三角形的“心”总结_第1页
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文档简介

三角形的“心”总结1．重心：设是的重心，的延长线交于，则（1）BD=DC（2）；（3），（4）．（5）已知是不共线的三点，是内一点，若．则是的重心．变式：已知分别为的边的中点．则．变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则．2.外心：设⊙（）是的外接圆，于交⊙于，则（1）；（2）或；（3）=；（4）（正弦定理）（5）已知是内一点，满足，则点为△ABC的外心。3.内心：设的内心圆⊙（切边于，的延长线交外接圆于，则（1）;(2)(3)；(4);（5）O是内心的充要条件是变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。4.垂心：设分别是的外心，重心，垂心，于，的延长线交外接圆于，则（1）；（2）与关于成轴对称；（3）⊙⊙；（4）三点共线，且；（5）已知是内一点，满足，则点G为垂心。变式：若H为△ABC所在平面内一点，且则点H是△ABC的垂心5．旁心：设在内的旁切圆⊙（与的延长线切于，则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△中，内切圆⊙分别与三边相切于点，边上的帝切圆⊙与边切于点，且分别与边和这的延长线相切于点、点．设三边、、分别为，分别为，，内切圆半径为，旁切圆半径分别为，外接圆半径为，三角形面积为，则有如下关系式：（1），，；（2）；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）；（5）；（6）7.“心”之间的关系（1）设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为：（2）设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是。（3）△ABC的外心、重心、垂心分别为O、

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