2020年中考数学一次函数压轴题训练(含答案)

2020年中考数学一次函数压轴题训练

【名师精选全国真题，值得下载练习】

1.建立模型：如图1,已知,AC=BC,ZC=90°,顶点C在直线I上

图1图2

(1)操作：

过点A作A。J_/于点D,过点B作BELI于点E.求证：△C4O名ABCE.

(2)模型应用：

①如图2,在直角坐标系中，直线/：y=3x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,将

直线/绕着点A顺时针旋转45。得到直线m.求直线m的函数表达式.

②如图3,在直角坐标系中，点8(4,3),作BAL轴于点A，作BCLx轴于点C,

P是直线BC上的一个动点，点Q(a,5a-2)位于第一象限内.问点A、P、Q能

否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，

请说明理由.

图3备用图

2.如图，一次函数y=4x+充图象/］分别与x,y轴交于A,B两点，正比例函数的图

象2与八交于点C(加，4).

(1)求他的值及，2的解析式；

(2)若点。在x轴上，使得SADOC=2sABOC的值，请求出D点的坐标；

(3)-次函数y=kx+\的图象为h，且/),/2A不能围成三角形，则k的值为.

3.【模型建立】

如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90。，CB=CA,直线ED经过点C,过A

作ADLED于点，过8作BELED于点E.

求证：4BEgACDA;

【模型应用】

①已知直线/1：y=去+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线/,绕着点A逆时

针旋转45。至直线b，如图2,求直线h的函数表达式；

②如图3,在平面直角坐标系中，点B(8,6),作山人轴于点A，作BC±x轴于

点C,是线段BC上的一个动点点Q是直线y=2x-6上的动点且在第一象限内问

点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时

点Q的坐标，若不能，请说明理由.

4.如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过8地.甲

车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发.当乙车到达B地时，甲车与B地相

距当加设甲、乙两车与B地之间的距离为，为(km),垃(而)，乙车行驶的时间

为X(力)，月，N2与X的函数关系如图②所示.

(1)A,8两地之间的距离为k,n；

图①图②

5.已知，一次函数的图象与x轴、)，轴分别交于点人点8,与直线)，令

相交于点C.过点B作x轴的平行线/•点P是直线I上的一个动点.

(1)求点A,点B的坐标.

(2)若S&AOC=S&BCP,求点P的坐标.

(3)若点£是直线了=条上的一个动点，当AAPE是以AP为直角边的等腰直角三

4

角形时，求点E的坐“标.

如图1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，CB=C4,直线ED经过点C,过A

作A£>_LE。于。，过8作BELED于E.求证：&BEg/\CDA；

（2）模型应用：

①如图2,一次函数y=-2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为

腰在第一象限内作等腰直角三角形A8C,则C点的坐标为（直接写出结果）

②如图3,在aASC和△£>（：口中,CA=CB,CD=CE,NCAB=/CED=45°,连接

BD、AE，作CMLAE于M点，延长MC与8。交于点N,求证：N是8。的中点.

8.水资源透支现象令人担忧，节约用水迫在眉睫.针对居民用水浪费现象，重庆市政

府和环保组织进行了调查，并制定出相应的措施.

(1)针对居民用水浪费现象，市政府将向每个家庭收取污水处理费，按每立方米1

元收费.此外，市政府还将向市民收取自来水费，收费标准为：规定每个家庭每月的

用水量不超过10立方米，则按每立方米2.5元收费；超过10立方米的部分，按每立

方米3.2元收费.若我市某家庭某月用水量为x立方米，产生的污水量也为x立方米,

则这个家庭在该月应缴纳的水费(包括污水处理费)也为多少钱？(用含x的代数

式表示)

