第一章：完全信息静态博弈课件

第一章：完全信息静态博弈10/23/20231博弈论（陈艳）本章内容：博弈论的基本概念及战略式表述纳什均衡纳什均衡应用举例混合战略纳什均衡纳什均衡的存在性与多重性第一节 博弈论的基本概念与战略式表述10/23/20232博弈论（陈艳）博弈论的基本概念战略式表述1.1-1基本概念10/23/20233博弈论（陈艳）1、参与人：一个博弈中的决策主体，其目的是通过选择行动（或战略）以最大化自己的支付（效用）水平。“自然”作为虚拟参与人来处理。是指决定外生的随机变量的概率分布的机制。i=1, …,n代表参与人，N代表自然2、行动：行动是指参与人在博弈的某个时点的决策变量。用ai表示第i个参与人的一个特定行动，Ai={ai}表示可供i选择的所有行动的集合。3、信息：是参与人有关博弈的知识，特别是有关“自然”的选择、其他参与人的特征和行动的知识。信息集完美信息：一个参与人对其他参与人（包括虚拟参与人“自然”）的行动选择有准确了解的情况，即每个信息集只包含一个值完全信息：自然不首先行动或自然的初始行动被所有参与人准确观察到的情况，即没有事前的不确定性。共同知识：所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道所有参与人知道…的知识。一致信念：即使所有参与人“共同”享有某种知识，每个参与人也可能不知道其他参与人知道这些知识，或者并不知道其他人知道自己拥有这些知识。10/23/20234博弈论（陈艳）4、战略：是参与人在给点信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。用si表示第i个参与人的一个特定战略，Si={si}代表第i个参与人的所有可选择的战略集合。5、支付：在博弈论中，支付或者是指在一个特定的战略组合下参与人得到的确定效用水平，或者是指参与人得到的期望效用水平。令ui为第i个参与人的支付（效用水平），u=(u1,

…,ui,…,un)为n个参与人的支付组合。于是ui=ui(s1,

…,si,…,sn),即ui是所有参与人的战略选择的函数。10/23/20235博弈论（陈艳）6、结果：是博弈分析者所感兴趣的所有东西，如均衡战略组合、均衡行动组合、均衡支付组合等。7、均衡：是所有参与人的最优战略的组合，一般记为：s*=(s1*,

…,si*,

…,sn*)。为了把一个特定参与人与其他参与人相区别，我们将用s-i=(s1,

…,si-1,si+1,…,sn)表示由除i之外的所有参与人的战略组成的向量。博弈论（game

theory）是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题。10/23/20236博弈论（陈艳）1.1-2博弈论的战略式表达10/23/20237博弈论（陈艳）一个博弈可以用两种不同的方式来表述，一种是战略式表述，另一种是扩展式表述。尽管从理论上讲，这两种表述形式几乎是完全等价的，但从分析的方便性的角度看，战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。博弈的战略式表述：G={N,(Si)i∈N,(Ui)i∈N}有三个基本要素：参与人（players）i∈N={1,2,…,n}

；战略（strategies）,si∈Si(战略空间)；支付（payoffs）,ui=ui(s-i,si)。案例1：囚犯困境支付

嫌疑人B嫌疑人A抵赖坦白抵赖-1，-1-9，0坦白0，-9-6，-610/23/20238博弈论（陈艳）均衡与均衡结果10/23/20239博弈论（陈艳）均衡战略（坦白，坦白）均衡支付（-6，-6）第二节 纳什均衡10/23/202310博弈论（陈艳）占优战略均衡重复剔除的占优战略均衡纳什均衡1.2-1完全信息静态博弈的几点特性10/23/202311博弈论（陈艳）1、每个参与人对所有其他参与人的特征（包括战略空间、支付函数等）有完全的了解，即知道博弈结构与游戏规则（共同知识）但不知道其他人的行动。2、所有参与人同时选择行动且只行动一次。同时行动，是一个信息概念而非时间概念：只要每个参与人在选择自己的行动时不知道其他参与人的选择，我们就说他们在同时行动。3、不管是否沟通过，无法做出有约束力的承诺（非合作）1.2-1占优战略均衡10/23/202312博弈论（陈艳）占优战略：不管对手战略为何，该参与人可找到一最佳战略。一般地，si*称为参与人i的（严格）占优战略。定义：在博弈G={N,(Si)i∈N,(Ui)i∈N}中，如果对所有的参与人i,si*是它的占优战略，那么所有参与人选择的战略组合（s1*,…,sn*）成为该对策的占优战略均衡。案例1：囚犯困境支付

