第02讲 数轴和相反数（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第02讲数轴和相反数1.理解相反数的概念，能正确求出一个数的相反数；2.掌握相反数的性质，并能进行多重符号的化简；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数学结合思想。知识点1：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点2：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）【题型1相反数的概念和表示】【典例1】（2023•舟山模拟）2023的相反数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．±2023【答案】B【解答】解：2023的相反数是﹣2023；故选：B．【变式1-1】（2023•商河县二模）﹣4的相反数是（）A．±4 B．﹣4 C．4 D．【答案】C【解答】解：﹣4的相反数是4．故选：C．【变式1-2】（2023•武汉模拟）数a的相反数为﹣5，则a的值为（）A．﹣5 B． C． D．5【答案】D【解答】解：数a的相反数为﹣5，则a的值为5．故选：D．【变式1-3】（2022秋•荔湾区期末）下列两数互为相反数的一组是（）A．+20和﹣（﹣20） B．+（﹣0.1）和﹣（﹣） C．﹣0.3和﹣（+0.3） D．2.5和﹣[+（﹣）]【答案】B【解答】解：A、+20和﹣（﹣20）＝20相等，故A不符合题意；B、+（﹣0.1）＝﹣0.1和﹣（﹣）＝0.1互为相反数，故B符合题意；C、﹣0.3和﹣（+0.3）＝﹣0.3相等，故C不符合题意；D、2.5和﹣[+（﹣）]＝2.5相等，故D不符合题意．故选：B．【题型2相反数的性质运用】【典例2】（2021秋•绥棱县校级期末）若m，n互为相反数，则（m+n）2021＝0．【答案】0．【解答】解：∵m，n互为相反数，∴m+n＝0，∴（m+n）2021＝02021＝0．故答案为：0．【变式2-1】（2022秋•历城区期中）若|x﹣2|与|2y+6|互为相反数，则x+y＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵|x﹣2|与|2y+6|互为相反数，∴x﹣2＝0，2y+6＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，故x+y＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式2-2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝﹣5．【答案】﹣5．【解答】解：∵a与b互为相反数，∴a+b＝0．∴2021a+2021b﹣5＝2021（a+b）﹣5＝2021×0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．【变式2-3】（2022秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2﹣＝.【答案】2．【解答】解：∵m，n互为相反数，∴m+n＝0，∴原式＝2（m+n）+2﹣0＝2×0+2＝2．故答案为：2．【题型3数轴的画法及应用】【典例3】（2022•苏州模拟）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【变式3-1】（2022•杭州模拟）下列说法中正确的是（）A．数轴是一条射线 B．数轴上离开原点距离越远的点表示的数越大 C．数轴上的点所表示的数从左到右依次减小 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示【答案】D【解答】解：数轴是一条直线，A说法错误；在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，B说法错误；数轴上的点所表示的数从左到右依次增大，C说法错误；任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，D说法正确．故选：D．【变式3-2】（2021秋•凉州区校级期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，图（1）没有原点，故（1）不正确；图（2）满足数轴的定义，故（2）正确；图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误；图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确．故选：B．【典例4】（2022秋•自贡期末）a，b为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．则下列关系式正确的是（）﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【答案】B【解答】解：如图，由数轴可得，﹣a＜b＜﹣b＜a，故选：B．【变式4-1】（2023•贵阳模拟）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．【答案】D【解答】解：由数轴可知b＞0＞a，且b＜|a|，∴a+b＜0，故A错误，不符合题意；a﹣b＜0，故B错误，不符合题意；ab＜0，故C错误，不符合题意；，故D正确，符合题意．故选：D．【变式4-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，且a+b＝0，则它们在数轴上的位置不可能落在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段BD上 D．线段AD上【答案】A【解答】解：∵a，b均为有理数，且a+b＝0，∴a，b位于原点两侧，∴a，b在数轴上的位置不可能落在线段AB上．故选：A．【变式4-3】（2022秋•江阴市期末）如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．以上都不正确【答案】C【解答】解：由数轴可知，a＜b＜0，∴a+b＜0，故A不符合题意；a﹣b＜0，故B不符合题意；ab＞0，故C符合题意，D不符合题意．故选：C．【典例5】（2022秋•兴文县期中）如图，已知数轴上从左到右有A，O，C，B四点，点A，B之间的距离为10个单位长度，且点A和点B到原点O的距离相等，点A，C之间的距离为7个单位长度．（1）点A所表示的有理数是﹣5，点C所表示的有理数是2；（2）从点C出发、沿数轴向左移动4个单位长度到达点D，求点D所表示的有理数；（3）在（2）的基础上，一只小虫从点D开始沿数轴运动了6次，规定向右运动为正，每次运动情况如下表所示，求第6次运动后小虫在原点什么位置？它一共运动了多少个单位长度？运动次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次运动变化﹣3+2﹣4+3﹣2﹣1【答案】（1）﹣5，2；（2）﹣2；（3）原点的左侧，距离原点7个单位长度，15．【解答】解：（1）∵点A，B之间的距离为10个单位长度，且点A和点B到原点O的距离相等，∴点A所表示的有理数是﹣5，∵点A，C之间的距离为7个单位长度，∴点C所表示的有理数是2，故答案为：﹣5，2；（2）∵点C所表示的有理数是2，从点C出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点D，∴点D所表示的有理数为2﹣4＝﹣2；（3）∵﹣3+2﹣4+3﹣2﹣1＝﹣5，∴第6次运动后小虫在D点的左侧，距离D点5个单位长度，∴第6次第6次运动后小虫在原点的左侧，距离原点7个单位长度，∵|﹣3|+|2|+|﹣4|+|3|+|﹣2|+|﹣1|＝15，∴它一共运动了15个单位长度．