高考数学B版真题及模拟：函数的基本性质

函数的基本性质A组

自主命题·北京卷题组1.(2014北京,2,5分,0.82)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是

()A.y=

B.y=(x-1)2C.y=2-x

D.y=log0.5(x+1)答案

A

y=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;y=2-x=

为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;因为y=

和t=x+1均为增函数,所以y=

在(0,+∞)上为增函数,故选A.思路分析利用基本函数的性质和复合函数的关系,依次将四个选项中的函数分解成两个简

单函数,根据同增异减来判断单调性.2.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-

,则f(x)

()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案

A本题考查指数函数的奇偶性和单调性.易知函数f(x)的定义域关于原点对称.∵f(-x)=3-x-

=

-3x=-f(x),∴f(x)为奇函数.又∵y=3x在R上是增函数,y=-

在R上是增函数,∴f(x)=3x-

在R上是增函数.故选A.3.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则

()A.

-

>0

B.sinx-siny>0C.

-

<0

D.lnx+lny>0答案

C函数y=

在(0,+∞)上为减函数,∴当x>y>0时,

<

,即

-

<0,故C正确;函数y=

在(0,+∞)上为减函数,∴由x>y>0⇒

<

⇒

-

<0,故A错误;函数y=sinx在(0,+∞)上不单调,当x>y>0时,不能比较sinx与siny的大小,故B错误;当x>0且y>0时,lnx+lny>0⇔ln(xy)>

0⇔xy>1,而x>y>0⇒/xy>1,故D错误.一题多解解决这个问题可用特殊值法,如取x=1,y=

可排除A、D;取x=π,y=

知B错误.故选C.4.(2018北京,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为

假命题的一个函数是

.答案

f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一)解析本题主要考查函数的单调性及最值.根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的

最小值点,且f(x)min=f(0)即可,除所给答案外,还可以举出f(x)=

等.名师点睛函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的.根据题意,本题只要找到一

个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在[0,2]上有唯一的最小值点,而且f(x)min=f(0)即可.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性1.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)

≤1的x的取值范围是

()A.[-2,2]

B.[-1,1]C.[0,4]

D.[1,3]答案

D本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为单调递减函数,且为奇函数,则f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为f

(1)≤f(x-2)≤f(-1),则-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,故选D.2.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是

()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案

A解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是奇函数.又∵当x∈(0,1)时,f'(x)=

+

=

>0,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=ln

=ln

=ln

.∵y=

(x∈(0,1))是增函数,y=lnx也是增函数,∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法三:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln

=ln

.∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0,且(1+x1)·(1-x2)>0,(1+x2)(1-x1)>0,∴0<

<1,∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.评析本题考查函数的单调性与奇偶性的判定以及对数运算法则等基础知识,属容易题.3.(2014课标Ⅱ,15,5分,0.409)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值

范围是

.答案(-1,3)解析∵f(2)=0,f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),又∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2,∴-1<x<3,∴x∈(-1,3).1.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

()A.-50

B.0

C.2

D.50考点二函数的奇偶性与周期性答案

C本题主要考查函数的奇偶性和周期性.∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0,f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4.由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0,令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.方法总结若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(2)f(x+a)=

(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(3)f(x+a)=-

(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.2.(2014课标Ⅰ,3,5分,0.82)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下

列结论中正确的是

()A.f(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数答案

C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇

函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;

对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f

(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.3.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=

(

)A.-2

B.-1

C.0

D.1答案

D由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)

=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又因为

f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.4.(2015课标Ⅰ,13,5分,0.593)若函数f(x)=xln(x+

)为偶函数,则a=

.答案1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(

-x)=xln(x+

),则ln(x+

)+ln(

-x)=0,∴ln[(

)2-x2]=0,得lna=0,∴a=1.1.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则

a,b,c的大小关系为()A.a<b<c

B.c<b<a

C.b<a<c

D.b<c<a考点三函数性质的综合应用答案

C本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时,f(x1)>f(x2)>0,∴x1

f(x1)>x2

f(x2),∴g

(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,

由g(x)在(0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C.解题关键本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得

出大小是比较函数值大小的常用方法.2.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-

),则a的取值范围是

.答案

解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-

),f(-

)=f(

),所以f(2|a-1|)>f(

),所以2|a-1|<

,解之得

<a<

.思路分析利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f(

),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递减即可求得a的取值范围.评析本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合运用.考查指数函数的性质,属中档题.C组

教师专用题组考点一函数的单调性(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=

+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是

.

