初中数学竞赛模拟题50题-含参考答案

初中数学竞赛模拟题50题含答案

一、单选题

1.已知门|<2兀，x是整数，则符合条件的x的值有（）

A.5个B.6个C.11个D.13个

2.已知小6为正整数，满足,沙―⑦―a-24=0,则a+b的最大值为（）

A.7B.18C.29D.30

3.若*=",代数式X?+2x+的值为-1,则当x=-a时，代数式f+2x+V^

的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

4.在实数范围内，方程16=0的实数根的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.若a,b,c,d为整数，且aV28,b<3c,c<4d,^<100,则〃可能取的最大值是

（）

A.2367B.2375C.2391D.2399

6.关于x的方程|1-|葡+//=》的根的个数为（）.

A.0个B.1个C.3个D.4个

7.若方程f+2px-3p-2=0的两个不相等的实数根为，血满足

x；+x；=4-（考+*），则实数。的所有可能的值之和为（）

A.0B.--C.-1

4

8.已知A=48x（七+不匕++而匕），则3A的整数部分［3可是（）

A.72B.73C.74D.75

9.已知。，b满足（〃+1）2-"-2）VT二+|。-3|=0,贝ija+b+c的值等于（）

A.2B.3C.4D.5

10.若。-3)(%+5)=.r2+r?vc--15,则加的值为（）

A.-8B.2C.-2D.-f

yjx2-7

11.要使分式亘三［有意义，则x的取值范围是（）

Jx-4

A.x>4B.x>y/lC.x>4且xw5D.4<x<5

12.已知4,〃满足|a-3|+（8+2）2=0,则单项式-的系数和次数分别是

（）

A.-15,6B.-15,5C.-5,6D.-5,5

13.已知A=匕'则A与1的大小关系是（）.

A.A>\B.A=lC.A<1D.无法确定

14100-01X100---0-100--01-100-0=（）

n-1个个"-1个"个

A.10"B.IO'"c.102z,D.102,,+2

15.在，,军,0.2020」（，3-20-夜）,而-"-2（〃是大于3的整数）这5个数中,

7223

分数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

16.点力、E、尸分别在..ABC的三边BC、AB、AC上，且AD、BF、CE相交于

上“什A8AC_AM/、

点"若原+b=5,则nil）

7

A.-B.3C.-D.2

22

17.计算4>/3+20-〃l+24&=（）

A.y/2-1B.1C.y[2D.2

18.有2014个数排成一行，其中任意相邻三个数中，中间的数等于它前后两数的和,

若第一个数和第二个数都是1，则这2014个数的和等于（）

A.2014B.1C.0D.-1

19.若p为质数,p3+3仍为质数，则/3+33的末位数字是（）.

A.5B.7C.9D.不能确定

20.若1059,1417,2312分别被自然数x除时，所得余数都是y,则x—y=（）

A.15B.1C.164D.179

二、填空题

21.能使2"+256是完全平方数的正整数”的值为.

22.在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套.只戴帽子的人数

等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾,

但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系

围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个.那么：

（1）有人同时用上了帽子、围巾和手套；

（2）有人只戴了手套；

（3）有人只系了围巾：

（4）有人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾；

（5）有人戴着手套.

23.如图，ABC中，24cB=90。，D、E分别在AC、3c边上，BE=AD,AE、

4

3。相交于点尸，且tan乙=若4E=13,BD=\5,则AO的长为.

24.如图所示，正方形A8CD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上且

£B=10cm,点P在边CD上运动，EP与AB的交点、为F.设。P=xcm,△EF8与四

边形AFPD的面积和为ycm2,那么y与x之间的函数关系式是.

25.若方程丁-1999》+“=0有两个质数根，则。=.

26.若实数满足小不+婚工=1,广斤+拼工=1,则x+y=___.

33+4333+6553+435'+63

27.一组同学被分派去给17乃棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗.1

小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它

工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3

小时10分钟.则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为.