嫌疑人B嫌疑人A抵赖坦白抵赖-1，-1-9，0坦白0，-9-6，-610/23/202313博弈论（陈艳）囚犯困境的扩展10/23/202314博弈论（陈艳）应该指出，占优战略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不要求每个参与人知道其他参与人是理性的从“纳什均衡”引出“看不见的手” 的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己。“纳什均衡”提出的悖论动摇了经济学的基石。两个寡头企业选择产量公共产品的供给军备竞赛经济改革结论：一种制度安排，要发生效力。必须是一种纳什均衡；否则，制度安排便不能成立。价格大战支付

百事可乐可口可乐低价高价低价3，36，1高价1，65，510/23/202315博弈论（陈艳）1.2-2重复剔除的占优战略均衡10/23/202316博弈论（陈艳）绝对劣势战略：si是一绝对劣势战略当且仅当存在另一战略si’∈Si使得ui(si,s-i)<

ui(si’,s-i) 对所有s-i∈S-i均成立。（

si’ 未必是优势战略）重复剔除的占优战略均衡：逐次删去绝对劣势战略得到唯一的占优战略。首先找出某个参与人的劣战略，剔除之，再找，再剔除，直到最后的一个案例2：智猪博弈10/23/202317博弈论（陈艳）猪圈里圈两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一头有

一个猪食槽，另一头安装一个按钮，控制着猪食的供应。按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但谁按按钮谁就

要付出2个单位的成本。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪只能吃1个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪

吃3个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位，小猪吃4个单位。支付如表。案例2：智猪博弈支付

小猪大猪按等待按5，14，4等待9，-10，010/23/202318博弈论（陈艳）智猪博弈的扩展10/23/202319博弈论（陈艳）股份公司承担监督经理职能的大股东与小股东股票市场上炒股票的大户与小户市场中大企业与小企业在研发、广告上的博弈公共产品的提供（富户与穷户）改革中不同利益分配对改革的推动例：重复剔除的占优战略均衡首先剔除R10/23/202320博弈论（陈艳）1，01，20，10，30，12，0L参与人2MRU参与人1D例：重复剔除的占优战略均衡其次剔除D10/23/202321博弈论（陈艳）1，01，20，30，1参与人2LMU参与人1D例：重复剔除的占优战略均衡最后剔除L1，010/23/202322博弈论（陈艳）1，2参与人2LM参与人1

U最后均衡结果：(U,M)例 重复剔除的占优战略均衡10/23/202323博弈论（陈艳）4，35，16，22，18，43，63，09，62，8L参与人2MRU参与人1ND例 重复剔除的占优战略均衡10/23/202324博弈论（陈艳）L参与人2MRU参与人1ND1，01，33，00，20，13，00，22，45，31.2-3纳什均衡10/23/202325博弈论（陈艳）定义：指一战略组合有以下特性：当参与人持此战略后，任一参与人均无诱因偏离这一均衡；s*=(s1*,…,sn*)=(si*,s-i*)是一纳什均衡，当且仅当对所有参与人而言，ui

