2023年辽宁省高考数学模拟试卷及答案解析

2023年辽宁省高考数学模拟试卷

一.选择题(共8小题，满分40分)

1.设集合A={x6Z|x2-3x-4W0},8={xQ2<l},则AnB=()

A.{-1,0,1,2}B.[-1,2)C.{-1,0,1}D.[-1,2]

2.若i为虚数单位，(1+D(a-/)=3+i,则实数a=()

A.2B.-2C.3D.-3

且sina=电，则巴=

3.在直角坐标系x。)，中，角a的终边经过点n)(m>0,〃>0),

5m

()

111

A.-B.—C.一D.2

432

4.设a=305,/?=logo,53,c=0.53.则a,4c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

V5-1V5-1

5.古希腊时期，人们把宽与长之比为0―(丁0.618)的矩形称为黄金矩形，把这个

比值V匕5一-1称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABC£>,EBCF,

FGHC,FGJI,LGJK,均为黄金矩形，若”与K间的距离超过1.7根，C与尸间

的距离小于12机，则该古建筑中A与B间的距离可能是()

(参考数据：0.6182^0.382,0.6183^0.236,0.6184=«0.146,0.6185=0.090,0.6186s«0.056,

0.6187%0.034)

―一15™§

A.28/Z?B.29.2mC.30.8mD.32.5/77

21

6.已知x>0,y>0,且一+一=1,则4x+2)，的最小值为()

y

A.8B.12C.16D.20

7.已知数列{斯}满足：ai=a,祈+1=学学(，£N*),若对任意的正整数〃，都有即>3,

则实数。的取值范围()

A.(0,3)B.(3,+8)C.[3,4)D.[4,+8)

第1页共23页

8.已知函数/（x）=x,g（x）=alnx,其中。＞0,若Vxi€[2,3],3x26[2,3],使得/（犬i）

f（X2）=g（xi）g（X2）成立，则〃=（）

A.丹B.宸C.膘D,禹

二.多选题（共4小题，满分20分）

9.CP/是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目

价格水平变动情况的宏观经济指标.同比一般情况下是今年第〃月与去年第〃月比；环

比，表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比.如图是根据国家统计局

发布的2019年4月-2020年4月我国CP/涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，

则下列说法正确的是（）

A.2020年1月CP/同比涨幅最大

B.2019年4月与同年12月相比较，4月CP/环比更大

C.2019年7月至12月，CP/一直增长

D.2020年1月至4月CP/只跌不涨

10.已知双曲线C过点（3,伪且渐近线方程为〉=士孚X,则下列结论正确的是（）

尢2

A.双曲线C的方程为一-y2=1

3

B.双曲线C的离心率为百

C.曲线y=0-2-1经过双曲线c的一个焦点

D.焦点到渐近线的距离为1

11.下列命题为真命题的是（）

711

A.函数y=x+5在区间[2,引上的值域是[2位，—1

x3

第2页共23页

B.当ac>0时，S.vGR,ax^+bx-c=0

C.幕函数的图象都过点(1,1)

D."-2<x<3”是“(W-2x+4)(7-2X-3)<0"的必要不充分条件

12.关于函数/(x)=2cos2-+2|sin-cos-|-2,则()

A.函数/(x)的最小值为-2

B.函数/(x)的最小正周期为n

C.函数f(x)在［-71,it］上有三个零点

D.函数/(x)在［n,2m单调递增

三.填空题(共4小题，满分20分)

13.已知向量<2=(cos35°,sin35°),b=(cos5°,sin5°),则向量a—2b在a方向上的

投影为.

14.(x+g-4)5的展开式中，所有项的系数和为,f项的系数为.

15.2021年义乌国际马拉松赛，我校要从甲乙丙丁等10人中挑选3人参加比赛，其中甲乙

丙丁4人中至少有1人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案

有.

16.已知直三棱柱ABC-AiBiCj中，NABC=120°,AB=BC=2,CCj=l,则异面直线

AB1与BC\所成角的余弦值为.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)等差数列｛劭｝中，已知0=1,且ai，0，“5构成等比数列.

(1)求通项斯;

(2)设b=二一，非常数列｛d｝的前〃项和为刀”求力八

a71azi+1

第3页共23页

18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+>/3asinC=b.

(1)求角A；

(2)若a=2百—2,且△ABC的面积为2,求边6,c的值.

第4页共23页

19.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=2A。，点E是C£＞的中点.将△AOE沿AE折起,

使得点D到达点P的位置，且使平面平面ABCE.

(1)求证：平面平面PAE-,

(2)求平面FE与平面BC尸所成锐二面角的余弦值.