28.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中

间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放

个球.

29.如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和，就把这个数叫做“和谐数”那么，在

1,2,2008中，和谐数的个数是.

30.边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是.

31.如图，正方形A8CO中，点E在A3边上且AE=23E.连接CE,取CE边上中点

G,作G〃，CG且CG=G〃，连接C”.将CG“绕着点C逆时针旋转得到CG'”'.

当”'恰好落在A4的延长线上时，连接HG'.CG'与〃〃咬于尸，若AH=2加,则

32.有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数

是,

33.14+24+34++19904+1991，的个位数字是

34.已知女为不超过50的正整数，使得对任意正整数小2*36"+&x23"+「l都能被7

整除.则这样的正整数k有.个.

35.如图，在△ABC中，ZB^ZCAD,-=则年迺

AC2SAC。

36.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是

岁.

37.若a,b,c,d为非负整数，且（/+切卜2+42）=1993,则a+6+c+d=

38.已知A=5口|.严*SW5为自然数，则4被3除的余数为一.

39.已知整数13ab456（“，b各表示一个数字）能被198整除，那么。=,b=

三、解答题

40.分解因式：x2(x+a)2+a2x2+a2(x+a)2.

41.某项工程，甲工程队先做20天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙

队再做50天就恰好完成任务.已知乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍.请问：

(1)中队单独做需要多少天才能完成任务？

(2)若甲工程队先做x天后，由乙工程队接替，结果乙队再做》天就恰好完成任务.其

中x,旷都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队

实际各做了多少天？

42.如图(1),大正方形的面积可以表示为同时大正方形的面积也可以表示

成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即/+2必+/.同一图形(大正方

形)的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：

(a+b\=a2+2ab+b1.把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相

等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.

(1)用上述“面积法”，通过如图(2)中图形的面积关系，直接写出一个等式：:

(2)如图(3),RtZvWC中，Z4Cfi=90°,C4=3,C8=4,AB=5,C”是斜边AB

边上的高.用上述“面积法''求CH的长；

(3)如图(4),等腰ABC中，AB=AC,点。为底边3c上任意一点，

ONVAC,CHLAB,垂足分别为点M,N,H,连接A。，用上述“面积法”求

证：OM+ON=CH.

43.设满足ox+Oy=3,依2+by2=7,ax34-by3=16,ax44-by4=42,求ax'+by5的

值.

44.试比较x=^~；(l+?+:++11)与y=)4+]++上)的大小・

45.已知〃5>l)个整数(可以相同)公马，…，怎，满足

E+W++乙=52x〃=9lll.求当〃取最小值时，x,,x2,，当中的最大值.

46.计算:

(I)I2+22+32+...+n2

(2)K+2,+33

47.将8个数14,30,33,75,143,169,4445,4953分成两组，每组4个数，使一

组中4个数的乘积与另一组中4个数的乘积相等，应该怎样分组？

48.任给20个互不相等的正整数，每一个数都不大于100.证明：把这20个正整数

两两相减(大减小)所得的差中至少有三个相等.

49.如图.已知ABC为等腰直角三角形，ZA=90°,D、E分别为AC、BC上的两

点，CD=EBE,连接。E,将OE绕点E逆时针旋转90。得EF,连接DF与AB交于

点

⑴如图1,当N£)£C=30。时，若8。=2+百，求4)的长；

(2)如图2,连接CF,N为C尸的中点，连接求证：MN=&E；

2

(3)如图3,连接AF,将AF绕点A顺时针旋转60。得AG,连接FG、BG、CG,若

AC=4,当.ACG周长取得最小值时，直接写出8CG的面积.

参考答案:

I.D

【分析】利用去绝对值符号，得出关于x的解集范围，再根据整数的定义，求出符合条件

的值的个数.

【详解】解：；次|<2万，

:.-2万<x<2万,

7*3.14,

/.-6.28<x<6.28>

X是整数，

x可取-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6有13个，

故选：D.

