初中数学勾股定理填空题训练

初中数学勾股定理填空题专题训练

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一、填空题（共22题）

1、如图，在A/BC中，AC=BC,乙4c8=90。，以点A为圆心，43长为半径画弧，交AC

CE

延长线于点D,过点。作CEHAB,交筋于点E,连接BE,则版的值为

2、若3,4,a和5,b,13是两组勾股数，则a+力的值是.

3、下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角&BC，而走“捷径

AC-,于是在草坪内走出了一条不该有的“路力.已知力3=40米，BC=30米，只

为少走米的路.

4、已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm,则第三边上的高为.

5、一个三角形的两边的长分别是3和5,要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的

长为.

6、已知A/BC中，AB=13,AC=15,AD1BC于D,且AD=12,则BC=

7、在AAABC中，ZACB=90°,且c+a=9,c-a=4,贝|Jb=.

8、如图一个圆柱，底圆周长10cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点,

则最少要爬行cm.

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方

形的边长为7cm,正方形4,B,。的面积分别是8c/"10c®2,14c以,则正

方形D的面积是cm2.

10、已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为.

11、如图，ZC=ZABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,则AD=

12、如图，有一四边形空地ABCD,AB±AD,AB=3,AD=4,BC=12,

CD=13,则四边形ABCD的面积为.

13、如图，在d4及3中，50=13,过点A作4_LQC于点E,AE=12,EC=W,则

AB=________

14、如图，W是。。的直径，弦8U8于点E,8=10,BE=2,则Q。的半径

OC=.

15、如图，在Rt△加。中，447=90。，D,£分别是AB,8c的中点，连接AE,

DE=-9AE=—15_

DE,若2,2,则点A到BC的距禺是.

16、如图，已知正方形ABCD边长为1,E为AB边上一点，以点D为中心，将

AE_2

按逆时针方向旋转得GCF,连接EF,分别交BD,⑦于点〃，N.若丽=5,则

smZ.EDM=.

17、如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为

18、在菱形/腼中，AB=5,BD=8,P为对角线切上的一个动点，过点尸分

别作A9、4?边的垂线，垂足分别为£、/两点，连接"，炉，则"+所=

19、如图，已知每个小方格的边长均为1,则08C与△(7%的周长比为

20、如图，折叠矩形纸片ABCD,使点△的对应点£落在⑦边上，掰为折痕，已知

A8=6,夙7=10.当折痕掰最长时，线段掰的长为.

21、如图，已知正方形如CQ的边长为6，点厂是正方形内一点，连接WDF,且

乙4QF=NDCF,点£是就边上一动点，连接阳即，则期+E尸长度的最小值为

22、已知菱形加⑺的面积为2柩，点£是一边8c上的中点，点户是对角线8。上的

动点.连接AE,若熊平分N班C,则线段PE与产。的和的最小值为,最大

值为.

_________余老效室=________—

一、填空题

在

1、2.

【分析】

连接AE,过作AFA.AB,延长EC交AF于点、F,过£作EGJL8C于点G,设AC=

旦

a,求出〃=2°,由勾股定理求出CE,再由勾股定理求出BE的长即可得

到结论.

【详解】

解：连接AE,过作AFLAB,延长EC交AF于点F,过E作比，a'于点G,如

图，

设/C=8C=a,

・.・乙4cB=90。

?.AB==42a,4CAB=ZC&4=450

・・.AS=^/2a,ZCAF=A5°

CEf/AB

.・.ZECB=ZCBA=45°

・.・乙4cB=90。

ZACF=45

；.ZAFC=90°

AF=CF=—AC=—a

：.22

34.

,_i,—a+x

设"=x，则"=2

在XY△力在'中，AF2+EF2=AE2

.除尸+（争+x）、（虎4

V6-V2-V6-V2

解得，L2,2’（不符合题意，舍去）

CH_"-0~~

=------a

：.2

・.・Z5C5=45°,ZSGC=90°

ZC£G=45°

CG=GE=—CE———■x----a-—以

2222

nr刀—-13-\/3

BG=BC-CG=a--------a=---------a

22

在Rt丛BGE中，B（^+GE2=BE2

BE="与J旦尸=（昌l）a

a

CE_2_y[2

'BE~r

故答案为：2.

【点睛】

此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出

辅助线构造直角三角形是解答此题的关键.

2、17

【详解】

解：V3,4,a和5,b,13是两组勾股数，Z.a=5,8=12,a+b=ll.故

答案为17.

3、20

【分析】

先用勾股定理求出AC的长，然后再求出少走的路即可.

【详解】

解：在RtAABC中，AB=40m,BC=30m,则：AC=V302+402=50m

所以少走的路为40+30-50=20m.

故答案为20.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，弄清题意灵活运用勾股定理是解答本题的关键.

4、4.8cm

【分析】

先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解.

【详解】

解：如图，在RtA46。中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,CDLAB,

则AB=^AC2+BC2=10(cm),

,SVA£C=^ACgBC=^AB^D

得6x8=,解得CD=4.8(cm).

故答案为4.8cm.

