八年级上册几何专题1 3 .5 等边三角形【九大题型】

专题13.5等边三角形【九大题型】

【人教版】

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】.......................................................1

【题型2共顶点的等边三角形(手拉手图形)】..................................................5

【题型3平面直角坐标系中的等边三角形】......................................................II

【题型4与等边三角形有关的线段长度的计算1.................................................17

【题型5等边三角形的证明】..................................................................21

【题型6与等边三角形有关的规律问题】.......................................................26

【题型7利用等边三角形的性质进行证明】.....................................................30

【题型8与等边三角形有关的动点问题】.......................................................36

【题型9含30°角的直角三角形性质】........................................................41

“片声二

【知识点1等边三角形】

(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形：

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】

【例1】(2022秋•泰兴市期末)(1)如图1,NAOB和都是直角

①若N8OC=60°,则/8。£>=30°,ZAOC=30°；

②改变/BOC的大小，则/B。。与/AOC相等吗？为什么？

(2)如图2,ZAOB=ZCOD=SO°,若乙400=NBOC+40°,求/AOC的度数；

(3)如图3,将三个相同的等边三角形(三个内角都是60°)的一个顶点重合放置，若N8AE=IO°,

ZHAF=30a,则Nl=20°.

【分析】(1)根据余角的性质即可得到结论；

(2)根据角的和差即可得到结果；

(3)根据等边三角形的性质得到/。4//=/幺/=/5^=60°,根据角的和差即可得到结论.

【解答】解：(1):乙403和NCOD都是直角，ZBOC=60°,

：.ZBOD=300,乙40c=30°,

故答案为：30,30；

(2)•.•乙408=/(70。=80°,

ZAOC=/BOD=-(ZAOD-ZBOC),

2

VZAOD=ZBOC+400,

/.ZAOC=20°；

(3)VZDAH^ZEAF=ZBAC=60a,

.'./D4E=/H4尸=30°,

AZ1=60°-30°-10°=20°.

故答案为：20.

【变式1-1](2022秋•巫溪县校级月考)已知：如图，△ABC是等边三角形，。是BC延长线上的点，BE、

CE分别平分NA8C和NACO,求NBEC的度数.

【分析】AABC是等边三角形的外角是120。，平分后是60°,又由角平分线与角的对边垂直可知所求

角是直角三角形内的一个锐角，故而可解得.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，且有BE、CE分别平分/ABC和乙AC。，ACLBE,

：.ZECD=(180°-60°)+2=120°+2=60°,

.•./4CE=60°,

又；AC_L8E,

AZBEC=180°-90°-60°=30°.

【变式1-2］（2022秋•太原期末）问题情境：如图1,点。是AABC外的一点，点E在8c边的延长线上,

8。平分/ABC,CD平分/4CE.试探究/O与乙4的数量关系.

（1）特例探究：

如图2,若AABC是等边三角形，其余条件不变，则如0=30°;

如图3,若aABC是等腰三角形，顶角/A=100°,其余条件不变，则50。；这两个图中，

ND与NA度数的比是1：2；

（2）猜想证明：

如图1,ZVIBC为一般三角形，在（1）中获得的/。与NA的关系是否还成立？若成立，利用图1证明

你的结论；若不成立，说明理由.

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用NA和表示出NACE,再根

据角平分线的定义得到NACE=2NOCE,NABC=2NDBC,然后整理即可.

（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用NA和/£＞表示出NACE,再根据角平分

线的定义得到/ACE=2/DCE,NABC=2NO8C,然后整理即可.

【解答】解：（I）如图2,•••△ABC是等边三角形，

AZABC=60°,ZACE=120°,

平分/ABC,CD平分NACE.

：.ZDBC=30°,ZDCE=60°,

'：ZDCE=ZD+ZDBC,

：.ZD=30°；

如图3,「△ABC是等腰三角形，ZA=100°,

//WC=4CB=40°,/ACE=140°,

•?BZ）平分ZABC,CD平分ZACE.

.•.ND8C=20°,/OCE=70°,

,:NDCE=ND+NDBC,

：.ZD=50°；

故答案为30°,50°,1：2；

(2)成立，

如图1,在△ABC中，ZACE=ZA+ZABC,

在△O8C中，NDCE=ND+NDBC,••­(1)

VCD平分NACE,BD平分/ABC,

:./ACE=2NDCE,NABC=2NDBC,

又；ZACE=ZA+ZABC,

：.2ZDCE^ZA+2ZDBC,—(2)

由(1)X2-(2),

；.2ND+2NDBC-(NA+2NDBC)=0,

/4=2/D

【变式1-3](2022秋•龙港区期末)已知△ABC,△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC,EF的

中点.