【点睛】本题考查了去绝对值符号及无理数，解题的关键是：会去绝对值符号求解不等式

的解集.

2.D

【详解】由"一⑦一a-24=0得6=^^=1+三.

a-2a-2

a,b为正整数，.•・a-2|26.

①a=3,b=27②a=4,=14③a=15,b=3④a=28,b=2

.♦.a+6最大为30.

3.D

【分析】将等式变形可得(“+1)2+7^=0,然后利用非负数性质得出。=-1,n=2,然

后将当x=l时，代入代数式求值即可.

【详解】解：=代数式x2+2x+^/^的值为T,

a2+2a+sjn—2=—1,

(«+l)2+Vn-2=0,

,/(a+l)2>0,>/n^2>0,

，a+1=0,n—2=0,

解得ci=-L/i=2,

当x=l时，代数式£+2X=1+2=3.

答案第1页，共30页

故选择D.

【点睛】本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求

值，掌握完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关

键.

4.B

【分析】先移项得出f=16,再根据四次方根的定义求出方程的解即可.

【详解】解:M-16=0,

/=16,

x=±V16=±2,

即方程f-16=0的实数根的个数是2,

故选：B.

【点睛】本题考查了解高次方程，能求出户土布是解此题的关键.

5.A

【分析】需要根据题意确定d的取值，然后依次可得出以反。的最大值，继而可得出答

案.

【详解】解：••2V100,d为整数,

的最大值为99,

Vc<4J=4x99=396,c为整数，

；.c的最大整数为395,

•.”<3c=3x395=1185,b为整数,

.•北的最大整数为1184,

Va<27?=2x1184=2368,a为整数，

-'-a的最大整数为2367.

故选：A

【点睛】本题考查了整数问题，解答本题的关键是根据题意确定d的值.

6.B

【详解】依题意X2O且凶22,故xN2,原方程化为x_l+G^=x即^/^^=l,所以

x=3.故选8.

7.B

答案第2页，共30页

【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得%+9=-2。，

2

X：+x；=(*+x2)-2xt=4〃2+6p+4,

x；+x2=(xi+工2)[(入1+/)〜—3%•◎]=_2P(4〃2+9/?+6).

,*,不?+M=4-(x；+E)得%〜+x；=4-(x；+x；),

/.4〃2+6〃+4=4+2〃(4〃2+9〃+6),

〃(4p+3)(p+l)=0,

3

・"=0,p2P3=T

代入检验可知：以R=o,外=-；均满足题意，P3=T不满足题意.

3

因此，实数〃的所有可能的值之和为PI+〃2=0+

4

故选B.

8.B

［详解】因±=总的4(达-6)，

所以…；

(1_1)+(1,1)+(1_1)++(±__L)

=12x(—|11--------------------------------)=25-12x(1--------1-------1------).

12349910010110299100101102

若设B=12x(1-----1---------1------),则38v3xl2x—=—<1.5,且

991001011029911

424

3B>3xl2x-=—>1.4,故3A=75-3B>73.5,且3A=75-3B<73.6,所以

[3A]=73.故选B

9.C

【分析】根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可.

【详解】解：根据题意，得，(a+l)2+J(23+|c-3|=0,

.•.“+1=0,2-6=0,c-3=0,

解得。=-1,b—2,c—3,

所以a+b+c—-l+2+3=4.

故选：C.

【点睛】本题考查了完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，非负数的性质：几个

答案第3页，共30页

非负数的和为0,那么这几个数都为0,掌握非负数的性质是解题的关键.

10.B

【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可.

【详解】解：*.*(x-3)(x+5)=x2+2x-15=x2+wu-15,

m=2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的

法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键.

11.C

X2-7>0[X<-V7«KX>>/7

【详角军】依题意得“卜一3|工2n,XWL且XH5,nx>4且XH5.故选C

x>4x>4

12.A

【分析】先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出a-3=0,6+2=0,解方程求出“与

b,然后代入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可.