【点睛】

本题考查了勾股定理和用直角三角形的面积求斜边上的高的知识，属于基础题型.

5,4或取

【详解】

解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：3?+52=34；

②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42,

故答案是：4或取.

6、14或4

【详解】

：(1)如图，锐角AABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在RtAABD中AB=13，AD=12,由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=132-122=25，

.\BD=5,

在RtAABD中AC=15,AD=12,由勾股定理得

CD2=AC2-AD2=152-122=81,

.*.CD=9,

ABC的长为BD+DC=9+5=14；

(2)钝角△ABC中，AB=13，AC=15,BC边上高AD=12，

在RtAABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=132-122=25，

.\BD=5,

在RtAACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD2=AC2-AD2=15z-122=81，

.*.CD=9,

ABC的长为DC-BD=9-5=4.

故答案为14或4.

7、6

【详解】

因为b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=9X4=36,所以b=6,故答案为6.

8、百

【详解】

把圆柱展开后如图所示，则AC=5,BC=4，根据勾股定理得AB2+BCW5?+42

=25+16=41,所以AB=与，故答案为标.

B

/

/

/

/

/

/

✓

✓

✓

C_________________

9、17

【详解】

试题解析：根据勾股定理可知，

==

YS正方形।+S正方形2S大正方形49，

=

S正方形C+S正方形DS正方形2，

S正方形A+S正方形B=S正方度1，

S大正方形=S正方形c+S正方形D+S正方彩A+S正方形B=49.

正方形D的面积=49-8-10-14=17(cm)

10、5或万

【详解】

试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论:

①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：打1=木;

②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=

/.第三边的长为：/或5.

考点：1.勾股定理；2.分类思想的应用.

11、13

【详解】

分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长.

详解：在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,

根据勾股定理，得AB=^C2+5C2=742+32=5.

在RtAABD中,BD=12,

根据勾股定理，得AD=J加+»3+12』3.故答案为13.

点睛：本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键.

12、36

【分析】

先根据勾股定理求出BD,进而判断出4BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四

边形ABCD的面积.

【详解】

如图，连接BD,

在RtAABD中，AB=3，DA=4，

根据勾股定理得，BD=5，

在4BCD中，BC=12,CD=13,BD=5,

ABC2+BD2=122+52=132=CD2,

/.△BCD为直角三角形，

••S四地形ABCO=SAABD+SABCD

=2AB-AD+2BC-BD

=2X3X4+2X12X5

=36

故答案为：36.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出4BCD是直

角三角形.

13、15

【分析】

因为四边形加8是平行四边形，所以AB=CD,AD=BC,在及△40后中，求出）的长,

即可算出CD=DE+CE=RB的长.

【详解】

解：••・四边形耶⑺是平行四边形，

..AB=CD,AD=BC=13

•.•过点A作4_LQC于点E,AE=12,EC=10,

在RtLADE中，DE=JAD1-AS1=g-12?=5,

■：DC=DE+CE=5+10=15.

A5=15,

故答案为：15.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理解三角形，掌握平行四边形的性质是解题的关

键.

29

14、~4

【分析】

设半径为r,则℃=OB=r,得到―,由垂径定理得到CE=5,再根据勾股定理，

即可求出答案.

【详解】

解：由题意，设半径为r,

则OC=OB=r,

'：BE=2,

OE=r-2,

45是。。的直径，弦SUB于点E,

.•.点E是CD的中点，

•；CD=10,

CE=W=5

2,

在直角AOCE中，由勾股定理得

OC2=CE2+OE2,

即户=52+9-2)2,

_29

解得：r=T.

29

故答案为：彳.

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题.

36

15、T

【分析】

根据题意可求得AC.AB.BC的长度，设点A到BC的距离是h,由RtZk/C的面积

-•AB»AC=-»BC»h

相等可列式22,从而点A到BC的距离即可求解.

【详解】

9

解：•.•在RtAlSC中，ZBAC=90°,D,£分别是8c（的中点，""=5,

水7=9,DE//AC,

AZBDE=ZBAC=90°,

AZADE=90°

AD=JAE2-DE2=6

:.AB=2AD=12,

BC=JAB2+AC2=7122+92=15,

设点A到BC的距离是h,

-•AB»AC=-»BC*h

则22

Ixl2x9=」xl5及

即22

A=36

解得：5,

36

.•.点A到BC的距离是T.

36

故答案为：T.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾

股定理和中位线的性质求出各线段的长度.

£

16、5

【分析】

过点A作MJ_劭于尸，将ZEDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的

长，然后用三角函数的定义即可解决.

【详解】

解：：四边形ABCD是正方形，

AB//DC,/A=/BCD=ZADC=90°,

AB=BC=CD=DA=1,BD=^2.

VADAE绕点D逆时针旋转得到△DCF,

:.CF=AE,DF=DE,/EDF=4ADC=90°.

设=CF=2x,DN=5x,

则BE=1-2x,CV=l-5x,BF=l+2x.

AB//DC,

：.LFNC-LFEB.