(1)如图①，连接A。，GD,则NADC的大小=90(度)；NGQF的大小=90(度)；

AD与GD的数量关系是AD=GD；DC与DF的数量关系是DC=DF；

(2)如图②，直线AG,尸C相交于点M,求NAM尸的大小.

【分析】(1)如图①中，根据等边三角形的性质解答即可.

(2)如图连接AO,DG,利用等边三角形的性质即可解决问题.

【解答】解；(1)如图①，连接AD,GO,•.•△ABC是等边三角形，BD=DC,则/4OC的大小=90°；

•.•△EGF是等边三角形，ED=DF,

B

：.ZGDF=90°图①图②

•：BC=EF,

:.AD=GD；DC=DF；

故答案为：90；90：AD=GD,DC=DF.

（2）连接40,DG,

由（1）得：ZADC=ZGDF=90°,

ZADC-/GDC=/GDF-AGDC,

即N1=N2,

由（1）得：AD=GD,

18O0-Z1

：.4DGA=/DAG=

2

由（1）得：DC=DF,

：.Z3=ZDCF=

2

：.ZDGA=Z3,

*/ZAMF=ZAGF+Z5,

：.ZAMF=NOG4+N5+N4

=N3+N5+N4

=180°-ZGDF

=180°-90°

=90°.

【题型2共顶点的等边三角形（手拉手图形）】

【例2】（2022秋•华容县期末）如图，C为线段4E上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等

边△ABC和等边△CZ）E,AO与3E交于点O,40与5c交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下

五个结论：

@AD=BE;®PQ//AE；③OP=OQ；④△CP。为等边三角形；⑤408=60°.其中正确的有①②

④⑤.（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△4CZX4BCE,即可得出4E>=8E,①正确.

④先证明△ACP二△BCQ,即可判断出CP=C。，即可得④正确；

②根据/PCQ=60°,可得△PCQ为等边三角形，证出NPQC=/QCE=60°,得出PQ〃AE,②正确.

③没有条件证出OP=OQ,得出③错误；

@Z4OB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,⑤正确；即可得出结论.

【解答】解：,•.△ABC和都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,/AC8=/OCE=60°,

ZACB+ZBCD=NDCE+NBCD,

：.ZACD=ZBCE,

在△AC。和△8CE中，

AC^BC,NACD=NBCE,CD=CE,

：./XACD^^BCE(SAS),

：.AD=BE,结论①正确.

：.ZCAD=ZCBE,

又•.•NAC3=NOCE=60°,

.•.NBC拉=180°-60°-60°=60°,

AZACP=ZBCQ=60°,

在△ACP和△BC。中，

ZACP=ZBCQ,ZCAP^ZCBQ,AC=BC,

.♦.△ACPdBCQ(AAS),

：.AP=BQ,CP=CQ,

又TNPCQ=60°,

••.△PC。为等边三角形，结论④正确；

：.ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ//AE,结论②正确.

,/△ACD^ABCE.

ZADC=ZAEO.

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

结论⑤正确.

没有条件证出OP=OQ,③错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤.

故答案为：①②④⑤.

【变式2-1](2022秋•西青区期末)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在△48C内部，连接

AE,BE,BD.若NEB£)=50°,则NAEB的度数是110°.

【分析】由已知条件推导出aACE丝△88,从而NDBC=NCAE,再通过角之间的转化，利用三角形

内角和定理能求出/4E8的度数.

【解答】解：:△ABC和△(?£>£都是等边三角形，

：.AC=BC,CE=CD,ZABC=ZACB=ZBAC=ZECD=6O°,

又；NACE+NBCE,NECD=NBCE+NBCD,

：.ZBCD^ZACE,

在和△BCD中，

AC=BC

乙BCD=LACE»

CE=CD

・••△ACE<△BCD(SAS),

NCAE=NDBC,

二NEBD-ZEBC=ZBAC-ABAE,

•:NEBD=50°,

.,.50°-NEBC=60°-NBAE,

.,.50°-(60°-ZABE)=60°-NBAE,

.,.NA8E+N&4E=70°,

.•./AE8=18(T-(.ZABE+ZBAE)=180°-70°=110°,

故答案为：110°.

