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文档简介

强基数学代数、数论一、初等数论:整除例1、求出所有的实数，使得与都是整除.例2、已知是互不相等且都大于的正整数，且，求.例3、已知正整数在十进制下的各位数码和的等于其本身，求的值.例4、已知的整数部分，证明：例5、已知正整数不超过且满足整除，求的个数.二、初等数论：高斯函数例1、已知表示不超过的最大整数，已知，则_______;例2、方程有多少组解？例3、求的值例4、已知，则的各位数字是_______;例5、已知为正整数，求阅读材料：逼近定理：对于任意给定的实数和正实数，一定存在互素的正整数使得，且证明方法：用数列、连分数、抽屉原理均可以证明，详细证明可以在网上找到.推论：对于无理数，存在无穷多个有理数，使得。这个事实可以作为无理数等价说法，说明任意精度都可以达到.推论：对于有理数，只存在有限个有理数，使得，这个事实表明，有理数之间是有空隙的，不可能无限接近.推论：有理数只能做一阶逼近，无理数可以做二阶逼近，不能做三阶逼近.逼近的阶：如果存在一个只与实数有关的实数，使得存在无穷多个有理数，满足，称可以作阶为的逼近.以上知识均可以在《哈代数论》上找到.逼近定理：给定无理数，则对于任意，（可以理解为精度）均存在正整数，使得（可以理解为在中稠密）备注：两种逼近方式的额差别在于，逼近定理在考虑用一组实数来对作逼近（只不过这组实数有些特别），而是考虑用一组有理数来作逼近.数列：我们把中的分母不大于的既约分数从小到大排成一列，该数列称为阶数列，记为。例如：阶数列为：数列性质1：设为数列中的相邻三项，则（内插）数列性质2：设为数列中的相邻两项，则三、初等数论：不定方程例1、求方程的正整数解.例2、求方程的正整数解例3、已知均为完全平方数且不超过，则正整数的个数为______;例4、设为正整数，则方程的解的个数为______;例5、求方程的所有非负整数解不等式例1、已知为正实数，求的最小值例2、已知不全为，求的取值范围.例3、若实数满足，则的最大值为____.例4、已知实数满足，求的最大值.例5、已知为正实数且，求证：的取值范围例6、设正实数满足，求的最小值.例7、已知实数满足，求的取值范围.例8、在中，证明：例9、已知正实数满足，则取值范围是_____.例10、已知非负实数满足，求的最大值.例11、设且，求的最小值.例12、给定正整数，设是正实数，证明：例1

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