光线经双曲线右支上的点4（xo.2）反射后，反射光线

为射线AM,则/尸MM的角平分线所在的直线的斜率为（）

A.-V3B.一浮C.-D.V3

33

【解答】解：由己知可得A（xo,2）在第一象限，

将点A的坐标代入双曲线方程可得：x1,解得x。=遮，所以A（b，2）,

又由双曲线的方程可得。=1,b=&,所以c=g,则F2（遮，0）,

所以|AF2|=2,且点A,F2都在直线户次上，又|。尸J=|OF2|=V3,

所以tan/FiAF2=与梨==百，所以/尸14尸2=60°,

“213

1

设//2AM的角平分线为AN,则4F2AN=（180°-60°）x*=60°,

所以直线AN的倾斜角为150。，

所以直线的斜率为tan150°=-冬

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（代-表）6的展开式中的常数项为-20.（用数字作答）

【解答】解：（衣一卷）6的展开式的通项公式为T*=C1（-1）”工

令3-r=0,求得，=3,可得其中的常数项为-底=-20,

故答案为：-20.

14.已知抛物线x=2py2上的点A（2,2）,则A到准线的距离为

【解答】解：抛物线x=2p），2上的点4（2,2）,

可得片作，所以抛物线方程为：丫2=级，准线方程为mJ

则A到准线的距离为：

2

故答案为：

15.已知四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是梯形，S.AD//BC,ADA.DC,AO=2DC=2CB

=4,APYPD,PA=PD,PC=2V2,AD的中点为E,则四棱锥P-BCDE外接球的表

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28兀

面积为

-3-

【解答】解：易知平面PBE，平面ABCC,则aPBC为直角三角形,

：.PB=2,设球心为0,。到面8CDE的距离为〃，球的半径为r,

2

则产=鱼+九2,产=(遮一%)2+1,

解得产=z

所以：S=47TX《=竽.

故答案为：等.

16.已知函数/(x)=sinx+/sin2x+gsin3x,给出下列四个命题：

①2n是函数/(X)的一个周期；

②函数f(x)的图象关于原点对称；

③函数f(X)的图象过点(TT,0)；

④函数/(X)为R上的单调函数.

其中所有真命题的序号是①②③.

【解答】解：函数/(无)=sin.r+|sin2x+|sin3x,

1111

对于①：/(X+2TT)=sin(x+2n)+)si7i(2x+4江)+^sin(3x+6TT)=sia¥+[S讥2%+方访31

=/(x),故函数的最小正周期为2m故①正确；

1111

对于②：函数/(-x)=sin(—%)+2$讥(一2%)+可5讥(一3%)=­siar—尹也2%—2sin3x

=-fCx)故函数的图像关于原点对称，故②正确；

11

对于③：当x=ii时，f(n)=sinn+sm27r4-^sin37r=0,故③正确；

11

对于④：由于/(x)=sinx+2SiM2x+@sin3x,所以/(x)=cosx+cos2r+cos3x,由于，

(x)恒大于0或恒小于0,不一定恒成立，故④错误.

故选：①②③.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：

共60分.

1"JT

17.(12分)已知函数/(x)=5-2cosxcos(x+g),在△A8C中，角A,B,C的对边分别

第16页共22页

为〃，b,c,且/(C)=1.

(I)求c；

(II)点。为AB边中点，且CO=夕.给出以下条件：①。=2；②c=2a(cVb).

从①②中仅选取一个条件，求6的值.

【解答】解：(I)V/(x)=^—2cosxcos(x4-^)=1-2cosx(cosxcos^—sinxsin

/O.211A/3.1+COS2X,11•c71.

yJ3sinxcosx—cosx+]=-^sinOlx-------%------2=~2~sin^xo一o=sin(2x—q),

/./,(C)=sin(2C-^)1,

V0<C<7T,C坐,

.,.TO<2TO<O

,•2C-2G--2'cC-~-3f

(II)若选①。=2,

VCD=*(%+&),/.CD2=1(C712+2C71-CF+CF2),

7=(h2+4b•cos^4-4),

解得力=4或b=-6(舍去),.*.&=4；

若选②c=2百，(c</?),

由c1=b2+a2-2abcosC,

22

得：i2=a+h-abf

由(1)得CD=\夜2+\2+时,

所以次+庐=20,ah=S,解得：或｛，二3

由c<b,得b=4.