【变式2-2](2022秋•兴化市校级月考)如图1,等边△ABC中，。是AB边上的点，以CD为一边,向上

作等边△EDC,连接AE.

(1)求证：△OBCg/\E4C；

(2)求证：AE//BC；

(3)如图2,若。在边BA的延长线上，且A8=6,AD=2,试求AABC与AEAC面积的比

【分析】(1)首先证明/BCD=NACE,然后利用SAS证明△DBCZaEAC即可；

(2)根据全等的性质可得NEAC=/B=60°,进而可得/EAC=NACB,从而可得AE〃BC；

(3)利用等边三角形的性质可得BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,然后再证明△DBCgZ\EAC,

再推出NEAC=NACB,进而可得AE〃BC,进而利用三角形面积解答即可.

【解答】证明：(1)VZACB=60°,ZDCE=60°,

.".ZBCD=600-ZACD,ZACE=60°-ZACD,

/.ZBCD=ZACE,

在ADBC和AEAC中，

BC=AC

4BCD=/.ACE

EC=DC

.♦.△DBC丝ZXEAC(SAS)；

(2)VADBC^AEAC,

/.ZEAC=ZB=60°,又NACB=60°,

.".ZEAC=ZACB,

；.AE〃BC；

(3):△ABC、AEDC为等边三角形

ABC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

即NBCD=NACE,

(BC=AC

在ADBC和AEAC^\z.BCD=Z-ACE,

[CD=CE

AADBC^AEAC(SAS),

・・・NEAC=NB=60°,AE=BD=AB+AD=8,

XVZACB=60°,

AZEAC=ZACB,

，AE〃BC.

,△ABC与4EAC面积比==—=7.

AE6+24

【变式2-3](2022秋•赫山区期末)如图，△ABC和△(?£)£都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交

BD于F.

(1)求证：AE=BD；

(2)求NAFB的度数；

(3)求证：CF平分NAFZ)；

(4)直接写出EEDF,Cb之间的数量关系.

【分析】（I）要证明边相等可证明边所在的三角形全等，由△A8C和△CQE都为等边三角形，可得/

ACE=ZBCD=60°,AC=BC,CE=CD,继而证明三角形全等，即可解答题目；

（2）由三角形全等可得/C4E=/C8C,结合N4EC=N8EF即可证明；

（3）作CA/J_A尸丁点例，CNLDF于一点、N,连接CF,利用全等三角形的性质证明CM=CN,即可解答

题目；

（4）延长A尸到点。，使凡连接OQ,则只需证明CF=E。，所以考虑证明△8尸丝△ED。，

自己试着解答.

【解答】（I）证明：△4BC和△COE都为等边三角形，

AZACE=ZBCD=60",AC^BC,CE=CD,

:.AACE冬ABCD(SAS),

：.AE=BD.

(2)解：：AACE丝△BCD,

.'.ZCAE^ZCBD,

又NAEC=NBEF,

：.ZAFB=ZACB=60Q.

(3)证明：作CM_LA尸于点M,CNLDF于点、N,连接CF,

'：ZCAE=ZCBD,NAMC=NBNC=90°,AC=BC,

:.△CAMQ/XCBN(SAS),

则CM=CN,

.•.(?月平分/4月9.

(4)解：延长AF到点。，使FQ=O-，连接。。，

VZAFB=ZACB=60°,

则NOFQ=60°,

...△CFQ是等边三角形，

则。。=。尸，ZFDQ=ZCDE=6O0,

：.ZCDF=ZEDQ,

'：CD=DE,ZCDF=ZEDQ,DQ=DF,

:.△CD2MEDQ(SAS),

：.CF=EQ,

则CF=EF+FQ=EF+DF.

【题型3平面直角坐标系中的等边三角形】

【例3】（2022春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2,0）,以线段OC为

边在第一象限内作等边△OBC,点。为x轴正半轴上一动点（0。>2）,连结8D,以线段BO为边在第

一象限内作等边△BOE,直线CE与y轴交于点A,则点A的坐标为（）

A.（0,-V3）B.（0,-2V3）C.（0,-2）D.（0,-2。

【分析】根据“手拉手”全等可得/8CE=N8O£>=60°,进而可得/OCA=60°,即可求解A点坐标.