2

【详解】解：：|。-3|+。+2)2=0,\a-3|>0,(b+2)>0,

根据绝对值与偶次方非负数性质可得a-3=0,b+2=0,

解得a=3,b--2,

二单项式-15x5y的系数为-15,次数为5+1=6次.

故选择A.

【点睛】本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，

掌握非负数性质，和单项式相关定义是解题关键.

13.C

【详解】解因A=：+'+±++—<|x8=l.故选C

8910158

14.C

【详解】原式=(10〃+1)2-(10"+1)—10"=1()2〃

15.B

【分析】先把;(1-2夜-扬和皇”化简,再根据分数的定义进行解答.

答案第4页，共30页

【详解】解：-五）=,

当跃〃>3）是整数时，而与中有一个是无理数，即〃与〃-2不可能同时取到完全平

方数，

设"=$2,n_2=t2,有S2一*=2,

(y+f)(5-r)=2xl,

5+Z=2,S—f=1,

31

=f不是整数解，

22

...正经不是分数.

3

g是无理数，不是分数，

2

故分数有三个：；，0.2020,*3-2应-肉.

故选：B.

【点睛】本题考查的是实数的分类，把;（6^后-夜）和近二”进行化简是解答此题

的关键.

16.B

Apq

【详解】设怒=，由题设可得笠=产”tS^DMCAFSi—BMD

qq

sFC◎△BMC^^BMC

ABAC_AEAF

BECFEBFCS,BMCS.BMC

J(S^DMC+S&BMD)।2二

△融心+2=r+2

q一q

ARACAM

又已知$+W=5,所以，+2=5,所以，=3,即6=3.

BECrMD

17.B

【详解】473+2>/2-741+2472=4(V2+l)-(3+4>/2)=l.

18.B

【详解】由已知可知，前〃个数的排列顺序为1,1,0,-1,-1,0,1,1,0,…由此可

见，从第7个数开始循环，即每隔6个数循环，这6个数的和等于0.又因为

2014=6x335+4,所以这2014个数的和等于1,故选8.

19.A

答案第5页，共30页

【详解】由"+3为质数可知p为偶数，又p为质数，则P=2.

故p33+33=2"+33=(24)*x2+33.

因为(2*丫的末位数字为6,故(24『x2的末位数字为2.因此，/3+33的末位数字为5.

20.A

ax+y=\059,①

【详解】设三数除以x的商分别为a,b,c,则可得“x+y=1417,②

cx+y=2312.(3)

②-①得S-g=358=2x179,

③-②得(C-6)X=895=5X179,

③-①得(c-a)x=1253=7x179.

即x=179,y=164.故x-y=15.

21.11

【详解】当〃<8时，2"+256=2"(1+2""),若它是完全平方数，则〃必为偶数.

若〃=2,则2"+256=2365;若〃=4,则2"+256=24xl7；若〃=6,则

2),+256=26X5;若〃=8,则2"+256=2**x2.

所以，当〃<8时，2"+256都不是完全平方数.

当”>8时，2,,+256=28(2"-8+1),若它是完全平方数，

则2"-8+1为一奇数的平方.

设2"-'+1=(24+1)2行为自然数)，贝U2"T°=妖Z+1).

由于％和A+I一奇一偶，所以及=1,于是2"">=2，故〃=11.

22.311410

【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：

(1)A=C+F；(2)C+E+尸=4；(3)8=5；(4)A=2C；(5)A+B+C=8；(6)

A+G+尸=7；(7)£)=A+I.

可求出A=2,B=5,C=1,D=3,E=2,F=1,G=4.

于是，题目中各空白区应填入的数依次是①3,②1,③1,④4,⑤10.