(2)在近期由市物价局举行的水价听证会上，有一代表提出一新的水价收费设想：

不再收取污水处理费，每天6:00至22:00为用水高峰期，水价可定为每立方米4

元；22：00至次日6：()0为用水低谷期，水价可定为每立方米3.2元，若某家庭高低

峰时期都有用水，且高峰期的用水量比低谷期多20%.设这个家庭这个月用水低谷

期的用水量为y立方米，请计算该家庭在这个月按照此方案应缴纳的水费也为多少

钱？（用含）的代数式表示）

（3）若某三口之家按照（1）问中的方案与（2）问中的方案所交水费都为392元,

请计算表示哪种方案下的用水量较少？

9.已知：在平面直角坐标系中，直线v=事+4与x轴交于点A,与y轴交于点8,点C

是A-轴正半轴上一点,AB^AC,连接BC.

（1）如图1,求直线8c解析式；

（2）如图2,点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP=须，连接PQ.若点Q

的横坐标为tZPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；

（3）如•图3,在（2）的条件下，点E是线段0A上一点，连接BE，将沿B>E

翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点〃处，点尸在「轴上点H上方EH=FH,连

接“并延长交8C于点G,若8G=¥AP,连接PE,连接PG交8E于点T,求

BT长.

10.为加大环境保护力度，某市在郊区新建了A、8两个垃圾处理厂来处理甲、乙两个

垃圾中转站的垃圾.已知甲中转站每日要输出1（）（）吨垃圾，乙中转站每日要输出80

吨垃圾A垃圾处理厂日处理垃圾量为70吨产垃圾处理厂日处理垃圾量为110吨.甲、

乙两中转站运往A、6两处理厂的垃圾量和运费如下表.

垃圾量（吨）运费（元/吨）

甲中转站乙中转站甲中转站乙中转

站

力垃圾处理厂X________2_40180

B垃圾处理厂______10+x250160

(1)设甲中转站运往A垃圾处理厂的垃圾量为x吨，根据信息填表；

(2)设总运费为y元，求总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式，并写出x的取

值范围；

(3)当甲、乙两中转站各运往A、B两处理厂多少吨垃圾时，总运费最省？最省的

总运费是多少？

11.一条笔直的公路上有甲、乙两地相距2400米，王明步行从甲地到乙地，，每分钟走

96米，李越骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地设他们同时出发,

运动的时间为“分)，与乙地的距离为S(米)，图中线段EF，折线OABD分别表示

两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象

(1)李越骑车的速度为米/分钟；F点的坐标为；

(2)求李越从乙地骑往甲地时，s与，之间的函数表达式；

(3)求王明从甲地到乙地时，s与7之间的函数表达式；

(4)求李越与王明第二次相遇时:的值.

12.如，图，A,8是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+b过点8,与.r轴交于

点C.

(1)求A,8,C三点的坐标；

(2)点。是折线A-B-C上一动点.

①当点。是A8的中点时，在.V轴上找一点E,使ED+EB的和最小，用直尺和圆规

画出点E的位置(保留作图痕迹，不要求写作法和证明),并求E点的坐标.

②是否存在点D,使△AC。为直角三角形，若存在，直接写出。点的坐标；若不存

在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，过点8(6,0)的直线AB与直线0A相交于点A(4,

2).

(1)求直线AB的函数表达式；

(2)若在y轴上存在一点M,使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标；

(3)在x轴，上是否存在点N,使△AON是等腰三角形?如果存在，直接写出点N的

14.如图，A,B两地相距30千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，乙在甲出发1

小时后9奇摩托车从A地前往B地，图中的线段OR和线段MN分别反映了甲和乙所

行驶的路程s(千米)与行驶时间，(小时)的函数关系.

请根据图象所提供的信息回答问题：

(1)两人的相遇地点与A地之间的距离是千米；

(2)乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时快千米；

(3)求出甲所行驶的路程s(千米)与行驶时间”小时)的函数关系式，并写出?