【变式5-1】（2022秋•方城县期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）在图1的数轴上，AC＝9个长度单位；在图2中，AC＝5.4cm；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的0.6cm；（2）求在数轴上点B所对应的数b；（3）若点Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所表示的数【答案】（1）9，5.4，0.6；（2）﹣2；（3）1或﹣11．【解答】解：（1）由图1可得AC＝4﹣（﹣5）＝9，由图2可得AC＝5.4cm，∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为＝＝0.6（cm），故答案为：9，5.4，0.6；（2）∵AB＝1.8cm，∴AB＝（单位长度），∴在数轴上点B所对应的数b＝﹣5+3＝﹣2；（3）∵AQ＝2AB，∴AQ＝6，∵点A所表示的数为﹣5，∴点Q表示的数为1或﹣11．【变式5-2】（2022秋•阳信县月考）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1km到达小红家，然后又向西跑了4km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；（2）小彬家与学校之间的距离是km；（3）小明一共跑了多远距离？【答案】（1）图形见解答过程；（2）小明一共跑了8千米．【解答】解（1）如图所示，（2）2+1+4+1＝8（km），答：小明一共跑了8千米．【变式5-3】（2022秋•平桂区期中）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：1B：﹣4；（2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是4或﹣2；（3）若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数2表示的点重合．【答案】（1）1，﹣4；（2）4或﹣2；（3）2．【解答】解：（1）由数轴上AB两点的位置可知，A点表示1，B点表示﹣4．故答案为：1，﹣4；（2）∵A点表示1，∴与点A的距离为3的点表示的数是4或﹣2．故答案为：4或﹣2；（3）∵A点与﹣3表示的点重合，∴其中点＝＝﹣1，∵点B表示﹣4，∴与B点重合的数＝﹣1+3＝2．故答案为：2．【题型4数轴上的点所表示的数】【典例6】（2022秋•天津期末）已知数轴上点A到点B的距离是4，且点B所表示的数是2，则点A所表示的数是（）A．4或﹣4 B．6或﹣2 C．6或2 D．﹣6或﹣2【答案】B【解答】解：∵点B到点A的距离是4．∵B表示2，∴A表示为2﹣4＝﹣2或2+4＝6．故选：B．【变式6-1】（2022秋•武冈市期末）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为（）A．7或﹣3 B．3或﹣7 C．3或﹣3 D．7或﹣7【答案】B【解答】解：向左移动5个单位长度对应的点表示﹣2﹣5＝﹣7，向右移动5个单位长度对应的点表示﹣2+5＝3，故选：B．【变式6-2】（2023•义乌市校级开学）如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解答】解：由图可知，被墨水盖住的整数为：﹣3，﹣2，1，2，3，相加为﹣3+（﹣2）+1+2+3＝1；故选：C【变式6-3】（2023•新邵县校级一模）在数轴上表示数﹣1和2021的两个点之间的距离为（）个单位长度．A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【解答】解：|﹣1﹣2021|＝2022，故选：A．【题型5数轴中点规律问题】【典例7】（2023•新华区校级二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】A【解答】解：根据题意可设点A表示的数为a，则折叠后的点A的对称点为﹣a，因为点A落在点B左侧4个单位长度处，所以点B表示的数为﹣a+4，则AB＝﹣a+4﹣a＝4﹣2a，线段AB的一半为2﹣a，所以AB中点为：﹣a+4﹣（2﹣a）＝2，故选：A．【变式7-1】（2022秋•公安县期末）在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣3和5，点M是线段AB的中点，则M表示的数为（）A．1 B．2 C．4 D．﹣4【答案】A【解答】解：∵点A，B表示的数分别是﹣3和5，∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，∵点M是线段AB的中点，∴，∴点M表示的数为：5﹣4＝1；故选：A．【变式7-2】（2022秋•江岸区期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣19和3．点C为线段AD的中点，且BC＝6BD，则点C表示的数为（）A．﹣9 B．﹣9.5 C．﹣10 D．﹣10.5【答案】A【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣19和3，∴AB＝3+19＝22，设BD＝x，∵BC＝6BD，∴BC＝6x，∴CD＝5x，∵点C为线段AD的中点，∴AD＝2CD＝10x，∴AB＝11x＝22，∴x＝2，∴AC＝5x＝10，∴点C所表示的数是﹣19+10＝﹣9．故选：A．1．（2023•重庆）8的相反数是（）A．﹣8 B．8 C． D．【答案】A【解答】解：8的相反数是﹣8．故选：A．2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣【答案】B【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，∴OB＝2023，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，故选：B．3．（2022•鄂尔多斯）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3【答案】C【解答】解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．4．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6【答案】A【解答】解：∵a+b＝0，∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．又∵AB＝6，∴b﹣a＝6．∴2b＝6．∴b＝3．∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．故选：A．5．（2021•长春）﹣（﹣2）的值为（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2【答案】C【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．故选：C．6．（2021•怀化）数轴上表示数5的点和原点的距离是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【答案】B【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5；故选：B．