答案第6页，共30页

帽子

23.4石

【分析】作出辅助线，由AAS证明再由

tanAFD==tanBFH=,设CM=4x,FM=3x,BH=4y,FH=3y,利用勾股

FMFH3

定理列式计算即可求解.

【详解】解：过B作交AE的延长线于“，过。作于M,

,?ZACB=ZAHB=90°,

.二A、C、H、8四点共圆，

:.NCAH=NCBH,即/D4M=NE8H,

•；BE=AD,ZDMA=ZEHB=9Q°,

AADMSABEH(AAS),

：.DM=EH,AM=BH,

tanZAFD=—=tanNBFH

FMFH3

设0M=4x,FM=3x,BHf,FH=3y,

:.DM=EH=4x,AM=BH=4y,

EF=FH-EH=3y-4x,AE=AM+MF+FE=4y+3x+(3y-4x)=7y-x=13,①

BD=DF+BF=-^DM'+FM-+《BH~FH?=5x+5y=15>®

由①②解得：x=l,y=2,

：.DM=4,AM=8,

二AD=-JDM2+AM2=475•

答案第7页，共30页

故答案为：4石.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，

解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，

24.y=5x+50(0<x<10)

【详解】解由£)「=》得/^=10-%.

X—=—=BPBF=-(10-x),AF=10-BF=-(10+x),

PCEC222

所以y=S+S四边形AFPD

=-xBExBF+-(AF+DP)xAD

22

=1xl0xl(10-x)+|g(10+x)+xxlO

=5x+50(0<x<10).

故应填y=5x+50(0<x<10).

25.3994

【详解】设V-1999元+a=O的两根为中为，则与+x?=1999,不七=a.因1999必是一个偶

数与一个奇数之和，且偶数中只有2为质数，故士,小中必有一个为2,另一个为

1999-2=1997,所以4=2x1997=3994.故填3994.

26.432

【详解】解因题目中条件去分母整理后可写为：

(32)2-(x+y-43-63)-32-(63A：+43y-43-63)=0,

((52)--(x+>>-43-63)-52-(63x+43y-43-63)=0,

故依题目条件知f=33或f=53是关于f的方程/一卜+y—4'-63)f-(63x+43y-43.63)=0的

两根.

由韦达定理，得33+53=x+y-4'-63,

所以x+y=33+43+53+63=432.

27.945

【详解】设开始有〃位同学，每次有々位同学被分派去做其它工作.因为每位同学浇完一

棵小树苗需要2分钟，所以10分钟内每位同学浇完5棵小树苗.因此，

答案第8页，共30页

30〃+30(〃一%)+30("—2Q+5(〃一3幻=1775

即

21)1+355

n=--------

19

因为“和人都是正整数，所以2W+355必须是19的倍数.并且使得〃，n-k,2&和

3/也是正整数的k值仅有一个，即&=3,从而〃=22.故在开始的1.5小时内浇完的小

树苗数为30x22+15x19=945.

28.15个球

【详解】解：先画一个“初始图”：oABCDEoABCDEo

按照题目要求，逐一确定各个字母的颇色，得到：

ooooDoooooDo

显然，。应为黑色.即：

oooo»ooooo»o

再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：

oooo»ooooo*oooo

29.2007

【详解】理由：注意到91=7x13.

数字和为1的数不是91的倍数.

1001,10101,10011001,101011001,100110011001,1010110011001,…都是91的倍

数，而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,…因此，在1,2....2008中，能够表

示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2007.

故答案为：2007.

30.4石

【详解】设三角形的三边长分别为a,b,c,B.a<b<c,则a+b+c=12.

可得3c212,BPc>4.

又因为a+6>c,所以2c<12,即c<6.

故44c<6,c可取4或5.

当c=4时，a<b<4,a+b=8,所以a=b=4.

此时三角形面积为*=3-42=4JL

当c，=5时，a+b=7.当a=l时，h=6.此时a+c=b,不合题意.

答案第9页，共30页

当。=2时;b=5.此时三角形面积为52=，2・，52-尸=2«；

当a=3时；方=4.