15.【模型建立】

(1)如图1,等腰RtAABC中,ZACB=90°,C8=C4,直线ED经过点C,过点A

作AD±ED于点D,过点B作BELED于点E,求证：ABEC丝△CD4;

【模，型应用】

(2)如图2,已知直线/］：)，=-1r+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线八

绕点A逆时针旋转45。至直线12；求直线12的函数表达式；

(3)如图3,平面直角坐标系内有一点8(3,-4),过点8作轴于点A、BC

,轴于点C,点P是线段AB上的动点，点D是直线y=-2x+1上的动点且在第四

象限内.试探究△CP。能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能,

请说明理由.

参考答案

1.)8：(1)VZACB=90°,

ZAC£>+ZBC£=90o

,：ADLl,BEA.I,

：.ZADC=NCEB=90°,

：.ZACD+ZDAC=900,

：.ZDAC=NECB

•.•在△£>AC和AECB中，ZADC=NCEB,ZDAC=NECB,AC=CB

二ADAC^AECB(A4S);

图1

(2)过点B作BC±BA,交直线l2于点C,过点C作CDA.x轴于点D.

由直线l：y=3x+3与Y轴交于点A,与x轴交于点B,

可求点A坐标为(0,3),点8坐标为(-1,0),.・.AO=3,08=1.

由aOC8g△084可得，£>C=08=1,=0A=3,

•••点。的坐标为(-4,1)

设直线，〃的解析式为：y=H+b,把（o,3）,（-4,1）代入，

求得y卷x+3.

(3)如图3,由可得AE=Q/,3-(5a-2)=4-a,

如备用图，由AAEQ丝△QFP可得AE=QF,（5a-2）-3=4-。，

2.解：（1）把C（加，4）代入一次函数y=-呆5,可得

解得m=2,

•••C(2,4),

设h的解析式为y=ax,贝(I4=2a,

解得。=2,

；•2的解析式为＞'=2.r;

(2)过0作COLA。于。，CE_LBO于E,贝［|CD=4,CE=2,

在y=--1-.r+5中，令尤=(),则y=5；令y=(),则x=10,

.*.A(10,0),B(0,5),

：.AO=10,80=5,

*：S&D0C=2S4B0C,

.,.-|O£)X4=2X-A-X5X2,

：.OD=5,

，。点的坐标为(5,())或(-5,())；

(3)一次函数,丫="+1的图象为/3,且h,，2,，3不能围成三角形,

二当b经过点C(2,4)时，仁称;

当/2,，3平彳亍时，％=2；

当11,/3平行时,％=-/；

故k的值为梳或2或

故答案为•!■或2或弓.

3.解：(1)证明：♦.'△ABC为等腰直角三角形•••CB=C4

又,BELEC

：.ZD=NE=9Q°NACD+NBCE=180°-90°=90°

又ZEBC+NBCE=90。

，ZACD=ZEBC

在"C。与ACBE中,

ZD=ZE,ZACD=ZEBC,CA=BC,

：./\ACD^/\CBE(AAS)；

(2)过点8作8CLA3交/2于C,过C作CD_Ly轴于D,

：NBAC=45°

AABC为等腰RtA

由(1)可知：

：.BD=AO,CD=OB

..,4,

•11'y=rx+4,

o

y=0rX=-3

.♦.A(-3,0),x=0,y=4

4)

：.BD=AO=3,CD=OB=4

••・00=4+3=7.

••.C(-4,7),

直线/2表达式中的女为：-7,点C(-4,7),

则/2的解析式：丫=-7x-21;

(3)如下图，设点。(m,2m-6),

当/AQP=90。时，

由(1)知，△AMQg/SQNP(AAS),

.".AM=QN,即|8-m\=6-(2m-6),

解得：加=4或等,

故：Q(4,2),翁,争).

4.解：(1)A,B两地之间的距离为20km.