【解答】解：•.•△08C,△BOE为等边三角形，

：.HO=BC,BD=BE,NOBC=NDBE=NBCO=60°,

：.ZOBD=NCBE,

在△080和△C8E中，

（BO=BC

\^0BD=乙CBE,

（BD=BE

:.AOBD会/\CBE（SAS）,

；.NBCE=NBOD=60°,

AZOCA=60°,

VZCOA=90°,

：.OA=V30C=2V3,

即A点坐标为：（0,-2V3）,

故选：B.

【变式3-1］（2022春•龙口市期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M,N,

且OM=4,NOMN=30°,等边△AO8的顶点A,B分别在线段MN,OM上，点A的坐标为（）

A.(1,V3)B.(1,V5)C.(V3,1)D.(|,V3)

【分析】根据NOMN=30°和△A08为等边三角形，证明△04例为直角三角形，即可得出答案.

【解答】解：••,直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N,0M=4,4OMN=30°,

：.NONM=60°,

•••△A08为等边三角形，

，NAO8=60°,ZAMO=30°,

.../OAM=90°,

：.OALMN,即△0AM为直角三角形，

：.OA=-2OM=-2x4=2,

过点A作ACJ_08于点C,

：.AC=V3,

，点A的坐标为(1,V3).

故选：A.

【变式3-2](2022秋•新洲区期末)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点8在第二象限,

AO=a,AB=b,8。与x轴正方向的夹角为150°,且拌-抉+〃-6=0.

(1)试判定△ABO的形状；

(2)如图1,若8C_LBO,BC=BO,点。为CO的中点，AC,BD交于E,求证：AE=BE+CE；

(3)如图2,若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG,延长G4交x轴于点尸，问：

AP与A。之间有何数量关系？试证明你的结论.

【分析】(1)△ABO为等边三角形，理由为：根据(〃-拄)+(“-〃)=o,得到再由8。与x

轴正方向的夹角为150°得到408=60°,即可得证；

(2)在AC上截取AM=CE,先证/AEB=60°,方法是根据题意得到△ABO为等边三角形，△8OC为

等腰直角三角形，确定出度数，根据A8=BC,且/A8C=120°,得到/BAE度数，进而确定出

NAEB为60°,再由AM=CE,得到AE=CM,再由AB=C8,且夹角NBAC=NBC4,利用SAS得到

△BCM与△84E全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=BE,得到△8EM为等边三角形，得到

BE=EM,由4E=EM+4M,等量代换即可得证；

(3)AP=2AO,理由为：由题意得到BG=BE,AB=OB,利用等式的性质得到Z48G=NOBE,利用

SAS得到AABG与△O8E全等，利用全等三角形的对应角相等得到/GA8=/BOE=60°,利用外角的

性质得到乙42。=30°,在RtZ\4OP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2AO.

【解答】(1)解：结论：△A8O为等边三角形，

理由："-"a2-b2+a-b=Ca+h)(a-h)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)=0

.,.a-b=0,得至!Ja=b,EPAO=AB

•；。8与x轴正半轴夹角为150°

...NAOB=150°-90°=60°

...△AO8为等边三角形；

(2)证明：在AC上截取AM=EC,可得AM+EMuCE+EM,BPAE=CM.

•••△A08为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形

：.ZOBC=90°,ZABO=60°

・・・£＞为CO的中点

・・・8。平分NOBC,即NC8Q=NO3D=45°

AZABD=105°,NABC=150°

：.ZBAC=ZBCA=\50

：.ZAEB=60°

在△ABE和△CBM中

AB=CB

Z.BAE=Z^CM,

AE=CM

：.ABACBM(SAS)

：.BM=BE

•••△8EM为等边三角形

:.BE=EM

：.AE=AM+EM=CE+BE；

(3)解：结论：AP=2A。，

理由：•••△AOB与△BGE都为等边三角形

:・BE=BG,AB=OB,NEBG=NOBA=60°

：.ZEBG+ZEBA=ZOBA+ZEBA

即ZABG=ZOBE

在△ABG和△08E中

AB=OB

Z-ABG=乙OBE,

BE=BG

:.△ABGgROBE(SAS)

：.ZBAG=ZBOE=60°

：.ZGAO=ZGAB+ZBAO=120°

•・,NGAO为△AOP的外角

且NAO尸=90°

・•・NA尸0=30°

在RtZ\AOP中，ZAPO=30°

图2

【变式3-3](2022秋•汉阳区校级期中)如图，平面直角坐标系中，已知A(-2,0),B(2,0),C(6,

0),。为)，轴正半轴上一点，且N008=30°,延长08至E,使BE=BD.P为x轴正半轴上一动点

(P在C点右边),M在EP上，且NEMA=60°,AM交BE于N.