第5页共23页

20.(12分)已知椭圆C：捻+*=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸”打，点P在C上，

但不在x轴上，当点尸在C上运动时，△PQF2的周长为定值6,且当PFiLFiB时，

3

1^11=1.

(1)求C的方程.

⑵若斜率为k(V0)的直线/交C于点M,N,C的左顶点为A,且%M，-p3成

等差数列，证明：直线/过定点.

第6页共23页

21.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

(1)设抛掷4次的得分为X,求变量X的分布列和数学期望.

(2)当游戏得分为〃(x6N*)时，游戏停止，记得〃分的概率和为0”Q\=\.

①求。2；

②当"CN*时，记A"=Q"+1+如“Bn=Qn+i-Q,n证明：数列｛4｝为常数列，数列｛B"｝

为等比数列.

第7页共23页

22.（12分）已知函数/（x）=（1+x）吴，其中—2.71828为自然对数的底.

（I）试求函数『（X）的单调区间；

（ID若函数g（%）=.:或；。的定义域为R,且存在极小值尻

①求实数a的取值范围；

②证明：_<b<舐.（参考数据：1.64VV^VL65）

23

第8页共23页

2023年辽宁省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分）

1.设集合A={XWZ|7-3X-4W0},B={X|X-2<1},则AA8=()

A.{-1,0,1,2}B.[-1,2)C.{-1,0,1}D.[-1,2]

解：・..集合4="€2*-3工-4忘0}={犬€251忘工44}={-1,0,1,2,3,4},

B={X\X-2<1}={X\X<3}9

：.AQB={-1,0,1,2).

故选：A,

2.若z•为虚数单位，(1+z)(〃-i)=3+i,则实数〃=()

A.2B•一2C.3D.-3

解：由(1+1)(a-z)=〃+l+(a-1)i=3+i.

得解得“=2.

故选：A.

[cn

3.在直角坐标系xOy中，角a的终边经过点尸〃）（m>0,〃>0）,且sina=亏，则/

（）

111

A.-B•—C.-D.2

432

解：方法一：根据任意角的三角函数定义，得二坐,化简得苏=4〃2,

v?nz+nz5

«>0,

n1

*.m=2n,­=—,

m2

方法二：Vsina=m>0,n>0,cosa=-g—,

nsina1

-=tana=----=一.

mcosa2

故选：C.

4.设a=3°$,4=logo.53,c=0.53.则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

解：V3°-5>1,logo,53<logo,51=0,0<0.53<l,

>\a>c>h.

第9页共23页

故选：c.

5.古希腊时期，人们把宽与长之比为上二（上厂“0.618）的矩形称为黄金矩形，把这个

比值♦称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABC。，EBCF,

2

FGHC,FGJ1,LGJK,MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.7m,C与尸间

的距离小于12根，则该古建筑中A与8间的距离可能是（）

456

（参考数据:0.6182^0.382,0.6183-0.236,0.618«=0.146,0.618^0.090,0.618«=0.056,

0.6187比0.034）

A.28/77B.29.2/77C.30.8/??D.32.5m

解：根据题意及图，可知

MKV5-1KJV5-1GJV5-1FGV5-1

KJ2'GJ~2'FG~2'FC~2

各项相乘，可得

MKKJGJFGV5-14

KJGJFGFC_2

MKV5-1

即(--------)4po.618.

FC2

又・・,尸CV12,

・L7

<FC<12,

*0.6184

FCV5-1BC75-1

BC~2'AB~2

各项相乘，可得

FCV5-1

一=(-----)2^0.6182,

AB2

FC

：.AB^

0.618r

第10页共23页

1.717

-----<4B<—

0.6186------0.6182

1.712

----7a30.36,----7a31.41,

0.61860.6182

1.30.36VA8V31.41,

・,•只有选项。符合要求.

故选：C.

21

6.已知4>0,y>0,且一+-=1,则4x+2y的最小值为()

yx

A.8B.12C.16D.20

21

解：因为x>0,y>0,且一+—=1,

yx

则4x+2y=(4x+2y)(-+-)=—+^+8>8+8=16,

yxyx

当且仅当一=2且—+-=1,即x=2,y=4时取得等号，此时取得最小值16.

yxyx

故选：C.

7.已知数列｛〃”｝满足：a\=a,即+|=安手("6N*),若对任意的正整数〃，都有即>3,

则实数”的取值范围()

A.(0,3)B.(3,+8)C.[3,4)D.[4,+°0)

ttn.._5an-8_5(an-l)-3_=5-3,..