(si*,s-i*)≥

ui

(si’,s-i*)对所有si’∈Si

均成立。简单而言，当s1*是对s2*的最适反应，s2*也是s1*的最适反应时，（s1*,s2*）就是二人博弈的纳什均衡。命题1：纳什均衡在占优战略重复剔除解法中不会被剔除命题2：重复剔除的严格占优战略均衡一定是纳什均衡。例 纳什均衡求解10/23/202326博弈论（陈艳）0，44，05，34，00，45，33，53，56，6L参与人2MRU参与人1

ND三者之間的關系10/23/202327博弈论（陈艳）1、每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除的占优均衡。2、纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除的战略组合不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。作业10/23/202328博弈论（陈艳）7，76，67，65，75，88，56，65，84，8左乙中

右上中下甲一个两人同时博弈的支付竞争如下所示，试求纳什均衡。是否存在重复剔除占优战略均衡？第三节 纳什均衡应用举例10/23/202329博弈论（陈艳）古诺（Cournot）寡头模型沙滩卖冰豪泰林（Hotelling）价格竞争模型公共地的悲剧1.3-1古诺寡头模型10/23/202330博弈论（陈艳）特点：存在两家厂商；同时行动确定产量。通过预测另一家厂商的产量来选择自己的利润最大化产量，寻求预测均衡。厂商1表示为：max

qiP(q1+q2)

-ci(qi)，得出q1=f1(q2)，同理得出q2=f2(q1)，称为反应函数，两条曲线的交点为古诺模型的解。古诺寡头模型的纳什均衡反应函数

q1=f1(q2)q2=f2(q1)（q1*,q2*）是该对策的

纳什均衡解。q1*

q12q11

q10qq2*22q21q1oq2f1(q2)f2(q1)10/23/202331博弈论（陈艳）例题：古诺模型的解10/23/202332博弈论（陈艳）假设p=a-(q1+q2)，C1=q1c，C2=q2c则根据利润最大化的一阶条件分别得到反应函数

q1=f1(q2)=(a-q2-c)/2，q2=f2(q1)=(a-q1-c)/2，求出均衡产量为（1/3(a-c)，1/3(a-c)），为纳什均衡，均衡利润为（1/9(a-c)2，1/9(a-c)2）古诺模型的解：与垄断市场的比较10/23/202333博弈论（陈艳）假设为一垄断企业，则有： Max

π=q(a-q-c),得到垄断企业的最优产量q=1/2(a-c)

<

q1+q2=2/3(a-c)垄断利润为π=1/4(a-c)2

>

2/9(a-c)2寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个

企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业

利润的影响，而忽视对另一个企业的外部负效应。寡头厂商与垄断厂商的比较1/3(a-c)1/2(a-c)q1oq2f1(q2)1/2(a-c)f2(q1)1/3(a-c)10/23/202334博弈论（陈艳）1.3-2

沙滩卖冰假设游客沿沙滩{0，1}间均匀分布，现有两位卖冰者，他们会将摊位选在哪个位置？假设游客就近购买。0

¼

½

¾

1生活中还有哪些类似的例子？10/23/202335博弈论（陈艳）1.3-3豪泰林模型10/23/202336博弈论（陈艳）寡头企业竞争战略是价格伯川德（Bertrand）模型：产品同质，均衡价格等于边际成本，类似于完全竞争市场均衡。豪泰林（Hotelling）模型：存在产品差异，均衡价格不等于边际成本，垄断性提高假定长度为1的线性城市，消费者均匀分布在[0，1]区间内，分布密度为1；两个商店1、2分别位于x=0，x=1，即城市的两端；消费者购买商品的旅行成本与商店的距离成比例，单位距离的成本为t；住在x的消费者在两个商店之间是无差异的，需求D1=x，D2=1-x，x满足：

p1+tx=p2+t(1-x),解得x=(p2-p1+t)/2t。0x1商店1商店2豪泰林模型：以空间上差异为例10/23/202337博弈论（陈艳）豪泰林模型：以空间上差异为例根据两个商店的利润函数，π1=(p1-c)x,