故答案为：20；

(2)乙车的速度为：204-1=120(km/h),

0

甲车的速度为：警+4=1()。(如?//，)，

36

甲比乙早出发的时间为：20-100=0.2(/z),

相遇前：(20+10()x)-120x=5,解得x=0.75；

相遇后：120x-(20+100%)=5,解得i=1.25;

答：当x为().75或1.25时，甲、乙两车相距5km.

5.解：(1)一次函数y=-条+6的图象与x轴、y轴分别交于点4点8,

则点48的坐标分别为：(8,01(0,6);

(2)联立y=-条+6、y=4并解得：x=3,故点C(3,学)，

444

X8x*15=S“CP=1XBPx（yP-yC）=gxBPx（6-乎）,

24224

解得：8P=萼，

故点P（等,6）或（-岑,6）

⑶设点―点小，6);

①当/£出=90。时，如左图，

'：ZMEP+ZMPE=90°,ZMPE+ZNPA=90°,

：.ZMEP=ZNPA,AP=PE,'：△EMPmAPNA（AAS）,

贝[]ME=PN=6,MP=AN,

R

即・川=6,—m-6=8・/i,

4

解得：m-察或16,

y

故点E（鲁，挈）或（14,雪）；

②当NEAP=90。时，如右图,

同理可得：XAMP叁l\ANE（AAS）,

椒MP=EN,AM=AN=6,

BP-y/n=n-8,|8-/n|=6,解得：，〃=2或14,

4

故点£（2,擀）或（16,20）;

上，E（号，陪）或（14,零）或;（2,%或（16,20）.

6.解：(1)在y=x+4中,

令x=0,得y=4,

令y=0/"=-4,.•*(-4,0),8(0,4).

把8(0,4-)代入，y=-2x+b,

得b=4

•••直线BC为：y=-2x+4.

在y=-2r+4中,

令y=o,得X=2,

••.C点的坐标为(2,());

(2)如图点£为所求

点。是A8的中点，A(-4,0),8(0,4).二。(-2,2).

点B关于x轴的对称点Bi的坐标为(0,-4).

设直线DB｝的解析式为y=kx+b.

把0(-2,2),61(0,-4)代入一次函数表达式并解得：

故该直线方程为：y=-3x-4.

图1

（3）存在，。点的坐标为（-1,3）或昼，孕）.

00

①当点。在A8上时，由OA=OB=4

得到：/A4c=45。，

由等腰直角三角形求得。点的坐标为（7,3）；

②当点。在BC上时，如图，设AO交y轴于点F.

在AAOF与ABOC中，NFAO=NCBO,ZAOF=ZBOD,AO=BO,

：./\AOF^^BOC(ASA).：.OF-OC-1.

•••点尸的坐标为(()，2),

易得直线AD的解析式为y=1x+2,与y=-2x4-4组成方程组并解得:

x二言，，交点D的坐标为('—,.

D00

7.W：(1)LADLED,BE上ED,

AZD=Z£=90°,ZACD=ZCAD=90°f

・・・ZACB=90°t

AZACD=ZBCE=90°1

：.ZBCE=ZCAD,

在△3EC和△CD4中

rZE=ZD

-ZBCE=ZCAD,

CB=CA

，△BECWXCDA(AAS);

(2)①根据题意可得点C的坐标为C(4,6)或C(6,2);

故答案为:C(4,6)或C(6,2);

②如图，作BP1MN交MN的延长线于P，作DQ1MN于Q

'：NBCP+/BCA=ZCAM+ZAMC,

'：ZBCA=ZAMC,

：.ZBCP=/CAM,

在4cBp与"CM中,

rZBPC=ZAMC

<ZBCP=ZCAM,

,AC=BC

...△CBPQAACM(AAS),

：.MC=BP,

同理，CM=DQ,

：.DQ=BP

在ABPN与&DQN中,

rZBNP=ZDNQ

<ZBPC=ZDQN,

,BP=DQ

4BPN沿/XDQN(AAS),

：.BN=ND,

是的中点.