解：°”"+i==an-l-^1(即>3),

又y=5IT在区间(3,+8)上单调递增，

9

/.an+\>an>^>ai=。>3,

・・・实数。的取值范围（3,+8）,

故选：B.

8.已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,其中〃>0,若Vxi曰2,3],3x26(2,3],使得,f(xi)

f（X2）=g（xi）g（X2）成立，贝lj〃=（)

\2e

B.

A・援bz2c屋

解：由f（XI）/（X2）=g（xi）g（X2），

俎f（%i）gg）

--=------，

gg）/（x2）

令h（x）-，u（x）=气,

J或巧）一反2）

第11页共23页

所以以")=^^'"(%)=誓’

而h'M=喑土

aln£x

令hf(x)=0,得x=e,

所以2WxWe,h'(x)WO,eWxW3,h'(x)NO,

所以h(x)在(2,e)上单调递减，在(e,3)上单调递增，

2q

而h(e)P\,八(2)=限，%3)=限，且h(2)>h(3),

所以h(x)在［2,3］上的值域为《，岛］,

又“'(X)=>(1久："久］，令〃'(X)=0,得x=e,

所以2MxWe,u'(x)20,eW%W3,u'(x)WO,

所以u(x)在(2,e)上单调递增，在(e,3)上单调递减，

而u(e)=泉u(2)=喈，“⑶=萼，且u(2)<u(3),

所以〃(x)在［2,3］上的值域为［喈，3，

因为Vxi42,31，BX2E［2,3］所以h(x)的值域为u(x)的值域的子集，

fe_>。伍2__

所以仁32解仆焉

、e-aln2'

故选：B.

多选题(共4小题，满分20分)

9.CP/是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目

价格水平变动情况的宏观经济指标.同比一般情况下是今年第〃月与去年第〃月比；环

比，表示连续2个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比.如图是根据国家统计局

发布的2019年4月-2020年4月我国CP/涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，

则下列说法正确的是()

第12页共23页

A.2020年1月CP/同比涨幅最大

B.2019年4月与同年12月相比较，4月CP/环比更大

C.2019年7月至12月，CP/一直增长

D.2020年1月至4月CP/只跌不涨

解：对于4,2020年1月CP/同比涨幅为5.4,涨幅最大，故A正确；

对于8,2019年4月CP/环比为0.1,同年12月CP/环比为0,故4月CP/环比更大,

故3正确；

对于C,很明显9月到12月在下降，故C错误；

对于。，很明显3月到4月在增涨，故。错误；

故选:AB.

10.已知双曲线C过点（3,近）且渐近线方程为、=土*x,则下列结论正确的是（）

x2

A.双曲线C的方程为——y2=1

3

B.双曲线C的离心率为旧

C.曲线y=e-2-1经过双曲线。的一个焦点

D.焦点到渐近线的距离为1

解：由双曲线的渐近线方程为y=土噂x,可设双曲线方程为±-y2=九

33

9

把点（3,夜）代入，得三一2=入，即入=1.

x2

，双曲线C的方程为一一/=1,故A正确；

由〃2=3,y=1,得C=+:2=2,

第13页共23页

22V3

，双曲线C的离心率为.=——，故B错误；

V33

取x+2=0,得x=-2,y=0,曲线y=*2-i过定点(-2,0),故C正确；

L2

双曲线的焦点坐标(±2,0),焦点到渐近线x土遮y=0的距离为^^=1,故。正确.

故选：ACQ.

11.下列命题为真命题的是()

711

A.函数y=x+5在区间［2,3］上的值域是［2位，―］

B.当“c>0时，3x6R,ax^+bx-c=0

C.幕函数的图象都过点(1,1)

D.“-2<x<3"是"(/-2x+4)(x2-2x-3)V0”的必要不充分条件

解：由对勾函数的单调性可知，函数y=x+：在区间［2,3］上是增函数，

11

则其值域为［3,y］,故A错误；

若ac>0,则方程o?+bx-c=0为一元二次方程，其判别式△=呈+4">0,则方程有实

数根，

即当ac>0时，3JTGR,ax^+bx-c=0,故B正确；

基函数的图象都过点(1,1),故C正确；

Vx2-2x+4=(x-1)2+3>0,(x2-2x+4)(x2-2x-3)<0=7-2x-3<0,解得-

l<x<3,

二(，-2x+4)(x2-2x-3)<0,能够得至！I-2<x<3,反之不成立，

即"-2<xV3”是“(f-2x+4)(X2-2X-3)<0"的必要不充分条件，故。正确.

故选：BCD.