π2=(p2-c)(1-x)选择使利润最大化的价格，得到一阶条件，求得p1

=p2

=c+t，均衡利润π1=π2=t/2*

*旅行成本越高，产品差异越大，均衡价格从而均衡利润也越高。原因：随着旅行成本上升，不同商店出售的产品之间的

替代性下降，每个商店对附近的消费者的垄断能力加强，当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，则为伯川德均衡结果。10/23/202338博弈论（陈艳）1.3-4公共地的悲剧10/23/202339博弈论（陈艳）生物学家和生态学家哈丁（Garrett

Harden）在《科学》（1968年，第162卷）发表《公地的悲剧》。考虑一块对所有的人都开放的牧场，在该制度下，可以预期，每一个放牧的人都会在公地上放牧尽可能多的牲口。增加一头牲口既有正效用，也有负效用。正效用是牲口的销售收入，增加一头为+1负效用使每增加一头带来的过度放牧的损失，每一个放牧着承担-1/n放牧者合理的决策是增加牲口，直至马瘦毛长，公地毁灭。资源没有排他性产权：草地放牧、公海捕鱼、小煤窑的过度开发；另一类是人们向其中排放废物的公地。草地放牧：n个农民，每个拥有羊的数量为gi，G=Σgi，v(G)代表每只羊的价值，与草地上放牧的总数G相关，饲养量增加到一定程度，随着数量继续增加，羊的价值会下降，即v’(G)<0农民的利润函数πi=giv(Σgj)-gic最优化的一阶条件：∂πi/∂gi=v(G)+giv’(G)-c=0增加一只羊有正效应（羊的价值）、负效应（新增羊使之前所有羊的价值下降）个人边际成本小于社会边际成本，个人最优决定的饲养总量大于社会最优决定的饲养总量10/23/202340博弈论（陈艳）1.3-5斗鸡博弈支付

21进退进-3，-32，0退0，20，010/23/202341博弈论（陈艳）“斗鸡博弈”的扩展10/23/202342博弈论（陈艳）夫妻间吵架警察与游行队伍公共产品的供给（两富户修路）第四节 混合战略纳什均衡B正面反面A正面反面-1，11，-11，-1-1，1有些博弈不存在(纯策略的)纳什均衡社会福利博弈之例：不存在纳什均衡猜谜游戏之例：不存在纳什均衡流浪汉找工作 游荡10/23/202343博弈论（陈艳）政府救济不救济3，2-1，3-1，1

0，0设流浪汉找工作的概率为p，则游荡为1-p政府的支付:当政府救济，政府得到3p-(1-p)=4p-1当政府不救济，政府得到-p+0=-p流浪汉应比较两种策略：4p-1>-p,p>0.2或者4p-1<-p,p<0.2设政府救济的概率为q，则不救济为1-q流浪汉的支付:找工作2q+1-q=q+1游荡3q+0=3q如果政府打算鼓励他找工作，须q+1>3q,

q<0.510/23/202344博弈论（陈艳）基本概念10/23/202345博弈论（陈艳）纯战略：参与人在每一个给定信息的情况下只选择一个特定的行动混合战略：参与人在每一个给定信息的情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动纯战略可视为混合战略的特例“流浪汉”的纳什均衡：政府以0.5救济，流浪汉以0.2找工作一个参与人使用混合策略的好处是给对方造成不确定性，浑水摸鱼海萨尼对混合战略的解释：混合战略等价于不完全信息下的纯战略均衡如税收检查，检查则不偷税，不检查则偷税。但税务

局检查有成本，企业在知道税务局可能检查的情况下，偷税有风险。此时，可以根据某些参数寻找一个混合

策略的纳什均衡几乎所有有限博弈都有有限奇数个纳什均衡。如果一个博弈有两个纯战略纳什均衡，那么，一定存在第三个混合战略纳什均衡10/23/202346博弈论（陈艳）1.4-1混合战略（mixed

strategies）10/23/202347博弈论（陈艳）定义：σ*=(σ1*,…,σn*)=(σi*,σ-i*)是一纳什混合战略均衡，当且仅当对所有参与人而言，σi*是σ-i*的最适反应，ui(σi*,σ-i*)≥ui(σI’,σ-i*)，对所有σi’∈Σi成立)。持混合战略的前提是在均衡时两种战略的报酬会相等，是预期支付最大化的推导结果。掷硬币支付

