八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷附答案

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷（附答案）

一、选择题

1.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm,则该直角三角形斜边上

的高为（）

5512

A.-cmB.—cmC.5cmD.—cm

2125

2.如图，每个小正方形的边长为1,4、8、C是小正方形的顶点，则上4BC的

度数为（

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.如图，在中，/C=90。，AB=13,BC=12,则/C等于

A.4B.5C.6D.7

4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形.若正方形/、B、C、。的边长分别是2、4、1、2,则最

大正方形E的面积是（

A.9B.45C.25D.47

5.如图，数轴上的点/对应的实数是一1,点B对应的实数是1,过点B作BC1

48.使BC=1,连接/C,以点/为圆心，4。为半径画弧交数轴于点。，贝1点。

对应的实数是（）1

A.V5-1B.V5+1C.V5_1_I_1_►

-3-2-101123

6.我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据凋髀算经》的记载，勾股

定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”.三国时

代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种

证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

7.已知△/BC中，/C=9°。，若a+/)=14cm,c=10cm,贝1△/BC的

面积是.（）

A.36cm2B.24cm2C.48cm2D.60cm2

8.如图，以RtzkABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若=

“，则图中阴影部分的面积为（）

9.如图，直线上有三个正方形a,c,b,若a,匕的面积分别为1和16,则c的

A.5B.15C.17D.16

10.如图，RtAABO中,4=90°,/。=2,/B=1.以

BC=1,OB为直角边，构造RtZkOBC；再以CD=1,OC为

直角边，构造Rt△OCD；...»按照这个规律，在Rt△。“/中，

点”到。/的距离是()

A2V2Bc3VTU口

・361011

二、填空题

11.平面直角坐标系上有点/(—3,4),则它到坐标原点的距离为—

12.在△ABC中，/。=90。，C—2,则a2+Z)2+c2=

13.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正

方形拼成的，若直角三角形斜边长为2,最短的边长为1,则图中

阴影部分的面积为.

14.在△ABC中，/B=AC=10,BC=16,点。在BC边上，连接4D,若40=

V37，则线段BD的长为.

15.如图，将矩形力BCD沿直线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于

点E,AD=8,AB=4,那么S^BED=.

16.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大的正方形的边长为7cm,则正方形/、B、C、。的面积之和

cm*2

17.如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方

形，这个图形是我国汉代赵爽在注解倜髀算经》时给出的，人们称它为“赵

爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长

直角边为5,短直角边为3,图2中阴影部分的面积为S,那么S的值

18.清代数学家梅文鼎在内股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼

出正方形/BCD的方法证明了勾股定理（如图）.连结CE,若CE=5,BE=4,

则正方形/BCD的边长为.

◎B

19.如图所示，在Rt△ABC中，4=90。，BD平分4BC交/C于点。，且

AB=4,BD=5,则点。到BC的距离为

B

20.我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一

直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽(约公元225年-公元295年)将

勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法

所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形是由两个完全相同的“勾股

形”拼接而成，若a=4,b=6,则长方形的面积为.

21.设直角三角形的两条直角边长分别为a和仇斜边长为c

(1)已知a=12,6=5,求c；

(2)已知a=3,c=4,求b;

(3)已知c=10,匕=9,求a.

22.如图，在中，ZACB=90°,BC=15,AC=20,CD是边上的

高.求:

(1)4B的长；

(2)的面积;

(3)CD的长.

c

23.做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b,斜边为c,

再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证

明勾股定理.

24.勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多,

你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并

写出验证过程.

图一图二

25.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽

象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代

数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释.

(1)如图1,是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式

(2)如图2,在中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以

2△/BC的三边长向外作正方形的面积分别为Si，S2,S3,试猜想S],S2,S3

之间存在的等量关系为

(3)如图3,如果以Rt△4BC的三边长a,dc为直径向外作半圆，那么第(2)问

的结论是否成立？请说明理由.

26.(本小题8.0分)

用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形.它是

美丽的弦图.其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c.

(1)结合图①，求证：a*2+b2=c2；

(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形

ABCDEFGH.若该图形的周长为24,OH=3,求该图形的面积；

(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN,记正方形

PQMN、正方形/BCD、正方形的面积分别为Si、S2、S3,若S]+S2+S3=18,

则S2=

参考答案

1、D；2、B；3、B；4、C；5、/；6、D；7、B；

8、D；9,C；10,B；11、5；12、8；13、4一28;14、

7或9；15、10；16、49；17、16；18、旧；19、3；20、

48

21、解：(1)••・直角三角形的两条直角边长分别为a和九斜边长为c,a=12,b=5,

；.c=Va2+b2=V122+52=13;

(2)、•直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,a=3,c=4,

:.b=Vc2—a2=V42—32=V7;

(3)•••直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,c=10,b=9,

:.a=Vc2—b2=V102—92=V19.

22、解：(1)•••在△/BC中，2cB=90°,BC=15,AC=20,

：-AB=y/BC2+AC2=V152+202=25.

⑵•.•在△ABC中，4cB=90°,BC=15,AC=20,

11

・•・S^ABC=&BC,AC=-x20x15=150.

(3)・・・CD是4B边上的高.

：•S^ABC=548,CD=150.

-x25-CD=150.

2

・・・CD=12.

23、证明：根据题意得，(a+匕>=4x

整理，得a?+2ab+b2=2ab+c2.

所以a?+b2=c2.

24、解：则由图形可知：(a+b)2—4x工出?=a2+炉+2ab—।

2

4x=c2,卜

整理得：。2+匕2=c2.答案不唯一.|

ab

25、解：(l)(a+b)2=a?+2ab+炉；

(2)Si+S2=S3;

(3)成立.

理由如下：设直角三角形两条直角边分别为a,