中学高二12月月考数学试卷

中学高二12月月考数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、填空题（共13题，共65分）

1、设/㈤是定义在火上的可导函数，且满足则不等式

/（历（存f的解集为

【考点】

【答案】l<x<2

【解析】..J（x）+V'（x）=W（x）l>。

二函数g（x）=切卜）在£上单调递增。

/（一+1）>Vx-1-/（&-1）

Vx+l-/（Vx+l）>&+.-1）=（/炉-1）

即g（屈I"（乒I）

-x/x+l>V*3-1,

x+l>0

{J^-UO

x+l>x2-l解得"xv2。

所以原不等式的解集为［L2）。

答案：［L2）

=

=1（々>5>0）R（O4）°~~A#"

2、已知椭圆〃力的一个顶点为“.力，离心率5,直线，交椭圆于M.N两点,

如果的重心恰好为椭圆的右焦点尸，直线/方程为

【考点】

［答案］6X-5J-28=0

由题意得b=4,

“2_，_/'_116_1

又a1a2a25,解得〃2=20。

二+2=1

二椭圆的方程为2。16。

.•・椭圆右焦点尸的坐标为（2°）,

设线段的中点为Q（、，儿），

由三角形重心的性质知町=2地,从而（Z-4）=2（Xg-2%）,

解得/=3,%=-2,

所以点Q的坐标为G尸2）。

且界冷唠

拉科），则々+巧=6,必+72=T

设

■+■）（-一-）।G+%）（此一%）F

以上两式相减得2016

AZA-4覆+』46_6

玉一,5弘+力575,

y+2=-(x-3)

故直线的方程为5'。即6x-57-28=0.

答案:6x-5y-28=0

3、已知函数/（“卜碗^+曜’的图象在点（-L2）处的切线恰好与直线3x+j=。平行，若〃x）在区间

+上单调递减，则实数E的取值范围是

【考点】

【答案】卜2-1]

【解析】•.•/(x)=mx3+m；

:(x)=3mx2+2JZX

o

{/(-l)=-m+B=2j=l

由题意得

/(-I)=3m-2w=-3解得以=3,

・./(%)=x3+3-

・/r(x)=3x2+6x=3x(x+2)

由，(x)=3x(x+2)<0得—2<x<0,

所以函数/(x)的单调减区间为(-2°)。

由题意得k'+i]u曰。1,

fN-2

・1+"°,解得一2金三一1。

•.・实数，的取值范围是[y一1]。

答案：[-2T]

/*（X）=X5——.....2x+51n]r（\一

4、设函数2,若对任意的xe[-L2J,都有则实数0的取值范围是

【考点】

【答案】I?）

【解析】..yw=^-y-2x+5

./r(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-l)

.,.当1<X<3或lvx<2时,/'(x)>OJ(x)单调递增;

2.

当3<X<时，/'&)<。,/卜)单调递减。

.〃x)耻=X1)=：

••4o

7

故实数。的取值范围是I2人

3

答案：I2)

5、已知圆锥底面半径为F,母线长是底面半径的3倍，底面圆周上有一点4,则一个小虫尸自4点出发在

侧面上绕一周回到4点的最短路程为.

【考点】

如图，作出圆锥的侧面展开图。

由几何知识可得动点P自A出发在侧面上绕一周回到A点的最短路程为弧所对的弦AA，的长。

设展开图扇形的圆心角为?

••・圆锥底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,

由弧长公式得到2jrr=0-3r,

0=—

解得3.

.4・2、（3内由60。）=3后

答案:3底。

6、已知a>0,函数/（x）=x3-ox在［L+®）上是单调递增函数，则。的取值范围是.

【考点】

【答案】（°斗

【解析】=

.ff（x）=3x3-a

又函数/（x）=X$F在［L对单调递增，

./'（x）=3/30在［小）上恒成立，

即"43x2在［LX°）上恒成立。

又当xe［L+®）时，3X2>3

:.a<3o

又a>0,

.­.0<a<3o

故实数。的取值范围是（°』L

答案：（°用

-----H—=1o=--------

7、若椭圆5m的离心率5,则加=.