此时三角形为直角三角形，三角形面积为S3=g-3-4=6.

显然5>53>邑，所以所求最大面积为4G.

6275

35

【分析】连接34,EH,设CG、BH交于点0,证明8、C、H、E四点共圆，CBH

学；.ABH,求得8C、AE的长，过点£：作血/1.4〃于点M,作G关于C”的对称点J,

连接C/交AH于点T,过点T作刀V_LC”于点N,则四边形CGH/是正方形，设

AM=a,则=4/7=2百-a,由勾股定理及全等三角形的判定与性质即可得到答案.

【详解】连接EH,设CG、BH交于点、0,

B-EA

四边形ABCD是正方形，

.\ZABC=90°,BA=BC,

/.CG"是等腰直角三角形，

G是CE边上的中点，

:.CG=GE,

:.HC=HE,

是等腰直角三角形，

:.B、C、H、E四点共圆,

,*■CH=CH<

NCBH=NCEH=45°,

:.NHBA=NHBC=45°,

答案第10页，共30页

在一和一ABH中,

CB=AB

-ZCBH=ZABH,

BH=BH

：.CBH=ABH(SAS),

CH=AH,

正方形ABC。中，点£；在A8边上且AE=28£,

/.BC=3BE,

:.CE=y)BE2+BC2=而BE，

△CHE是等腰直角三角形，

:.CH=—CE=y/5BE,

2

CH=AH=2非,

；.BE=2,

:.BC=3BE=6,AE=4,

过点E作EM，AH于点“，作G关于CH的对称点J,连接C7交力"于点7,过点T作

TNLCH于点、N,则四边形CG/Z7是正方形，

设=则HM=A”=2>A-a,

在R/VAME中，E^-AM^EM2,

在RdHME中,HE2-HM?=EM2,

：.EJ^-AM'HET-HM-

即42-a2=(2病2-(26-a)2,

答案第11页，共30页

4亚

..a=-----，

5

.-4小

..A7/A=-----，

5

.。用4756石

..HM=275-------=------,

55

,E*足萼考,

八…HM3.八…HM3

/.tanZ//EM=-----=—,sinNHEM=------=-,

EM4HE5

ZC/7E=90°,

/CHJ+/EHM=90°,

/EHM+AHEM=90。,

:.ZCHJ=ZHEM,

CJ1AH,EMLAH,

:"EMH=/HJC=90°,

在，C/H和中，

NEMH=ZHJC

<ZCHJ=AHEM,

CH=HE

CJH'HME(AAS),

—=半

/.Z.THN=ZTHC=AHEM,

33

tanZ77/7V=-,sinNTHN=—,

45

TN-3TN3

----=tan/THN=—,=sm/THN=-,

NH4TH5

TH==——

设77V=3b,则N"=46,sin/THN3

5

ZHCG=45°,四边形CG/〃是正方形，

:"TCN=45。，CN=TN=3b,

:.CH=Jb,

,275

b=---,

7

答案第12页，共30页

••・T

.5=川-7广辿-亚=述

5735

将_CG”绕着点。逆时针旋转得到CG'H',

:.CH=CH=/HCG'=/HCG=45。,

...NFCH=ZTCH=45°，

CH=CH\

4FH'C=/THC,

在/7HC和/HP中,

ZFH,C=ZTHC

,CH=CH'

ZFCH=ZTCH

:..THC^FH'C{ASA),

：.H'F=HT,

CH=CH\CJ1HH',

:」H=JH',

:」H-TH=JH'-FH',

PUP；m6>/585/562A/5

35535

故答案为：坦且.

35

【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，全等三角形的判定与性

质，添加辅助线并求得正方形的边长是解题的关键.

32.3

【详解】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1,2,3,4,6,7,8,9,把它们

4次方后，研究它们的个位数字，分别是：

14=1;24=16;34=81;44=256；

6'=1296;7,=2401;8"=4096;94=6561.