(1)求证：BE=BC；

(2)求证：NANB=NEPC；

【分析】(1)根据点A、B的坐标求出AO=3O,根据直角三角形两锐角互余求出/ABO=60°,然后

判断出△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质可得B0=AB=4,再求出8c=4,从而得到8C=

BD,然后等量代换即可得证；

(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/区4"+/42=/43。=60°,Z

BAN+NEPC=NEMA=60°,即可得证；

(3)求出aBCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=CE,然后求出AB=CE,再求出NABN

=Z£CP=120°,然后利用“角角边”证明△然义和全等，根据全等三角形对应边相等8N=CP,

再根据BP-CP=BC等量代换即可得解.

【解答】(1)证明：(-2,0),8(2,0),

：.AD=BD,AB=4,

008=30°,

AZABD=90°-30°=60°,

/./\ABD是等边三角形，

：.BD=AB=4,

,：B(2,0),C(6,0),

：.BC=6-2=4,

:.BC=BD,

又；BE=BD,

：.BE=BC；

(2)证明：由三角形的外角性质得，ZBAN+ZANB^ZABD^60Q,

ZBAN+ZEPC=ZEMA=60°,

所以，NANB=NEPC；

(3)解：,:BE=BD=BC,ZCBE=ZABD=60a,

.♦.△BCE是等边三角形，

:.BC=CE,

"：AB=BC=4,

：.AB=CE,

,：ZABD^ZBCE^60°,

：・NABN=NECP=120°,

在△A5N和中，

NANB=乙EPC

Z.ABN=乙ECP,

AB=CE

:•△ABNQ4ECP（AAS）,

:,BN=CP,

•:BP-CP=BC,

:.BP-BN=BC=4,

故3P-3N的值为4,与点P的位置无关.

【题型4与等边三角形有关的线段长度的计算】

【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点、,且80=点

E,尸分别在边A8,AC上，且NEC尸=90°,M为边Ef的中点，连接CM交。尸于点MDF//AB,

则CM的长为（）

A.-V3B.-V3C.-V3D.V3

346

【分析】根据等边三角形边长为2,在RtaBDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分。凡在RtACDN

中求得CN,最后根据线段和可得CM的长.

【解答】解：•.•等边三角形边长为2,BD*D,

?4

：.BD=-CD=-

3f3f

•・•等边三角形中，DF//AB,

：.NFDC=NB=60°,

VZEDF=90°,

AZBDE=30°,

：.DE±BEf

：.ZBED=90°,

VZB=60Q,

:.NBDE=30°,

:.BE=；BD=§

：.DE=7BD2—BE2=—,

3

如图，连接£)M,则RtzXOEF中，DM=3EF=FM,

:NFDC=NFCD=60°,

.♦.△C/)尸是等边三角形，

：.CD=CF=~,

3

；.CM垂直平分QF,

；.NDCN=30°,DN=FN,

；.RtZ\C£W中，DN=~,CN=—,

33

为EF的中点，

:.MN=-DE=

26

【变式4-1］（2022春•西乡县期末）如图，ZVIBC是等边三角形，8。是中线，过点。作DE_L48于E交

8C边延长线于尸，AE=\,求8尸的长.

BC

【分析】根据等边三角形的性质和中线的性质解答即可.

【解答】解：..♦△ABC是等边三角形，是中线，

AZA=ZACB=60°,AC=BC,AD=CD=^AC,

VD£±AB于E,

：.ZADE=900-NA=30°,

；・CD=AD=2AE=2,

：.ZCDF=ZADE=30°,

ZF=ZACB-ZCDF=30°,

:,NCDF=NF,

:.DC=CF,

:.BF=BC+CF=2AD+AD=6.

【变式4-2］（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点，。为8c延长线上

一点，CQ：BC=\：2,过户作PE_LAC于E,连尸。交AC边于。，求。E的长

【分析】过P点作尸尸〃BC交AC于〃点，根据等边三角形的性质和判定求出△%/＞尸是等边三角形，推

出AP=4歹=P/=CQ,根据等腰三角形性质求出AE=ER根据AAS证△尸产力和△QCO全等，求出

=CD,推出Z)E=/C,代入求出即可.