12.关于函数f(x)=2cos2-+2|sin-cos-|-2,则()

A.函数/(x)的最小值为-2

B.函数f(x)的最小正周期为n

C.函数f(X)在［-7T,TT］上有三个零点

D.函数/(x)在m，2n］单调递增

解：f(x)=2cos-+2|sin-cos—|-2=cosx+|sinx|-1,

对于选项A,f(x)=cosx+|sinx|-12cosx--I-1—-2,当x—n+2kn,k&Z时，等

第14页共23页

号成立，即选项A正确;

对于选项B,f(x+n)=cos(x+ir)+|sin(x+n)|-1=-cosx+|-sinx|-1=-cosx+|sinx|

-IWf(x),

・・・1T不是f(x)的周期，即选项8错误；

对于选项C,令/(x)=cosx+|siar|-1=0,则原问题可转化为y=cosx-1和y=-|siar|

在［-加用上的交点个数，其图象如下所示，

对于选项D,f考)=cos苧+\sin^-\-1=0+1-1=0,f(2n)=cos2n+|sin2Ti|-1=

1+0-1=0,

A/(y)=/(2n),显然函数f(x)在2n］不是单调递增，即选项。错误.

故选：AC.

三.填空题(共4小题，满分20分)

13.已知向量。=(cos35°,sin35°),Z?=(cos5°,sin5°),则向量a-2b在a方向上的

投影为_1—V3

解：因为a=(cos35°,sin35°),b=(cos5°,sin5°),

所以|a|=l,a-b=cos35°cos5°+sin35°sin5°=cos30°=当,

所以(Q—2b)・Q=Q2—2a•b=1—V5,

TTT

则向量友一2%在:方向上的投影a"二2匕)=［_%.

|a|

第15页共23页

故答案为：1—通.

14.(x+g-4)5的展开式中，所有项的系数和为1,*4项的系数为-20.

解：。+*-4)5的展开式中，令x=l,可得所有项的系数和为1.

。+3-4)5的展开式中，通项公式为T,+1=Cp(x+»-r.(一4)

对于(X+§5-r,通项公式为〃+1=0_//"h2火,

令5-r-2%=4,r=0,1,2,3,4,5,k=0,1,2,…，5-r,

可得r-1>k—0,故/项的系数为c“(-4)、C14°=-20,

故答案为：1;-20.

15.2021年义乌国际马拉松赛，我校要从甲乙丙丁等10人中挑选3人参加比赛，其中甲乙

丙丁4人中至少有1人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案

有84.

解：根据题意，分3种情况讨论：

①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有C；牖=30

种报名方案，

②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有的叱=30

种报名方案，

③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，

有66谶=24种报名方案，

故有30+30+24=84种报名方案.

故答案为：84.

16.已知直三棱柱ABC-4B1C1中，ZABC=120°,AB=BC=2,CC\=\,则异面直线

3

ABi与BCi所成角的余弦值为-.

一5一

解：连接BiC,交BQ于点O,则点。为BiC的中点，取AC的中点Q,连接即、OD,

：.OD//AB\,即为异面直线与BC\所成角.

第16页共23页

Bl

CC1=1,

：.BD=\,OD=^ABi=^-,OB=^BC\=^,

OB2+OD2-BD2泻]_3

在△BOQ中，由余弦定理知，cos/BOO=

2OBOD

,,…,3

故答案为：-

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）等差数列｛斯｝中,已知的=1,且。1，。2,。5构成等比数列.

（1）求通项41/1；

（2）设砥=忌7非常数列｛4｝的前〃项和为T”，求人

解：（1）由题意，设等差数列｛斯｝的公差为止则

。2=1+1，45=1+41,

・C”,。245构成等比数列,

.•・。1。5=境，即1+4"=(1+d)2,

整理，得屋-2d=0,

解得d=0,或d=2,

的=1+2(n-1)=2n-1,Z?GN*,或。〃=1,〃WN*.

（2）依题意，数列｛仇｝为非常数列，则斯=2九7,九WN*,

]_]1_1z__1i______1

故匕=l)r

anan+}一(2n-l)(2n+l)-22n-l2n+l

Tn=b\+历+历+,,,+为

11

(—)

2n-l2n+l

111111

1-+-++■)

2<335---2n—12n+l

=i(1-yi-j-)

22n+l

第17页共23页

n

=2n+l*

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,acosC+aasinC=b.

(1)求角A；

(2)若a=2巡一2,且△ABC的面积为2,求边b,c的值.

解：(1)acosC+y/3asinC=fe,

由正弦定理得：siiL4cosC4-V3sin/4sinC=sinZ?,

又•.•sin5=sin(4+C)=sirbAcosC+cosTlsinC,

V3sinAsinC=cosAsinC,

XVCG(0,IT),・・・sinCW0,

叵

；・tanA=手，又(0,TT),

.n

,•A4-6;

(2)VA=I，

SAABC=qbe-sinA=^bc=2,

•**bc=8.