8.解：(1)用水量不超过10立方米，应缴纳的水费W|=2.5x+x=3.5x,

用水量超过10立方米，应缴纳的水费电=2.5x10+3.2(x-10)+x=4.2x-7;

(2)用水低谷期的用水量为y立方米，则用水高峰期的用水量为(1+20%)y=1.2y

(立方米)，

卬2=3.2y+4x(1+20%)y=8y;

(3)♦.•392+10=3.92(元)，

•••用水量超过10立方米，

4.2x-7=392

解得尤=95;

8y=392,

解得：y=49,

•••l.2y=58.6(立方米)

49+58.6=107.6

V107.6>95

•••问题(2)中的方案下的用水量较少.

9.解：(1)由已知可得A(-3,0),8(0,4),

/.OA=3,OB=4,

•'-AB=A/OA2+OB2=V9+16=5,

'：AB=AC,

.•.AC=5,

•"(2,0),

设8c的直线解析式为y=辰+6,

将点8与点C代入，得

{0=2k+b

I4=b'

.fk=-2

"lb=4,

ABC的直线解析式为y=-2x+4;

(2)过点Q作MQLy轴，与y轴交于点M,过点。作QELAB,过点C作CF_L

：.MQ=t,

'JMQ//OC,

.MQQC

*'BQ'BC1

.t_2

"BQ"275'

BQ=,

'：AP=BQ,

:.AP=A,

'：AB=5,

：.PB=5-辰,

在等腰三角形ABC中,AC=AB=5,BC=2y/s,

,：—ABxCF=—ACxOB,

22

:.CF=0B=4,

'：EQ//CF

..，EQ京_V5t

：.EQ=2t,

•••S=/X2tx(5-匹)=-V5t2+5t(0<^<2);

(3)如图3,

•.•将沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处,

：.AH=AB=5,AE=EH,

：.OH=BH-OB-1,

'：EH2=EO^+OH2,

：.AE^-（4・AE）2+1,

5

：.AE=—=EH,

3

4

"OE=~3'

・•・点E（・告，0）

o

5

9：EH=FH=—,

3，

2

・・.OF=—

3

点尸（0,日）

o

.♦•直线斯解析式为y=54，

直线BE的解析式为：y=3x+4,

-2x+4=A1r+—9,

23

..,x=一4,

3

・・•点G（等,等）

oo

•••必席一0）2+祟4产=基

'：BG=-^-AP,

3

：.AP=1,

设点P（“，,a+4）

O

••]=^（a+3）+（~^-a+4_0）2

._12

・・〃二-f，

b

，点P（■栏,卷），

二直线PG的解析式为：），=1r+|,

3x+4=-A+—,

77

Ax=-1,

.••点7(-1,1)

BT=V(-l-O)2+(l-4)2=VW

10.解：(1)甲中转站运往A垃圾处理厂的垃圾量为x吨，则甲中转站运往8垃圾处理

厂的垃圾量为(100-x)吨，

乙中转站运往A垃圾处理厂的垃圾量(7()-x)吨，乙中转站运往B垃圾处理厂的垃

圾量(10+x)吨；

故答案为：(70-x);(10()-x);

(2)依题意有y=240x+250(100-x)+180(70-x)+160(10+r)=-30x+39200

(OS烂70).

(3)在上述一次函数中，k=-30<0,所以y的值随x的增大而减小.所以当x=

70时，总运费y最省，最省的总运费为37100・元.即甲中转站运往A处理厂70吨垃

圾，运往8处理厂30吨垃圾，乙中转站运往B处理厂80吨垃圾.

II.解：(1)由图象可得，

李越骑车的速度为：2400+10=240米/分钟，2400-96=25,所以尸点的坐标为(25,

0).

