2023北师版-八年级数学下册教学课件-【第1课时 勾股定理及其逆定理】

2直角三角形第1课时

勾股定理及其逆定理北师版八年级数学下册新课导入我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.ABC想一想新课探究（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？

定理

直角三角形的两个锐角互余.

定理

有两个角互余的三角形是直角三角形.ABC∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.bbaaS=a2+b2acbacb小正方形的面积=（a–b）2即c2=a2+b2.=c2–4×ab勾股定理的证明：DEFGHIABCabc如图，在△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.分别以Rt△ABC

的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG.连接EB，CH.EFGMNHIABCabc过点C

作

AB的垂线，分别交

AB

和HI

于点M，N.DEFGMNHIABCabc∵EA=CA,∠EAB

=∠CAH，

AB=AH，∴△EAB≌△CAH（SAS）.DEFGMNHIABCabc又∵S正方形ACDE=2S△EAB，S长方形AHNM

=2S△CAH，∴b2=S长方形AHNM.同理a2=S长方形MNIB.∴c2=a2+b2.D练习

如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.解：根据图形正方形E的边长为:故E的面积为：252=625.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？已知：如图，在△ABC

中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形.ABC证明：如图作Rt△A'B'C'，A'B'C'使∠A'=90°，A'B'=AB，A’C'=AC，则A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理）∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠A=∠A'=90°.因此，△ABC

是直角三角形.ABC

定理

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=2，b=3，c=4.（）（2）a=9，b=7，c=12.（）（3）a=25，b=20，c=15.（）××√练习议一议观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗？

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．再观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.想一想你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.原命题是真命题，逆命题是假命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.随堂演练1.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b，c.2.已知直角三角形的两边长分别为

3，2，求另一条边长.解：当斜边的长为3时，另一条边长当两条直角边长分别为3、2时，斜边长3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果

ab=0，那么a=0，b=0.

解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假，逆命题是真.4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E

为

BC上的一点，且∠BAE=25°，∠CDE=65°，AE=2，DE=3，求AD

的长.解：∵AB∥CD，∴

∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BAE=25°，∠CDE=65°，∴∠EAD+∠

ADE=90°，根据勾股定理，AD2=AE2

+DE2

=22+32=13,∴AD=解：由题意得：(a+b)(a–

b)(a2+b2–

c2)=0，∴a–

b=0或a2+b2–

c2=0.5.已知

a、b、c

是△ABC

的三边长，且满足

，试判断△ABC

的形状.当a=b时，△ABC为等腰三角形;当a≠b时，△ABC为直角三角形.6.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？解：如图，连接

BD.

在Rt△ABD

中，在△BCD

中，BD2

+

BC2

=

52

+

122

=

132

=

CD2.∴△BCD

为直角三角形，