即它们的个位数字不是1就是6,并且6被5除也是余1.所以一个不是5的倍数的整数，

它的4次方被5除一定余1.

这8个整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3.

答案第13页，共30页

33.8

【详解】理由：14+24+34++10,=1+6+1+6+5+6+1+6+1三3(mod10),

114+124++2()4=3(modl0),

19814+19824++19904=3(modl0),

从而了+24+34++19904三3x199三7(modl0),

则14+24+34++19904+1991,三7+1=8(modl0).

所以14+24+3'++1990*+19914的个位数字是8.

34.7

【详解】填7.理由：

2x36n+Jtx23w+l-l

=2x27"+2左x8"-l

三2x(-l)2"+2k-l

=2k+l(mod7).

但2x36"+&x23rt+,-l三0(mod7),

则2k+1=0(mod7),

即2k+1=7〃？(m为奇数).

因为14450,所以，3<lm<\Q\.

故a=1,3,,13,相应的左=3,10,,45,共7个.

35.3

【分析】由题中条件可得△AC0S/S8CA,得出AG=CD・8C利用等式的性质进行恒等变

式，可得空■+空•空-1=0,设段=x，建立方程，解方程可求得g=4，再根据相

AC2ACACACAC2

13

似三角形的性质，可求得S△仞C=]SA"C，可得据此即可求得.

【详解】解：；NB=NCA。，NC=NC,

，AACD^ABCA,

答案第14页，共30页

得AC?=(ao+OC)-DC=BDDC+DC2,

可得呼+*,

AC2AC2

,DC2BDDC,八

得H--+---------1=0.

AC2ACAC

DC

设A就=、'

BD_3

AC~2

3।八

..X2H---X—1=0,

2

解得玉=；，%=-2(舍去),

2c1

-=-

Ac2

1

--5

八X4A

__3

_

-S&&BD-SAADC——S&ABC，

<?

_4=3

SACWJ4LS

故答案为：3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的恒等变式，利用方程求解，解题的

关键是利用等式的性质进行恒等变式.

36.18

【详解】设某人出生于19xy年，则他的年龄应为l+9+x+y=10+x+y（岁）.

所以1998-19孙=10+x+y,

即98-10x—y=10+x+y,

得llx+2y=88,

88-llx

则nly=---

又易知x只能取偶数取x=0,2,4,6,8,相应地，＞=44,33,22,11,0.

只有x=8,y=0满足条件.

答案第15页，共30页

所以所求年龄为18岁.

37.56

【详解】因为1993是质数，/+/与c?+“2都是正整数，所以与c?+d2分别取值1

与1993.若/+〃=1,。2+才=1993.

(1)a2+h2=\.可知。=0,。=1或。=1,%=0.因此a+6=l.

(2)c2+4/2=1993.若c431,dV31,贝ijc?+d?42x3/=1992<1993.

所以c,"中至少有一个大于31.

又由于45?=2025>1993.

因此，若设c为c,4中较大的一个，则324c444.

依次取c、=32,33,,43,44,可得只有1993-43?是完全平方数.

所以c=43,d=12或c=12,d=43,则c+d=55.

因止匕，a+Z?+c+"=l+55=56.

当/+62=1993«2+/=1,同样可得所求和为56.

38.2

【详解】填2.理由：4=51992+--5-5|990+--5|990+5=5|<,92+8-5|99()+5.

22

因为父被3除余数为1,所以

A^5,992+2.5,990+2

三(54)+2.(54)"+2

三产+23.产/+2

三5

-2(mod3).

所以A被3除的余数为2.

39.80

【详解】解设〃=13aM56"

因为198=2x9x11,所以〃被9整除，

即l+3+a+6+4+5+6=a+6+19能被9整除，

所以a+b=8或a+b=17.

因为〃能被11整除，所以(1+。+4+6)-(3+6+5)=。-6+3能被11整除.