18.(12分)为迎接2022年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机

抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答

错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为

答错的概率为|,回答完5个问题后，记甲上的台阶等级数为X.

⑴求P(X=7)；

(2)求X的分布列及数学期望.

【解答】解：(1)当X=7时，则甲答对了2个问题，答错了3个问题，

第17页共22页

所以P(X=7)=Cl.4)3.(1)2=患；

(2)由题意可得，X的可能取值为5,6,7,8,9,10,

所以P(X—5)=($5=2^'

P(X=6)=小(7[=翁；

P(X=7)=*(|)3.(射=第

P(X=8)=告(金2.(33=翡;

P(X=9)=废*(犷=%

尸(X=10)=(35=右.

所以X的分布列为：

X5678910

P32808040101

243243243243243243

ML/V、32：801r80,4010「八120

故E(X)=5X243+6x市+7x南+8ox胸+9x弗+l°x奔=3

19.(12分)如图，圆锥的顶点为S,AB是底面圆。的直径，C是圆。上异于A、3的一

点，。是AC的中点，平面SODA平面SBC=/,SO=OA=1.

(1)求证：/〃8C；

(2)若/与AB所成的角为60°,求/与平面SB。所成角的正弦值.

C

【解答】(1)证明：因为。是AC的中点，。是A8的中点,

所以OD//BC,

又0£>u平面SOD,BCC平面SOO,

则BC〃平面SOD,

又BCu平面SBC,平面SOOC平面SBC=l,

第18页共22页

所以/〃BC；

(2)解：由/〃BC且/与A8所成的角为60°,则/ABC=60°,

所以△O3C是边长为1的等边三角形，

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则4(0,-1,0),8(0,1,0),C号,0),5(0,0,1),D(亨,0),

所以4=(0,1,-1),防=(空,0),

设平面S3。的法向量为£=(x,y,z),

L-(y—z=0

则,骨=0,即乃5

Vn-50=0(Tx-4y=0

令x=5,则y=z=V5,

故£=(5,V3,V3),

因为/〃BC,则/的一个方向向量为品=(瞪，一，0),

品|二2乃二2回

所以|cos<h,BC>\=

向访IX同31

XV

20.(12分)已知Fi(-1,0),F2(1,0)是椭圆E-.—+77=l(a>b>0)的左，右焦

点，尸是E上一点，PF\LPF2,△F1PF2的面积为3.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)过F2作两条互相垂直的直线与E分别交于A,B和C,D,若M,N分别为AB和

CD的中点.证明：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.

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【解答】(1)解：由F1(-1,0),F2(1,0)得：/1放|=2,c=l,

2

1PF/2+\PF2\=4

由题意得：■2仍&|•IPF2I=3，则有4J=16,解得：。=2,

JPFil+|PF2|=2a

y2

又。2=户+。2,人=次，，椭圆片的标准方程为：一+—=1.

43

(2)证明：当直线/］和，2斜率存在时，设直线/1方程为y=&(x-1),

交椭圆E两点的坐标为A(xi,yi),B(X2,”)，

(y=々(％T)

由卜2y2,

(T+T=1

得：(3+4斤)7-8必x+4必-12=0,...无i+x2=8k夕,则用(-必,

3+4fc23+4fc2

VAX/2,将上式中的人换成一工同理可得：N(」^,

3+4fc2*4+3fc2,即kW±l时,

-3k3k

-2"-21k=21-k_7一k

12(/C4-1)-12/_1_4k,2-1

3+4/4+3k,

化简得：y=:/当(x-分此时直线MN恒过定点g,0),

4A

若丁K=即人=±1时，直线MN斜率不存在，则直线也过点0)；

当直线/1或/2斜率不存在时，其中一条直线为x=1,另一条为y=0,直线MN过点6,0)；

综上所述：直线恒过定点(；，0).

21.(12分)已知函数f(x)=/-m・l〃(x+1).wGR.

(1)设x=0是/(x)的极值点，求加，并讨论/(x)的单调性；

(2)若〃?=4,证明/G)有且仅有两个不同的零点.(参考数据：^15.15)

【解答】解：(1)因为尸0)=蜻一号，x=0是/(X)的极值点，

所以r(0)=e。-揩=0,解得加=1,即/''。)=〃一备，

又因为丫=必与丫=—击在(-1,+8)上单调递增，

所以当-l<x<0时，/(x)<0；当x>0时，/(%)>0,

即/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+°°)上单调递增.

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(2)因为当m=4时，f'(x)=