NC_FC

~EB~7B.

l-5x_2x

/.1-2xl+2x.

整理得，6/+5x-l=0.

解得，弓二-1（不合题意，舍去）.

12

愈=2x=2,EB=,-2x=-

：.33.

DE=JQ+为"=4+（；）=半

过点£作皮，物于点P，如图所示,

设.DP=y,贝！］BP=&-y.

2

EB-8产2=郎2=DE2_Dpi,

2也

V-----------

解得，3.

EP=^E1D-DP,1=

在七△的0中,

理r

sm^EDP=—=-^=^-

即画5s"EDM&

3.即5.

故答案为：5

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函

数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形,

利用锐角三角函数的定义是解题的关键.

17、16近

【分析】

过点A作AELBC,AFLCD,垂足分别为E,歹，证明AABE^ADF,从而证明四边形

ABCD是菱形，再利用勾股定理求出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积

即可.

【详解】

解：过点A作AE1BC,AFLCD,垂足分别为E,F,如下图：

ZAEB=ZAFD=90°

由题意可得：ZABE=ZADF=45°

：.△如£为等腰直角三角形，

二AS=BE

纸条的宽都为4cm

.;AE=AF=BE=4cm

由勾股定理得：3=40cm

ADHCB,AB//CD

：.四边形四8是平行四边形

在'ABE和^ADF中

ZABE=AADF=45°

<乙AEB=4AFD=9S

AE=AF

.・.^ABE^AADKAA^)

：.AB=AD=BC=4也cm,

・•・平行四边形加8为菱形

重叠部分(图中阴影部分)的面积=4^/2x4=1672(cm2)

故答案为160

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，巧作辅助线与证明四

边形ABCD是菱形是解题的关键.

24

18、T/4.8

【分析】

连接力。交劭于点。，连接处，由菱形的性质及勾股定理求得0A的长，再根据

%PAD+S&PAB=S△3即可求得PE+PF的长.

【详解】

连接4。交成于点。，连接必，如图

•；四边形ABCD是菱形

1_

AD==5,OA,LOB,OB=2BD=4

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=ylAB2-OB2=yl52-42=3

*/S&PAD+~S&1AD

-AD^PE+-AB^PF=^-BD^OA

：.222

即5(PS+PF)=24

24

PE+PF=—

：.5

24

故答案为：T.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理及面积，关键是得到面积关系式SAH+S△3=$△皿.

19、2:1

【分析】

设AF.QG分别与BE交于点尸、G,则AFIIDG,可得到乙明G="DG,在网格图中,

利用锐角三角函数值得到乙必尸=AEDG,继而ABAG=乙CDE,可得到ABHDE,证得

LABC-LDEC,然后分别求出49、DE,即可解答.

【详解】

如图,

设融、工分别与物交于点尸、G,贝IJAFIIDG,

：.Z.FAG=Z.CDG,

211

tanZ.BAF=—=—tanZ.EDG=-

*/42,2,

/戚=AEDG,

£BAG=乙CDE,

.・.ABUDE,

AABC~J^DEC,

由图可知：即=7?彳=25，

D£=Vl2+22=-45

ABDE=2^/s:6=2:1,

即“BC与△CD?的相似比为2:1,

"BC与△CD?的周长比为2:1

故答案为：2:1

【点睛】

本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似

比.

34

20、T（或6.8）

【分析】

根据题意确定点£与点〃重合时，折痕徼最长，根据翻折变换的性质得出HE=BH,设

HC=x，则BH=DH=\0-x,在中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用BC-CH

即可求出答案.

【详解】

当点E与点D重合时，GH最长，如图所示，

由折叠可知：BH=HD>

&E)

设HC=x,则BH=DH=10-x,

四边形ABCD为矩形，

=90°,AB=CD=6,

在RtKHD中,

CH)+Ck=DH),

222

：.X+6=(10-X)1

解得：X=3.2,

BH=BC-CH=\0-3,2=—,

：.5

34

故填：T（或6.8）.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它

属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕

最长时£点的位置，根据题意列出方程求解.

21、3而一3

【分析】

根据正方形的性质得到ZADC=90°,推出/DFC=90°，点F在以DC为直径的

半圆上移动，，如图，设CD的中点为0，作正方形ABCD关于直线4〃对称的正方形APGD,

则点B的对应点是P,连接尸。交/，于£,交半圆。于F,则线段FP的长即为BE+

FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

解:Y四边形ABCD是正方形，

/.ZADC=90°,

：.4ADF+乙CDF=90°,

乙ADF-DCF,

：.4DCF*4CDF=90°,

，（DFC=90°,

.•.点尸在以小为直径的半圆上移动，

如图，设CD的中点为0,作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD,则点B的

对应点是P,

连接PO交.AD于E,交半圆。于尸，则线段FP的长即为BE+FE的长度最小值，OF

—3,

VZG=90°,PG=DG=AB=6,

：.OG=9,

/.op=J/冉心=V62+92=3而，

FP=3岳-3,

...BE+FE的长度最小值为3而-3,

故答案为：3而-3.

【点睛】