2023人教版新教材高中数学必修第二册同步练习6

6.4平面向量的应用

A6.4.1平面几何中的向量方法

642向量在物理中的应用举例

基础过关练

题组一向量在平面儿何中的应用

1.已知P是△48C所在平面内一点，且|雨一玩而+近-2可|=0,则△ABC的形

状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C等腰三角形D.等边三角形

2.在直角三角形ABC中,。是斜边AB的中点，尸为线段CD的中点，则吗岁二

（）

A.2B.4C.5D.10

3.侈选）（2022广东深圳第三高级中学月考）在△A8C所在平面内有三点0、N、P,

下列说法正确的是（）

A.若|瓦?匚|赤目泥则点。是△人&7的外心

B.若海+而+觉=0,则点N是AABC的重心

C.若方•丽=丽•丽=丽•方，则点。是△ABC的内心

D若儒+需）♦觉力，且需点i=牌△为等边三角形

4.如图，已知△A8C的面积为14cm2,D,E分别为边AB.BC上的点，且

AD:DB=BE:EC=2：\,AE,CD交于点P,连接BP,贝ljAAPC的面积为

cm2.

c

E

5.已知正方形ABC。中,石、尸分别是CQ、AQ的中点Cb交于点P,连接AP.

用向量法证明:

⑴8£_LC£

(2)AP=AB.

6.如图，在△A3C中/34。=120%3=4。=3,点。在线段BC上，且BD=：DC求:

(1)AO的长；

⑵乙D4C的大小.

RD

题组二向量在物理中的应用

7.（2021福建三明三地三校期中联考）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境,

两个人共提一个旅行包.当两人提着质量为G的旅行包时,夹角为。，两人拉力的大

小都为胤若因则0的值为()

A.30°B,60°

C.90°D,120°

8一艘渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向航行,到达对岸时,

船的实际航程为8km,则河水的流速为（）

A.2V3km/hB.2km/h

C.V3km/hD.3km/h

9.如图，一个力方作用于小车G使小车G发生了40米的位移s,厂的大小为50N,

且与小车的位移方向的夹角为60%是与小车位移方向相同的单位向量，则尸在小

车位移上的投影向量为力/做的功为.

1/F

G四。.

S

-C）

10.如图所示，一条河的两岸互相平行，河的宽度占500m,一艘船从A点出发航行到

河对岸，船航行速度的大小为同=10km/h,水流速度的大小为限二4km/h,设也和v2

的夹角为a0°＜。＜180）

⑴当cos0多大时，船能垂直到达对岸？

⑵当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短?为什么?

11.已知一条河的两岸平行，河的宽度为dm,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自

西向东流速的大小为|M=1m/s,设某人在静水中游泳的速度为力，在流水中实际速

度为V2.

⑴要使此人游的路程最短，且|加二/m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角a

和以的大小；

⑵要使此人游的时间最短，且恒m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角

£和以的大小.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B\•尸是△ABC所在平面内一点，且|雨一玩|-\PB+PC-2同|=0,

A\CB\-\（PB-~PA）+（PC-明|=0,

：.\CB\=\AB+AC\,：.\AB-AC\=\AB+AC\,

两边平方并化简得万•AB=0,：.AC1AB,

...ZBAC=90°,^^ABC是直角三角形.无法判断AABC是不是等腰三角形.故选B.

PA2+PB2_\PA\2+\PB\2_VA2+PB2

2UPC2=_-=PC2

_（京+心2+（定+函2

PC2

_2[PC\2+2PC-（CA+CB＞）+\AB\2

一」町

c2PC-2CD+\AB\2

=2+_|巴_

,4玄•（-2定）+丽2

_iw

=^7-6=42-6=10.

\PC\2

3.ABD对于A,因为=\OB\=I反I，所以点O至（UABC的三个顶点的距离相

等，所以O为△ABC的外心，故A正确.

对于B,设D为BC的中点，由+而+枇=0得2而=—海，所以

|俞|：\ND\=2：1,所以N是"3。的重心，故B正确.

对于C,由而-PB=PB-~PC^（PA-PC）-PB=O^\iCA•丽=0,所以AC_LP3；同理可

得A8_LPC,R1_LCB,所以点P是△ABC的垂心，故C错误.

对于D，由儒j+符）.前=°得角A的平分线垂直于BC,所以A8=AC由瑞•]£j=

3得cosNB4C=|,所以N84Cq,所以△4BC为等边三角形，故D正确.故选ABD.

4.答案4

解析设屈=。嬴="则荏=AB+^'BC=a+hjDC=场+前=^a+b.

•.•点A,P,E共线，点D,P,C共线,

，存在实数2和也使荏=AAE=^a+^b^DP=画=^ia+/ib.

又,而=近+而=(：+词a+她

h=-+-fi,(A=~,

33

.J2解得)I

:•S△pAti=~^S△ABC—14X^=8(0111-),ISAPBC=14X^1——^=2(cm2),

.*••SAAPc=14-8-2=4(cm").

5.证明如图，建立平面直角坐标系％Oy,

不妨设45=2,则A(0,0),Jg(2/0),C(2,2),£(l,2),F(0,l).

W：~BE=~0E-砺=(1,2)-(2,0)=(-1,2),而=0F-OC=(0,l)-(2,2)=(-2,-l)/

：,~BE-CF=-lx(-2)+2x(-l)=0,

：.BEICF.^iBELCF.

⑵设P[x,y),则而=(%,y-l),乔=(%-2,y),

由⑴知方=(-2,-1),屁=(-1,2),

'：FP||而,.•.-尸-2。，-1),即x=2y-2.①

同理，由加||帝，得尸-2%+4.②

f_6

联立①②，解得|二即

・艺咱+(于=4=研

明二而即AP=AB.

6.解析⑴设荏=a,元="则而=荏+而=荏+：前=AB+^(AC-

AB)^AB+-AC=-a+-b.

73333

.*.IAD\2=AD2=(-a+-b^=-a2+2x-a-b+-Z?2=-x9+2x-x3x3x

11\33799999

1

cos1200+-x9=3

9

.,.AD=V3.

⑵设/94。=。(0。＜*120。),则e为而与左的夹角.

.zjAD-AC(|a+|&)-b|ab+32|x3x3x(-1)+|x9

\AD\\AC\V3X33V338

，＞90。,即ND4C=90。

7.B设两人用力分别为尸点2,则因H尸2H凡尸1+同=@,・•・4+F/+2*•尸2=4

又回号|G|,，2回2+2|呼cos又3］砰，

解得cos••.伊=60。.故选B.

8.A如图，设A为渔船,3C所在直线为对岸,A3=4km,实际航程AC=8km,则N

BCA=30°,又|VAB|=2km/h,AIVBCI^VSkm/h,故选A.

9.答案25e；l000J

解析•••|F|=50,且方与小车的位移方向的夹角为60。,.••/在小车位移上的投影向

量为团・cos60%=25e.

•••力尸作用于小车G,使小车G发生了40米的位移，

.•.力厂做的功W=25x40=lOOO(J).

10.解析⑴船垂直到达对岸，即也+也与以垂直，即(也+也)”^,

所以也”+谚=0,即21cos例"»2|2=0,

所以40cos例46=0,解得cos0=-|.

所以当cos时,船能垂直到达对岸.

⑵设船航行到对岸所需的时间为/h,

则t=---=05=―-—.

Wi|sin6lOsin020sin8

故当Q90。时，船的航行时间最短，最短时间为/h.故当船垂直到达对岸时,航行所

需时间不是最短的.

11.解析⑴要使此人游的路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度

与对岸垂直,如图.

此人游泳的方向与水流方向的夹角a