21正面反面正面-1，11，-1反面1，-1-1，110/23/202348博弈论（陈艳）p1-pq1-q参与人1:max

Eu=q(p(-1)+(1-p)1)+(1-q)(p1+(1-p)(-1))=-pq+q-pq+p-pq-1+q+p-pq=-4pq+2q+2p-1一阶条件为零求得：p=1/2掷硬币的分析10/23/202349博弈论（陈艳）给定参与人1（q,1-q），参与人2的支付是：q+(-1)(1-q)（正面）=(-1)q+(1-q)（反面）;

给定参与人2（p,1-p），参与人1的支付为：

p(-1)+(1-p)（正面）=p+(-1)(1-p)（反面）；求得（1/2，1/2）是纳什混合战略均衡如果两种战略报酬不相等，那么就变为纯战略（pure

strategies） 了。1.4-2混合战略均衡的博弈原则10/23/202350博弈论（陈艳）两博弈方不能让对方知道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性；两博弈方选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过针对性地倾向某一策略而在博弈中占上风。例：在掷硬币的博弈中，参与人1选正面、反面的概率q,1-q，一定要使参与人2选正面的和反面的期望得益相等。单纯战略与混合战略的定义10/23/202351博弈论（陈艳）G={N,S,U}是一个战略式有限博弈，参与人i的战略空间S中的任一元素si称为i的一个单纯战略（purestrategy）；定义在Si上的一个概率分布函数pi(si)代表了一个混合战略（mixed

strategy）——这个战略i的内容是：参与人i以概率pi(sij)选择单纯战略s

j，而i

ijΣp

(s

)=1。单纯战略是混合战略的特例，因为任一单纯战略si都可以理解为i以概率1选择si，以0概率选取其他所有单纯战略。引入混合战略，参与人的目标需要修改为“最大化自

己的期望支付”

Selton：小偷和守卫的博弈10/23/202352博弈论（陈艳）一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库，如果小偷偷窃时守卫在睡觉，则小偷就能得手，偷得价值为V的赃物；如果小偷偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就会被抓住。设小偷被抓后要坐牢，负效用为-P，守卫睡觉而未遭偷窃有S的正效用，因睡觉被窃要被解雇，其负效用为-D。而如果小偷不偷，则他既无得也无失，守卫不睡意味着出一份力挣一分钱，他也没有得失。支付 守卫小偷睡不睡偷V，-D-P，0不偷0，S0，010/23/202353博弈论（陈艳）小偷与守卫的博弈守卫得益（睡）10/23/202354博弈论（陈艳）S0pt（小偷偷的概率）tp

*tp

*/1-D-D/小偷的混合策略S到-D连线的纵坐标是在横坐标对应的小偷“偷”窃概率下的守卫选择“睡”的期望得益，即

S(1-pt)+(-D)pt加重对守卫的处罚在短期中的效果是使守卫真正尽职，但在长期中恰恰是会降低盗窃发生的概率（激励的悖论）小偷得益（偷）V01Pg（守卫睡的概率）Pg*Pg*/-P-P/守卫的混合策略小偷的混合策略分布不受P的影响，因此政府加重对小偷的惩罚在长期中并不能抑制盗窃，最多只能抑制短期10/23/202355博弈论（陈艳）的盗窃发生率，它的作用主要是使守卫可以更多地偷懒齐威王田忌赛马10/23/202356博弈论（陈艳）古代齐威王与大将田忌赛马，田忌的谋士孙膑运用计谋帮助田忌以弱胜强。比赛规则：田忌与齐威王各出三匹马，一对一比赛三场，每一场的输方要赔1000斤铜给赢方。双方的马按实力都可以分为上、中、下，但齐威王的上、中、下均优于田忌的上、中、下。实际上，田忌的上马、中马要优于齐威王的中马、下马。比赛结果：田忌连输三场；后孙膑建议，以上对中、以中对下、以下对上，结果以2：1赢得比赛。前述为单方面运用策略的故事，如果齐威王预料到田忌的做法，必然会改变各匹马出场的次序。本博弈中博弈双方的利益是完全对立的，是严格竞争的零和博弈，不会有纯策略纳什均衡，必然是一个混合策略均衡。假设齐威王采取六种战略的概率分别为