【解答】解：过。点作尸尸〃8C交4C于/点，

・・•等边△A8C的边长为10,点P是边A3的中点，CQ：BC=1：2,

：.AB=BC,ZB=ZACB=ZA=60°,

：.AP=CQ,

YPF〃AB,

AZAPF=ZB=60Q,ZAFP=ZACB=60Q,

AZA=ZAPF=ZAFP=60°,

•••△4尸尸是等边三角形,

:.EF=|AF,

・:△AP尸是等边三角形，AP=CQ,

：.PF=CQ

U：PF//AB,

：・/Q=NFPD,

在APDF和△QOC中

ZFPD="

VZFDP="DC,

PF=CQ

:•△PDFWAQDC,

：・DF=CD,

：.DF=-CF,

2

：.DE=EF+DF=1/1F+|CF=，C,

：.ED=5.

【变式4-3]（2022秋•崇川区校级月考）如图，在△4BC中，A8=4C,D、E是△ABC内两点，AO平分

ABAC,NEBC=NE=60°,若BE=30cm,DE=2cm,则BC=32cm.

【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=30,DE=2,进而得出△BEM为等边三角形，△

EFD为等边三角形,从而得出BN的长，进而求出答案.

【解答】解：延长ED交BCTM,延长AD交BCTN,

fE

//.N'、D\\

////F।、\

y「、、\

BV\fC

"：AB=AC,4。平分N8AC,

J.ANLBC,BN=CN,

VZ£：BC=ZE=60o,

.••△8EM为等边三角形，

:.AEFD为等边三角形,

VBE=30,DE=2,

：.DM=2S,

「△BEM为等边三角形，

ZEMB=60°,

'：ANrBC,

:.NDNM=90°,

:./NDM=30°,

；.NM=14,

：.BN=\6,

:*BC=2BN=32,

故答案为32.

【题型5等边三角形的证明】

【例5】（2022秋•建水县校级期中）如图，aABC为等边三角形，。为BC边上一点，以AD为边作NAOE

=60°,DE与△ABC的外角平分线CE交于点E,连接AE.求证：△AOE是等边三角形.

【分析】过。作。G〃AC交A8TG,得出N3=N2,再利用AAS得出△4G£）gZ\QCE,进而得出答案.

【解答】解：过D作OG〃AC交A8于-G,

则Nl=/3,△GQ8为等边三角形，

ZAGD=ZDCE=]20a,AG=DC.

又；NADE=NACE=60°,ZACE^ZECF,

：.Z\=Z2,

；.N3=N2.

在△AGO和△£>(7£：中，

(43=z2

l^AGD=乙DCE,

14G=DC

:.AAGD冬ADCE(A4S),

：.AD=DE,

VZADE=60°,

・・・△ADE是等边三角形.

【变式5-1］如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点。，使得4CDE是等边三

角形，如果M是线段A。的中点，N是线段8E的中点，

求证：△CMN是等边三角形.

【分析】根据△4CQ丝△8CE,得出AD=BE,AM=BN；又△AMC丝△3NC,可得CM=CN,ZACM

=ZBCN,证明NNCM=NACB=60°即可证明是等边三角形；

【解答】证明：•••△ABC是等边三角形，△CQE是等边三角形，M是线段AO的中点，N是线段8E的

中点，

ZACB=ZECD=f>0°，

AZACB+ZBCD=ZECD+ZBCD,即NACO=NBCE,

在△AC。和△BCE中，

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

：./\ACD^/\BCE,

:・AD=BE,AM=BN：

：.AC=BC./CAD=ZCBE,AM=BN,

:•△AMg^BNC(SAS),

:.CM=CN,/ACM=/BCN；

又,：4NCM=ZBCN-NBCM,

NACB=NACM-NBCM,

：.ZNCM=ZACB=60°,

:./\CMN是等边三角形.

【变式5・2】(2022春•龙口市期末)如图，E是NAO3的平分线上一点，ECLOB,EDLOA,C、。是垂

足，连接C。交OE于点F,若乙408=60°.

(1)求证：△OCO是等边三角形；

(2)若石/=5,求线段OE的长.

【分析】(1)根据角平分线的性质得出OE=CE,然后根据“L证得RtZiOOE/Rl^OCE,得出。。=

0C,由NAOB=60°,证得△0C3是等边三角形；

(2)根据三线合一的性质得出NAOE=N8OE=30°,OE，QC,进而证得NEC尸=30°,然后根据30°

的直角三角形的性质即可求得OE的长.