222

T7..4_b+c-a_73

•cosA-QT-»,

2bc2

：.(b+c)2-2bc-a2=y/3bc,又a=2有-2,bc=8,

+c=4>/2,

*.b=c=2y[2.

19.（12分）如图，在矩形A8C£＞中，AB=24£）,点E是C£）的中点.将△AOE沿AE折起,

使得点D到达点P的位置，且使平面以平面ABCE.

（1）求证：平面平面PAE-.

（2）求平面R1E与平面BCP所成锐二面角的余弦值.

(1)证明：\"AB=2AD,：.AD=DE,

第18页共23页

J.Z.DEA=J,同理4CEB=J,^AEB=J,即BE±AE,

又平面出《_1_平面ABCE,平面以EH平面ABCE=AE,BEu平面ABCE,

平面PAE,

又8Eu平面PBE,

二平面PBEJ_平面PAE.

(2)解：取4E的中点O,连接OP,则。P_L4E,

又平面办E_L平面ABCE,平面MED平面ABCE=AE,

OPu平面PAE,

；.OP_L平面ABCE.

以E为原点，EA,EB分别为x轴，y轴，过点E作PO的平行线为z轴建立空间直角坐

标系Exyz.

设A8=4,则E(0,0,0),A(2V2,0,0),B(0,2鱼，0),P(V2,0,V2),

：.AB=(-2V2,2V2,0),PB=(-V2,2V2,-V2),

：.EC=^AB=(-V2,V2,0),：.C(-V2,V2,0).

：.CB=(V2,V2,0).

设平面BCP的法向量为蔡=(x,y,z),

n-CB—0/

(n•PB=0,

.(V2x+V2y=0,(x+y=0,

・・J即J

(.—■\/2x+2y/2y—&z=0,(—x+2y—z=0,

令x=l,得《=(1,-1,-3).

由(1)知，平面孙E的一个法向量为晶=(0,2企，0),

设平面PAE与平面BCP所成的角为0.

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|EB/|=10x1+2&(-l)+0x(-3)|=质

则cos。=\cos{EB,n)|=

lEBHn|2y2xJl2+(-l)2+(-3)211

平面BAE与平面BCP所成锐二面角的余弦值为一.

11

20.(12分)已知椭圆C：务塔=l(a>b>0)的左、右焦点分别为为，尸2,点P在C上,

但不在x轴上，当点尸在C上运动时，△PF1F2的周长为定值6,且当尸同时,

仍&|=去3

(1)求C的方程.

若斜率为的直线/交于点的左顶点为且心M，成

(2)k(AWO)CM,N,CA,Kk.N

等差数列，证明：直线/过定点.

=3a=2

务蔡所以

(1)解：由题意知c=6,c=1,

b=V3

va2=624-c2

22

所以椭圆。的方程为x丁+-y=1.

43

(2)证明：由题意知，A(-2,0).

设直线/：y=kx+m,与椭圆C方程联立，整理得(3+45)/+8b"x+4"?-12=0.

,-8km

设M(X1，Ji),N(X2，”)，则

4m2-12'

=--3--+--4--/T~

,,,丫1।力值i+m,kx+m%1+无2+4

2(

k^AMM+^A的N=----Fo4--X---+=2------------------X---=2k+TTI-2fc)•)

%i+22/+22+2"%1%2+2(%1+%2)+4―

m—2k-k*2,

所以k=2m,

所以/：y=2/wc+m=m(2x+l),恒过点(一］,0).

21.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

(1)设抛掷4次的得分为X,求变量X的分布列和数学期望.

(2)当游戏得分为〃(X6N*)时，游戏停止，记得〃分的概率和为。”01=1.

①求。2；

②当〃6N*时，记4=Q”+I+3Q”,B"=Q“+I-Q”,证明：数列｛A"｝为常数列，数列｛8”｝

为等比数列.

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解：(1)解：变量X的所有可能取值为4,5,6,7,8,

11

・・♦每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为；，反面向上的概率为；,

22

1dl

：.P(X=4)=(-)4=金，

P(X=5)=盘分=/,

P(X=6)=废钞=不

P(X=7)=或G尸=I，

P(X=8)=竭>=强,

；.X的分布列为：

P45678

X11311

1648416

、11311

E(X)=4x+5x^+6Xg4-7x+8x=6.

(2)①解:得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,概率的和为：。2=1+$尸=

3

4,

②证明：得〃分分两种情况，第一种为得〃-