pa,pb,pc,pd,pe,pf（加总为1）,则田忌采取六种战略的期望得益相等，则得出齐威王与田忌均以1/6的相同概率随机选择各自的六个纯策略，构成本博弈唯一的混合策略纳什均衡。10/23/202357博弈论（陈艳）齐威王田忌赛马上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下3，-31，-11，-11，-1-1，11，-1上下中1，-13，-31，-11，-11，-1-1，1中上下1，-1-1，13，-31，-11，-11，-1中下上-1，11，-11，-13，-31，-11，-1下上中1，-11，-11，-1-1，13，-31，-1下中上1，-11，-1-1，11，-11，-13，-310/23/202358博弈论（陈艳）齐威王田忌齐威王田忌赛马齐威王田忌赛马10/23/202359博弈论（陈艳）在上述混合策略下，齐威王的期望得益为

1/6（3+1+1+1+1-1）=1；田忌的期望得益为1/6（1-3-1-1-1-1）=-1，即多次进行这样的赛马，齐威王平均每次能赢田忌1000斤铜，这是因为齐威王三匹马的总体实力略胜田忌三匹马总体实力的缘故1.4-3混合策略反应函数10/23/202360博弈论（陈艳）将博弈方的策略空间扩展到包括混合策略，将纳什均衡扩展到包括混合策略纳什均衡以后，求纳什均衡反应函数的分析方法也可以扩展到求混合策略纳什均衡。反应函数即一博弈方对另一博弈方每种可能的决策内容的最佳反映决策构成的函数。在纯策略的范畴内，反应函数是各博弈方选择的纯策略对其他博弈方纯策略的反应。在混合策略的范畴内，博弈方的决策内容为选择概率分布，反应函数就是一方对另一方的概率分布的反应。掷硬币支付

2正面反面1正面-1，11，-1反面1，-1-1，110/23/202361博弈论（陈艳）q1-qp1-pq10/23/202362博弈论（陈艳）01/21p11/2p1=f(q)q2=f(p)当2出正面的概率q<1/2，1出正面的概率为1，因为他出正面得到的预期收益大于他出反面；当

2出正面的概率

q>1/2，1出正面的概率为0，因为他出反面的期望收益大于他出正面。第五节 纳什均衡的存在性与多重性10/23/202363博弈论（陈艳）占优均衡重复剔除占优均衡纯战略纳什均衡混合战略纳什均衡10/23/202364博弈论（陈艳）不同均衡概念之间的关系纳什均衡的存在性每个有限战略式博弈（参与人与战略数目均为有限）都有纳什均衡存在，这均衡有可能是混合战略均衡纳什均衡的多重性纳什均衡不唯一，如性别战10/23/202365博弈论（陈艳）案例 性别战p10/23/202366博弈论（陈艳）1-pq1-q支付 丈夫妻子时装足球时装2，10，0足球0，01，3性别战：混合策略均衡10/23/202367博弈论（陈艳）给定妻子分别以q,1-q的概率选择时装、足球，则丈夫选择时装、足球的期望收益相等，即1.q+0.(1-q)=0.q+3.(1-q)，解得妻子选择时装、足球的概率分别为（3/4，1/4）给定丈夫分别以p,1-p的概率选择时装、足球，则妻子选择时