故答案为：240;(25,0)；

(2)设李越从乙地骑往甲地时，s与/之间的函数表达式为s=kt,

2400=10%,得2=240,

即李越从乙地蔚往甲地时，s与/之间的函数表达式为$=240/,

故答案为：s=240/;

(3)设王明从甲地到乙地时，5与f之间的函数表达式为s=灯+2400,根据题意得，

25H2400=0,

解得女=-96,

所以王明从甲地到乙地时，5与「之间的函数表达式为：s=-96x+2400;

(4)根据题意得，240(r-2)-96/=2400,

解得f=20.

答：李越与王明第二次相遇时/的值为20.

12.解：(1)在y=x+4中，

令x=o,得y=4,

令y=o，得-4,

.♦.A(-4,0),^(0,4).

把噌(0,4)代入y=-2x+b,

得。=4

•••直线8c为:>■=-2x+4.

在y=-2x+4中,

令y=。,得x=2,

•••C点的坐标为(2,0)；

(2)①如图

•••点。是A8的中点，A（-4,0）,8（0,4）.

二。（-2,2）.

点B关于x轴的对称点切的坐标为（0,-4）.

设直线De的解析式为y=kx+b.

把。（-2,2）,为（0,-4）代入，得［-2k：b

lb=-4

解得k=-3,b=-4.

故该直线方程为：y=-3X-4.

令y=o,得E点的坐标为（誉，0）.

②存在，。点的坐标为（-1,3）或（言，警）.

DD

附：当点。在A8上时，由OA=OB=4得至I」：ZBAC=45°,由等腰直角三角形求得

。点的坐标为（7,3）；

当点。在BC上时，如图，设A。交y轴于点

在AA。下与ABOC中,

，ZFAO=ZCBO

<AO=BO

,ZAOF=ZBOC

...AAOF^ABOC(ASA).

：.OF=OC=2,

•••点尸的坐标为(0,2),

易得直线AD的解析式为y=1X+2,与y=-2X+4组成方程组y节*2,

y=-2x+4

(4

X：T

解得-

12

...交点D的坐标为(言，跆).

0D

13.解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,

把4(4,2),8(6,0)代入得：If，",解得：卜;1,

(0=6k+blb=6

工直线AB的表达式为y=-x+6;

(2)作点8(6,())关于y轴的对称点B',

：.B'(-6,0),

~B\x

连接AB'交)•轴于M,此时MA+MB最小，

设直线A8的解析式为y=mx^n,

,1

仁4r，解得：

将A(4,2),8(・6,0)代入得：

l0=-6m+n6

n"5

.♦•直线AB的解析式为：y=94，

D0

当x=0时，y=-1-,：.M(0,);

(3)存在，理由：

设：点N(%()),点4(4,2),点0((),0),

则AO2=20,AN2=("「4)2+4,ON2=m2,

①当AO=4N时，20=(,”-4)2+4,

解得：m=8或0(舍去0);

②当AO=ON时，同理可得：ni=±2泥；

③当AN=ON时，同理可得：，〃=I"；

故符合条件的点N坐标为：(-2遍，0)或(2代，0)或(8,0)或(•!，()).

14.解：(i)由图象可知两人的相遇地点与A地之间的距离是2()千米.

故答案为：20

(2)乙骑摩托车的速度是20-(2-1)=20,即速度是每小时20千米；

甲骑自行车的速度是20-2=10,即速度是每小时10千米，

二乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时快10千米.

故答案为：10；

(3)设甲所行驶的路程s(千米)与行驶时间，(小时)的函数关系式为s=々(咛。).

把(2,20)或(3,30)代入s=M,得

30=3火.

:.k=10.

因此，甲所行驶的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式为S=10g

r的取值范围为0/3.

,：ADLED,BELED,

AZADC=ZCEB=90°,

XVZACD+ZACB+Z8EC=180°,/AC8=90°,

ZACD+ZBEC=90°,

又YZACD+ZDAC=90°,

：.ZDAC=NECB,

在△CD4和△/?&?中,

，ZADC=ZCEB

<ZDAC=Z