7．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；C选项，没有原点，故该选项错误；D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：D．8．（2020•乐山）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（）A．4 B．﹣4或10 C．4或﹣10 D．﹣10【答案】C【解答】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：﹣3+7＝4，如果A向左平移得到，点B表示的数是：﹣3﹣7＝﹣10，故点B表示的数是4或﹣10．故选：C．9．（2020•长春）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2【答案】C【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．10．（2020•包头）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1【答案】A【解答】解：由题意得，|2a+1|＝3，解得，a＝1或a＝﹣2，故选：A．11．（2023•四平模拟）化简﹣（﹣2）的结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解答】解：﹣（﹣2）＝2．故选：D．12．（2023•裕华区校级模拟）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应﹣4，直尺的0刻度位置对应﹣6，则线段AB中点对应的数为（）A．4 B．5 C．8 D．12【答案】A【解答】解：∵直尺的0刻度位置对应﹣6，数轴上点A在直尺的1cm处且点A对应﹣4，∴直尺上1cm代表数轴上2个单位长度，∵数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，∴线段AB的中点对应直尺的cm处，∴线段AB的中点对应的数是：﹣4+2×4＝4，故选：A．13．（2023•建邺区二模）表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（）​A．a+b＞b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ab＞bc D．【答案】C【解答】解：根据图示，可得a＜b＜c且﹣2＜a＜﹣1，﹣1＜b＜0，1＜c＜2，∵a＜c，∴a+b＜b+c，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，∴选项B不符合题意；∵a＜c，b＜0，∴ab＞bc，∴选项C符合题意；∵a＜b，c＞0，∴＜，∴选项D不符合题意．故选：C．14．（2023•南安市模拟）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+2b＝0．若A、B两点间的距离为12，则点A表示的数为（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【答案】D【解答】解：∵a+2b＝0，∴a＝﹣2b，∵A、B两点间的距离为12，∴b﹣（﹣2b）＝12，∴b＝4，∴a＝﹣8，∴点A表示的数为﹣8．故选：D．15．（2023•贵州模拟）如图，点A，B在数轴上所对应的点表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是​（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a+b＝0【答案】A【解答】解：由图可知，A点对应的数a＜0，B点对应的数b＞0，∴b＞a．故选：A．16．（2023•新华区校级二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】A【解答】解：根据题意可设点A表示的数为a，则折叠后的点A的对称点为﹣a，因为点A落在点B左侧4个单位长度处，所以点B表示的数为﹣a+4，则AB＝﹣a+4﹣a＝4﹣2a，线段AB的一半为2﹣a，所以AB中点为：﹣a+4﹣（2﹣a）＝2，故选：A．1．（2023•淇县二模）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．【答案】A【解答】解：﹣2的相反数是2．故选：A．2．（2022秋•电白区期末）如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5【答案】C【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，则表示的数可能是﹣0.5．故选：C．3．（2023•南皮县校级一模）﹣（+2）的相反数是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2【答案】A【解答】解：﹣（+2）＝﹣2，﹣2的相反数是2．故选：A．4．（2023•锡林浩特市三模）如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．4【答案】C【解答】解：因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1．故选：C．5．（2022秋•市北区校级期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（）①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴①正确；②错误，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴③错误；∵b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴a﹣b＞a+b，∴④正确；即正确的有①④，故选：B．6．（2022秋•湖北期末）a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）A．a2与b2 B．a3与b5 C．a2n与b2n（n为正整数） D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）【答案】D【解答】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；B、a，b互为相反数，则a3＝﹣b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；D、a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；故选：D．7．（2023•秦皇岛一模）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（）A．﹣ B．﹣2 C． D．【答案】A【解答】解：点A向左移动2个单位，点B对应的数为：﹣2＝﹣．故选：A．8．（2022秋•隆回县期末）若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【答案】D【解答】解：因为3﹣（﹣2）＝5故选：D．9．（2023•济南二模）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1【答案】B【解答】解：∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表