【解答】解：(1)•点E是/AO8的平分线上一点，ECLOB,EDLOA,垂足分别是C,D,

：.DE=CE,

在Rt/XODE与RtAOC£中，

(DE=CE

lOE=OE

.,.RtAOD£^RtAOC£(HL),

：.OD=OC,

,：ZAOB=60°,

/XOCD是等边三角形；

(2)是等边三角形，OF是NCOO的平分线，

OELDC,

VZAOB=60°,

AZAOE=ZBOE=30Q,

4F=60°,EDLOA,

：.ZEDF=30°,

：.DE^2EF=10,

：.OE=2OE=20.

【变式5-3](2022秋•韶关期末)已知：如图，AABC,△<：£>£都是等边三角形，AD.BE相交于点O,

点M、N分别是线段A。、8E的中点.

(1)求证：AD=BE；

(2)求NOOE的度数；

(3)求证：△MNC是等边三角形.

【分析】(1)根据等边三角形性质得出AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=60°,求出/4CO=N

BCE,证△ACDWZXSCE即可；

(2)根据全等求出NAQC=N8EC,求出NAOE+N8E。的值，根据三角形的内角和定理求出即可；

(3)求出AM=8M根据SAS证推出CM=CM求出NNCM=60°即可.

【解答】解：(1)•「△ABC、△CDE都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=60°,

・•・/ACB+/BCD=NDCE+/BCD,

：.NACD=NBCE,

在△AC。和△BCE中

AC=BC

Z-ACD=乙BCE,

CD=CE

:.AACD^ABCE,

:・AD=BE.

(2)解：VAACD^ABCE,

・・・NADC=NBEC,

•・♦等边三角形。CE,

：.ZCED=ZCDE=60°,

:.NADE+NBED=NADC+NCDE+NBED,

=ZADC+60°+NBED,

=NCED+60",

=60°+60°,

=120°,

AZDOE=180°-(NADE+NBED)=60°,

答：NQOE的度数是60°.

(3)证明：:△AC。丝△8CE,

：./CAD=NCBE,AD=BE,AC=BC

又・・,点M、N分别是线段A。、BE的中点，

：.AM=-AD,BN=-BE,

22

:.AM=BN,

在△ACM和△3CN中

(AC=BC

4cAM=zZ*BN,

14M=BN

/.△ACMdBCM

:.CM=CN,

/ACM=/BCN,

又N4C8=60°,

AZACM+ZMCB=60°,

:・NBCN+NMCB=60",

AZMCN=60°,

•••△MNC是等边三角形.

【题型6与等边三角形有关的规律问题】

【例6】(2022秋•思明区校级期中)如图，己知NMON=30°,点4,A2,Ar••在射线ON上，点向，

史,&…在射线OM上，AA1B02,ZVI252A3,Z\A353A4…均为等边三角形,若04=2,则737A8的

【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A]B]//A2B2//A^以及A2B2=2BIA2,得出小&

=48/2=8,4&=88也=16,4&=1654=32…,进而得出答案.

【解答】解：♦.・△454是等边三角形，

：.A\B\=A2B\,Z3=Z4=Z12=60°,

AZ2=120°,

•；NMON=30°,

AZ1=18O°-120°-30°=30°,

又・・・N3=60°,

AZ5=I80°-60°-30°=90°,

VZMON=Z1=30°,

：.OAi=AiB\=l,

・"281=1,

,**△A2&A3、/\AyByA4是等边三角形，

.•.Zll=Z10=60°,N13=60°,

VZ4=Z12=60°,

：.A\B\//A2BI//A^B\A2//B2A^

AZl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

•\A2B2=2B\A2f&/43=2824，

・・・433=4囱4=8,

A4B4-SB\A2=16,

A5ft=16BiA2=32,

的边长为2”,

.♦.△A7&A8的边长为27.

故答案为27.

【变式6-1］（2022秋•简阳市期中）一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如下运动：从坐标原点开始

起跳记为4,然后沿着边长为1的等边三角形跳跃即4fA2fA3-4-4……已知4的坐标为（1，0）,

【分析】根据已知图形得出A2,4,4的坐标，进而得出变化规律求出点42018的坐标.