答案

解析本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.设g(x)=x+

-a,x∈[1,4],则g'(x)=1-

=

,易知g(x)在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)当a≤4时,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.∴a≤4符合题意.(2)当4<a≤5时,|g(x)|max=max{a-4,5-a}=

当

<a≤5时,f(x)max=a-4+a=5⇒a=

(舍去).当4<a≤

时,f(x)max=5-a+a=5,∴4<a≤

符合题意.(3)当a>5时,|g(x)|max=a-4,∴f(x)max=a-4+a=5⇒a=

(舍去).综上,实数a的取值范围为

.1.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是

()A.y=

B.y=|sinx|C.y=cosx

D.y=ex-e-x

考点二函数的奇偶性与周期性答案

D

y=

的定义域为[0,+∞),所以y=

为非奇非偶函数;y=|sinx|与y=cosx为偶函数;令y=f(x)=ex-e-x,x∈R,则满足f(-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数,故选D.2.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f

=

(

)A.

B.

C.0

D.-

答案

A∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sinx-sinx=f(x),∴f(x)的周期T=2π,又∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f

=0,即f

=f

+sin

=0,∴f

=

,∴f

=f

=f

=

.故选A.1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>

时,f

=f

.则f(6)=

()A.-2

B.-1C.0

D.2考点三函数性质的综合应用答案

D当x>

时,由f

=f

可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.易错警示将函数的(局部)对称性与周期性混淆,或者忽略限制的范围,直接代入解析式求f(6)

导致错误.评析本题主要考查了函数的奇偶性、周期性,化归与转化的思想.属中档题.2.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=

(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

答案

B当x≥0时,f(x)=

画出图象,再根据f(x)是奇函数补全图象.

∵∀x∈R,f(x-1)≤f(x),∴3a2-(-3a2)≤1,即6a2≤1,即-

≤a≤

,故选B.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组考点一函数的单调性1.(2018北京石景山一模,2)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为

()A.y=

B.y=-x3C.y=lo

x

D.y=x+

答案

B由定义可知选项A和C都是非奇非偶函数,可排除.D选项在(0,1)上单调递减,在(1,+

∞)上单调递增,可排除.只有B满足条件,故选B.2.(2016北京东城(上)期中)已知函数y=

,那么

()A.函数的单调递减区间为(-∞,1),(1,+∞)B.函数的单调递减区间为(-∞,1)∪(1,+∞)C.函数的单调递增区间为(-∞,1),(1,+∞)D.函数的单调递增区间为(-∞,1)∪(1,+∞)答案

A函数y=

的图象可看作y=

的图象向右平移1个单位得到的,∵y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,∴y=

在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,故选A.3.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式

>0恒成立,则实数a的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

答案

D由题意知函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则

解得a≥

,故选D.4.(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0(x2≠x1),则

()A.f(-1)<f(-2)<f(3)

B.f(3)<f(-1)<f(-2)C.f(-2)<f(-1)<f(3)

D.f(3)<f(-2)<f(-1)答案

D由f(-x)=f(x),得f(x)为偶函数,对于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0,即当x≥0时,f(x)为减函数,则f(3)<f(2)<f(1),易得f(3)<f(-2)<f(-1),故选D.5.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=

在(-∞,+∞)上具有单调性,则实数m的取值范围是

.解析设h(x)=mx2+1,x≥0,g(x)=(m2-1)2x,x<0.①当m>1时,要使得f(x)在(-∞,+∞)上具有单调性,则要满足m2-1≤1,解得-

≤m≤

,故1<m≤

.②当m<-1时,h(x)在[0,+∞)上递减,g(x)在(-∞,0)上递增,所以f(x)在R上不具有单调性,不符合题意.③当m=±1时,g(x)=0,当m=0时,h(x)=1,所以f(x)在R上不具有单调性,不符合题意.④当-1<m<0时,h(x)在[0,+∞)上递减,g(x)在(-∞,0)上递减,对于任意的x<0,g(x)<0,当x→0时,h(x)>0,所以f(x)在R上不具有单调性,不符合题意.⑤当0<m<1时,h(x)在[0,+∞)上递增,g(x)在(-∞,0)上递减,所以f(x)在R上不具有单调性,不符合题意.综上,1<m≤

.答案(1,

]1.(2018北京延庆一模,3)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=

()A.-2

B.0

C.1

D.2考点二函数的奇偶性答案

D由函数f(x)是定义域为R的奇函数,得f(-1)=-f(1)=2,f(0)=0,所以f(-1)+f(0)=2,故选D.2.(2018北京门头沟一模,3)对于函数f(x)=asinx+bx+c(a,b∈R,c∈Z),计算f(1)和f(-1),所得出的正

确结果一定不可能是

()A.4和6

B.3和1

C.2和4

D.1和2答案

D因为f(1)+f(-1)=2c,且c∈Z,故选D.3.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是

()A.y=

B.y=lnx

C.y=tanx

D.y=ex-e-x

答案

D由定义域可得y=

和y=lnx是非奇非偶函数,y=tanx的单调增区间是

,k∈Z,只有D符合,故选D.4.(2018北京西城二模,3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是