【考点】

25

【答案】3或T

a2=51=mc1=5—m二-~~—=—m=3

【解析】试题分析：当焦点在x轴时525，同理可知当焦点

2525

m=———

在y轴时3,所以m的值为3或3

8、已知互不重合的直线兄九互不重合的平面0,广，给出下列四个命题，其中错误的命题是

①若）,则口〃5②若Q_I■尸aLa.bLfi则口_1_方

③若aJ■广，a工则a,Q④若a"#,a//a,则

【考点】

【答案】④

【解析】①中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线以力平行，故正确。

②中，满足条件的直线a力垂直，故正确。

③中，由面面垂直的性质可得，交线。与。垂直，故正确。

④中，直线。与A可能平行，也可能在A内，故不正确。

综上④不正确。

答案：@

直-2=1

9、以双曲线916的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为

【考点】

【答案】（£-5）、，=痣

【解析】试题分析：双曲线右焦点为（59），其中一条渐近线为4x-3j=°,因为圆与渐近线相切，由点

到直线距离公式得半径尸=4.

10、若条件,条件q：x<a,且P是9的充分不必要条件，则0的

取值范围是.

【考点】

【答案】a>2

【解析】由卜区2得_2《》《2。

若P是g的充分不必要条件，则

故a22。

所以实数。的取值范围为［2+°°).

答案忆招>)

11、已知正四棱锥P-4BCD中，底面面积为16,一条侧棱的长为3,则该棱锥的高为.

【考点】

【答案】1

【解析】设正四棱锥P-4BCD的底面边长为。，高为

则有盘2=16,故a=4。

方、［逑T=y

由题意可得<2),解得饱=1。

所113、命题“5£叱0?一欠_200，，的否定是.

【考点】

［答案］-£zx-2>0

2

【解析】由含一个量词的命题的否定可得，所给命题的否定是：3xeA,ax-ax-2>Oo

2

答案：3X€22,£ZK-ax-2>0o

二、解答题(共6题，共30分)

14、设aeK,函数/(x)=lnx-°

(1)求〃x)的单调递增区间；

(2)设/(x)=/(x)+ax2+ax,问尸G)是否存在极值，若存在，请求出极值，若不存在，请说明

理由；

(3)设是函数g(x)=/(x)+。图象上任意不同的两点，线段四的中点为

C(x()，J0),直线4B的斜率为尢，证明：无>£&).

【考点】

【答案】⑴当媒40时，/（X）的单调递增区间为2）；当a>0时，〃x）的单调递增区间为6w）

1n_J__l

（2）a20时，尸（x）无极值；x<0,"x）有极大值V2a2,无极小值.⑶见解析.

【解析】试题分析：

本题考查导数在研究函数中的应用以及不等式的证明。（1）求导后根据导函数的符号判断求解。（2）

由题意得尸（、）=—+皿1求导数后根据函数的单调性求极值即可。（3）由题意要证上>g'（4）,即证

2

2d-%）1n力二

2

“lux,-lu叼x,>々-^+~玉以，即证玉三外+1，令°</<弓，，=匕玉>1

\+玉，即证

血9=2」

故只需证f+1f+1,构造函数根据单调性证明即可。

试题解析:

⑴解：函数的定义域为（°收）上,

/,W=-1-£ZX

由题意得X

①当a«。时,则/（x）>°恒成立，，（x）在（0,+8）上单调递增。

由小）>。，得

②当a>0时,

/（x）的单调递增区间为（°’£）。

综上可得，当a《0时，/（X）的单调递增区间为（一8,2）；当时，〃x）的单调递增区间为

（2）由题意得/（x）=/（x）+£+6=*+方：

2ax2+1

F'(x)=—+2ax=

X

当心0时，恒有『&)>0,k(x)在(。,400)单调递增，故尸(X)无极值;

当avO时，令尸'卜)=0

尸尸'(x)单调递增;

+00

尸«)<。，㈤单调递减

当

=ln

幼时，尸(X)有极大值，且极大值为2a2,无极小值。

...当

无极

综上所述，当a20时，尸(X)无极值；当av°,/(x)有极大值二唠五F

,yew

小值

.=%F=3一皿

(3)证明：由题意得\一演巧一马

成立.

i>0)

15、如图，在平面直角坐标系了②中，椭圆C：/b1的离心率为2,以原点为圆心,

椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-j+2=°相切.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点P(°J%Q(d2),设KN是椭圆C上关于J轴对称的不同两点，直线PM与例相交

于点T,求证：点T在椭圆上.