【解答】解：过点A2作48,交），轴于点8,

由题意可得Hi：AzB—~OA}=

：

.BO=―2,

・'Az坐标为:（p当），

4坐标为：（|，争，

4坐标为：仔y）,

...点42018的坐标为(1008.5,y)

【变式6-2］（2022•定兴县二模）如图，ZVIBC是一个边长为2的等边三角形，AD（）±BC,垂足为点功.过

点Co作Z）必」AB,垂足为点。；再过点人作G£>2，A。），垂足为点小；又过点Q作垂

足为点。3；…；这样一直作下去，得到一组线段：DoD,.。02,。2。3,…，则线段。。2的长为；,

线段。“也的长为—岁（〃为正整数）.

【分析】由三角形A8C为等边三角形，AD.1BC,利用等边三角形的性质及三线合一得到82）=1,NB

=60°,再由DoDilAB,得到N£>QoB=3O°,求出QQo的长,同理求出的长,依此类推得出

5的长.

【解答】解：:△ABC是一个边长为2的等边三角形，ADnLBC,

；.肛=1,ZB=60°,

VD0Di±Afi,

AZD,DoB=3O°,

；.OQo=今

2

同理NW=30°,D\D2=（y）=I，

依此类推，线段为M的长为（争

故答案为:"名）"

42

【变式6-3］（2022•齐齐哈尔模拟）如图，点4是面积为3的等边aABC的两条中线的交点，以B4为一

边，构造等边△84G，称为第一次构造；点4是△B4G的两条中线的交点，再以为一边，构造等

边ABA2c2,称为第二次构造；以此类推，当第〃次构造出的等边△B“A,,Cn的边BCn与等边△C8A的边

A8第一次在同一直线上时，构造停止.则构造出的最后一个三角形的面积是

【分析】设等边△A8C的边长为“，根据等边三角形的性质求出4c=,，484=30°,同理判断出

每次构造后等边三角形的边长变为原来的日倍，再确定出每一次构造三角形绕点8顺时针旋转30°,然

后求出4次构造后构造停止，用a表示出构造停止后的等边三角形的边长，再根据相似三角形面积的比

等于相似比的平方列式计算即可得解.

【解答】解：设等边△ABC的边长为a,

则等边的高为争z,

是两条中线的交点，

.*.AtC=|xya=y«,484=30。，

同理可得，每次构造后等边三角形的边长变为原来的日倍，

•.•第n次构造出的等边△&A“C”的边8C”与等边△C8A的边AB第一次在同一直线上时，构造停止，

（180°-60°）+30°=120°+30°=4,

即4次构造后，构造停止，

构造停止时的等边三角形的边长为（苧）％,

设最后一个三角形的面积为S,

®lJ-=（出）2,

3a

解得s=M

故答案为：

【题型7利用等边三角形的性质进行证明】

【例7】（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长8C到。，延长BA到E,并且使AE=BQ,

连接CE,DE.求证：EC=ED.

【分析】首先延长8。至尸，使OF=BC,连接EF,得出为等边三角形，进而求出△EC8•

从而得出EC=DE.

【解答】证明：延长8。至F，使DF=BC,连接EF,

'：AE=BD,△A8C为等边三角形，

:.BE=BF,ZB=60°,

...△8£尸为等边三角形，

.*./F=60°,

在△ECB和△EDF中

BE=EF

(B=Z.F=60°

BC=DF

:.4ECB与AEDF(SAS),

：.EC=ED,

【变式7・1】如图，在等边三角形ABC中，BO,CO分别平分NA3C,ZACB,OE//AB,OF//AC,试说明

BE=EF=FC.

A

【分析】由题可证△0£F为等边三角形，从而得到/EOF=60°,OE=OF=EF.又因为BO,C。分别

平分NA8C,ZACB,所以NABO=NO8E,ZACO=ZOCF.所以0E〃A8,OF//AC,根据两直线平

行，内错角相等，得到/480=/80E,/ACO=NCOF,即/O8E=NBOE,NOCF=NCOF.根据

等角对等边得OE=BE,OF=CF,所以BE=EF=FC.

【解答】证明：••.△ABC为等边三角形，

.../A2C=N4C8=60°,

VOE//AB,OF//AC,

：.ZOEF=ZABC=60°,ZOFE=ZACF=60°,

：./OEF=/OFE,

:.NEOF=60°,

.•.△OE尸为等边三角形，

；.OE=OF=EF,

'：BO,CO分别平分/ABC,ZACB,

ZABO=NOBE,NACO=ZOCF,

\'OE//AB,OF//AC,

：.ZABO=ZBOE,ZACO=ZCOF,

：.ZOBE=ZBOE,ZOCF=ZCOF,

：.OE=BE,OF=