()A.y=

B.y=x2

C.y=2|x|

D.y=cosx答案

D

A.y=

是奇函数;B.y=x2在(0,1)上单调递增;C.y=2|x|在(0,1)上单调递增;D.y=cosx是偶函数且在(0,1)上单调递减.故选D.5.(2017北京海淀二模,6)已知f(x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A若x1+x2=0,则x1=-x2,f(x1)=f(-x2)=-f(x2),从而f(x1)+f(x2)=0,故充分性成立;若f(x)=0,则x1=1,x2=2时,f(x1)+f(x2)=0,但x1+x2≠0,故必要性不成立,所以“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x

2)=0”的充分而不必要条件.6.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+∞)上的增函数的是

()A.y=-x3

B.y=2|x|

C.y=

D.y=log3(-x)答案

B易知A中的函数为奇函数,C、D中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函

数,故选B.7.(2017北京平谷零模,2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是

()A.y=x2+1

B.y=|lgx|

C.y=cosx

D.y=ex-1答案

C对于A,函数是偶函数,不存在零点,不正确;对于B,函数不是偶函数,不正确;对于C,既

是偶函数又存在零点,正确;对于D,函数不是偶函数,不正确.故选C.8.(2018北京一七一中学期中,12)若函数g(x)=

是奇函数,则f(x)=

.答案

x+1解析设x<0,则-x>0,结合奇函数的性质可得f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1,故填x+1.考点三函数的值域(2017北京西城二模,2)下列函数中,值域为[0,1]的是

()A.y=x2

B.y=sinx

C.y=

D.y=

答案

D

A选项,y=x2的值域为[0,+∞);B选项,y=sinx的值域为[-1,1];C选项,y=

的值域为(0,1];D选项,当x=0时,y=

的最大值为1,当x=1或-1时,y=

的最小值为0,所以y=

的值域为[0,1].故选D.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:25分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,共35分)1.(2018北京西城期末,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是

()A.y=-x+1

B.y=|x-1|C.y=sinx

D.y=

答案

D本题考查函数的单调区间.A.y=-x+1在区间(0,+∞)上单调递减;B.y=|x-1|可化为y=

所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;C.y=sinx在区间

(k∈Z)上单调递减;D.y=

在区间(0,+∞)上单调递增.故选D.2.(2018北京石景山期末,6)给定函数①y=

,②y=lo

(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是

()A.①④

B.①②C.②③

D.③④答案

C本题主要考查函数的单调性.①由幂函数的性质可得,y=

在定义域内单调递增,故①错误;②由对数函数的性质可知,y=lo

(x+1)在定义域内单调递减,故②正确;③由函数的图象及性质可得y=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故③正确;④由指数函数的性质可得,y=2x+1在定义域上递增,故④错误.故选C.3.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=

,则f(x)的

()A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数C.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是减函数D.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是减函数答案

B∵f(x)=

,f(-x)=

=

=f(x),∴f(x)的图象关于y轴对称.任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,∴f(x1)-f(x2)=

-

=

(

-

),∵x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,∴1-

>0,

-

<0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,故选B.4.(2018北京东城二模,7)已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈

,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是

()A.[-5,0]

B.(-∞,-5]∪[0,+∞)C.(-5,0)

D.(-∞,-5)∪(0,+∞)答案

A由f(x)=log2x,x∈

,得f(x)∈[-1,1].若存在x1,x2∈

,使得g(x2)=f(x1),则g(x)max=g(2)=4+a≥-1,解得a≥-5,g(x)min=g

=1+a≤1,解得a≤0.综上,-5≤a≤0,故选A.解题思路易知函数f(x)=log2x的值域为[-1,1],根据题意可得g(x)的值域是[-1,1]的子集.抓住这

一点本题便可轻松得解.5.(2017北京朝阳期中)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的是

(

)A.y=x2

B.y=x+1C.y=-lg|x|

D.y=-2x

答案

C选项A:记f(x)=x2,其定义域为R,∵f(-x)=(-x)2=x2,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,但y=x2在

(0,+∞)上单调递增,故A不符合题意.选项B:记f(x)=x+1,则f(1)=2,f(-1)=0,∵f(-1)≠f(1),∴y=x+1不是偶函数,故B不符合题意.选项C:记f(x)=-lg|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(-x)=-lg|-x|=-lg|x|,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,当x∈(0,+∞)时,y=-lgx.∵y=lgx在(0,+∞)上单调递增,∴y=-lgx在(0,+∞)上单调递减,故C符合题意.选项D:记f(x)=-2x,则f(1)=-2,f(-1)=-

,∵f(-1)≠f(1),∴y=-2x不是偶函数,故D不符合题意.故选C.6.(2017北京海淀一模,4)设a,b∈R,若a>b,则

()A.

<

B.2a>2bC.lga>lgb

D.sina>sinb答案

B∵a