所以a-b=8或a-b=-3.

答案第16页，共30页

a+b=S,\a+b=S,\a+b=\l,\a+b=\l,

联立方程组a-b=S；[a-h=-3;[〃-/?=8;[a-b=-3.

可得只有第1个和第4个方程组有整数解[：=：'和a=7,

〔。二0,b=\0.

而8=10不合题意，所以a=8,b=0.

40.(x2-i-ax+a2)2

【详解】解法一原式=02(%+。)2+42。+4)2]+“2工2

=(x2+a2)(x+a)2+a2x2

=(x24-a2)(x2+lax+/)+tz2x2

=(x2+4Z2)2+2ax(x2+cJ)+(cix)2

=(x2+a2+or)2

=(x2+ax+a2)2.

2

解法二原式=f[(x+a)+疗]+〃2*+ay

=d(尤2+2以+2〃2)+〃2*+〃)2

=(x2)2+2x2・a(x+a)+[a(x+a)]2

=[x2+a(x+a)『

=(x2+ax+a2)2.

41.(1)甲队单独做需要40天才能完成任务；

(2)甲队实际做了14天，乙队做了65天.

【分析】(1)甲队单独做需要1天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x天才能完成任

务，总任务量为1,根据题意列分式方程，求解即可得到答案；

(2)根据题意列分式方程，整理得到y=100-^x,再根据x、＞的取值范围得不等式，求

整数解即可得到答案.

【详解】(1)解：甲队单独做需要X天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x天才能完成

答案第17页，共30页

任务，由题意得：20xl+50x-L=l,

x2.JX

解得：x=40,2.5x=100,

经检验，x=40是原方程的解，

答：甲队单独做需要40天才能完成任务；

(2)解：由题意得：±x+y^y=l,

40100

整理得：y=100-?x,

---y<70,

.-.100--x<70,

2

.\x>12,

.x<15且为整数，

.,.x=13或14,

当X=13时，y=100-|xl3=671,不是整数，不符合题意，舍去，

当X=14时，y=100-|xl4=65,

答：甲队实际做了14天，乙队做了65天.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，不定方程求特殊解。读懂题意，找出等量关系，列

方程求解是解题关键.

42.(l)(x+2)(x+3)=x2+5x+6

八12

⑵M

(3)证明见解析

【分析】(1)首先利用长方形的面积公式，把大长方形的面积表示出来，然后根据大长方

形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，分别表示出一个小正

方形面积与三个长方形的面积，最后再根据同一图形(大长方形)的面积，用两种不同的

方法求得的结果应该相等，即可得出等式.

(2)首先利用直角边，把A8C的面积算出来，然后根据斜边的高，把A8C的面积表示

出来，最后再根据同一图形的面积，用两种不同的方法求得的结果相等，即可得出等

式.解出即可得到CH的长.

答案第18页，共30页

(3)利用S*BC=S*0B+S&OC，分别表示出,Me、AOB,JLOC的面积，化简即可得

出相应的结论.

【详解】Q)大长方形的面积可以表示为(x+2)(x+3),

大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，即

x2+2x+3x+2x3=x2+5x+6.

根据同一图形(大长方形)的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，

可得等式为：(x+2)(x+3)=x-+5x+6.

故答案为：(X+2)(X+3)=X2+5X+6；

(2)RtZXABC中，VCA=3,CB=4,

-，-5AASC=|CA-CB=1X3X4=6,

又；CH是斜边A8边上的高，

AB=5,

：.S^BC=^AB-CH=^X5-CH,

•.•两种不同的方法求得的结果应该相等，

可得：-x5C//=6,

2

解得：CH=?12；

(3)VOM±AB,

；・,

又•：ON上AC,

：・^^AOC=5"C°N'

又・；CHtAB,

/.S^BC=g•ABCH,

•S^ABC~SgQB+S'AOC，

：.-ABCH=