【考点】

【答案】(1)82(2)见解析

2

【解析】⑴解：由题意知b=&=后.

上皂21

因为离心率e=a=2,所以煤=»I")=2.所以a=2贝.

所以椭圆C的方程为82=1.

Azi

(2)证明：由题意可设M,N的坐标分别为(xO,yO),(-xO,yO),则直线PM的方程为y=/x+1,

①

2

直线QN的方程为丫=-/x+2.②

.3M—4j.3名-4]

(证法1)联立①②解得X=2%-3,y=2%-3,即T12%-32y-3J

金+凌22

由82=1可得/=8—4%.

ifXpY+1[3)0-4丫「,+始九—41

因为82(2y-3j8(2%-3¥

8-4y+4<3%4>96弘+72.8(2%-3)】

=8(生一犷8(2为—3》敝m—3)'=1,所以点丁坐标满足椭圆c的方程，即

点T在椭圆C上.

x3y—4

(证法2)设T(x,y).联立①②解得x0=2j-3,y0=2j~3

空+优耳^•1+耳亡T炉+呀4)2

因为82=1,所以812厂3)2\2y-3)=1.整理得82=(2y-3)2,所以

=十空_二+其

82-12y+8=4y2-12y+9,即82=1.

所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.

16、某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为

80%

半球形，按照设计要求容器的容积为3立方米，且122r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已

知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费

用为y千元.

①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;

②求该容器的建造费用最小时的r.

【考点】

160%99

【答案】①y=4rr(c-2)r2+r,0rW2②当3cW2时，建造费用最小时r=2；当c2时，建造费用最

小时,

—JIr+JI丁I—p

【解析】(1)由体积V=3蝮r・3,解得|=31

・'.y二2nrIX3+4nr2Xc

80-4r3

2-

=6nrX3r+4cnr2

80+(2c-4)产

=2n•r,

又le2r,即22r,解得0VrW2

其定义域为(0,2].

160几

2~

(2)由(1)得，y'=8n(c-2)r-r,

8兀(c-2)r3_20

-----------2--------

=r,0<rW2

由于c>3,所以c-2>0

203l20

当r3-C-2=。时，贝|Jr=VC-2

令=m,(m>0)

8兀(c-2)

(r-m)(r2+rnH-m2)

2

所以y'=r

9

①当0<m<2即c>2时，

当r=m时，=0

当rG(0,m)时，yz<0

当rG(m,2)时，yz>0

所以尸m是函数y的极小值点，也是最小值点.

②当m22即3VcW时，

当rG(0,2)时，V'<0,函数单调递减.

所以r=2是函数v的最小值点.

综上所述，当3<cW时，建造费用最小时r=2；

3p0~

当c>时，建造费用最小时r=1c-2

17、(理)如图，在三棱柱及c-4咐中，阳是边长为4的正方形，平面3CJ■平面4c】c,

AB=3,BC=5.

(1)求证：44,平面网0；

(2)求二面角4一3。1一百的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)25

【解析】试题分析：

本题考查线面垂直的判定和二面角的求法。(1)利用面面垂直的性质证明即可。(2)建立空间直角

坐标系，利用平面的法向量求解。

试题解析：

(1)证明：因为“4GC为正方形，所以44_L4C

又平面/5C-L平面44GC,平面dSCc平面44GC="C,

所以幺,平面用c.

（2）由（1）知阳工配，AA^LAB

又43==RC=5,4C=4,所以4B_L/C

所以4幽4c两两垂直。

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系/一题,

则刀（0,3,0），4（。,0,4）,4（0,3,4）C（4,0,4）

设平面4g的法向量为再=（/xz）,则

｛全4£=03y-4z=0

而4G=。即4x=0

令z=3,则得”=（°＜，）。

同理可得平面玛g的法向量为m=（3＜叫

/-n-m16

83饵阿==^=蒜

所以同网25.

由图形知二面角4—BG一耳为锐角,

16

所以二面角4