高考复习数学课件

第一节平面向量的概念及其线性运算

若把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，它们的终点组成什么图形？

提示:以所给点为圆心，以1为半径的圆.

若你能给出以为邻边的平行四边形的形状吗?

提示:如图，说明平行四边形两条对角线长度相等，故平行四边形是矩形.

1.下列命题正确的是（）(A)与共线，与共线，则与也共线(B)任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点(C)与不共线，则与都是非零向量(D)有相同起点的两个非零向量不平行【解析】选C.由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，所以应选C.2.已知O、A、B是平面上的三点,直线AB上有一点C,满足则等于（）(A)(B)(C)(D)【解析】选D.根据向量加法的平行四边形法则，3.是A、B、C为三角形三个顶点的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.若点A、B、C共线，则不是三角形，反之，若是三角形，则有4.已知其中,为已知向量，则向量=_______，=______.【解析】由已知得两式相减，化简得代入上面的任一式得答案:1.数学中研究的向量是自由向量两个向量只要它们的模相等、方向相同，它们就是相等向量，而与它们的起点在哪里没有关系.这就为我们应用向量带来方便，可以任意选取有向线段的起点，可以把向量自由平移等.2．向量的线性运算规律向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行.加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”，用字母表示的向量进行线性运算时可以类比多项式加法和数乘多项式进行.3．共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.(2)应用共线向量定理时注意待定系数法和方程思想的运用.(3)利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意强调平面中这些元素的位置关系.

向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确.(1)零向量没有方向；(2)若则(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若共起点,则终点也相同；1(6)若则(7)若四边形ABCD是平行四边形,则(8)的充要条件是且【审题指导】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确.【自主解答】(1)不正确，零向量的方向任意；(2)不正确，说明它们的模相等,但与的方向不一定相同，所以与不一定相等；(3)不正确，单位向量的模均为1,方向任意；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确；(6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确,如图(8)不正确，当且方向相反时，即使也不能得到【规律方法】涉及平面向量的有关概念的命题真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.【变式训练】给出下列命题:(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.(2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.(3)(λ为实数),则λ必为零.(4)λ,μ为实数,若则与共线.其中错误的命题的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.(2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.(3)错误.当时,不论λ为何值,(4)错误.当λ=μ=0时,此时,与可以是任意向量.

向量的线性运算【例2】(2010·四川高考改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）(A)8(B)4(C)2(D)1【审题指导】本题关键是从题中条件找出隐含的条件进而利用向量加减法的几何意义和模的概念求解.2【自主解答】选C.∵∴而故【规律方法】三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；当M为BC中点时，应作为公式记住.【互动探究】试判断本例中△ABC的形状.【解析】设计算时的平行四边形为

ACDB,则由知平行四边形为矩形，∴AC⊥AB，故△ABC为直角三角形.【变式训练】设P是△ABC所在平面内的一点，则（）(A)(B)(C)(D)【解析】选B.因为所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.【例】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，且其中一个三角板ABC为等腰直角三角形，另一个三角板DBE中∠DEB=30°,若则用,表示【审题指导】本题中两个三角形的关系比较密切，充分利用边角的关系及向量的知识解决即可.【规范解答】如图，作DF⊥AB交AB延长线于F点，不妨设AB=AC=1，则又∠DEB=30°,∴BD=又∠DBF=45°,∴FD=BF=【规律方法】在平面图形中进行向量的运算时，要充分利用平面几何的有关知识，注意图形中的线段是如何转化为向量的.【变式备选】若则∠AOB平分线上的向量为（）【解析】选B.分别为方向上的单位向量，是以为一组邻边的平行四边形过O点的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故在∠AOB平分线上，但∠AOB平分线上的向量终点的位置由决定.

共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量与不共线，(1)若求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使共线.【审题指导】证明(1)时，可以考虑证明共线，再说明它们有一个公共点.解答(2)时，利用共线向量定理设出使成立的实数λ，利用方程思想求k.【自主解答】【规律方法】共线向量定理的条件和结论是充要条件，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.提醒：若，是两个不共线的非零向量，则的充要条件是λ=μ=0.这一结论结合待定系数法应用非常广泛.【变式训练】设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，，三向量的终点在一条直线上？【解析】设化简整理得：∵与不共线，故时，三向量的终点在一条直线上．

平面几何知识应用不熟练【典例】(2010·湖北高考)已知△ABC和点M满足若存在实数m使得成立，则m=（）(A)2(B)3(C)4(D)5【审题指导】利用判断M的位置，再利用向量加法的平行四边形法则求m.【规范解答】选B.设D为BC中点，由得∴D、M、A三点共线且M为AD的靠近D的三等分点，∴∴m=3.【误区警示】解答本题易出现两点错误：一是有两向量的和时想不到利用平行四边形法则，二是共线向量定理应用不熟练，无法确定M的位置，导致最终无法求解.解答本类题易犯的错误：1.对平面图形中特殊的点、线段等的性质记忆不准确、不牢固.2.向量关系式反映的平面图形的性质应用错误.【变式训练】在正△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（）（A）1∶2（B）1∶3(C)1∶4(D)1∶5【解析】选B.由即

P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，∵∴△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，所以所求面积比为1.(2011·沈阳模拟）△ABC中，向量所在直线（）（A）垂直于BC（B）平分BC边（C）过△ABC的内心（D）过△ABC的外心【解析】选C.∵与都是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，是一菱形的对角线的对应向量，必平分∠BAC.∴所在直线必过△ABC的内心.2.(2011·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且则△ABC的内角A等于（）（A）30°（B）60°（C）90°（D）120°【解析】选A.由得由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO=60°，故选A.3.(2011·杭州模拟)若A、B、C三点共线，O是这条直线外的一点，满足则m的值为（）（A）1（B）2（C）-3（D）-4【解析】4.(2011·黄石模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量其中若且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）【解析】选A.当λ=μ时，C点在对角线上任一位置均可，排除B、C.当λ=0时，C点在边OB上，排除D.一、选择题（每小题4分，共20分）1.在四边形ABCD中，且，那么四边形ABCD为()(A)平行四边形(B)菱形(C)长方形(D)正方形【解析】选B.由且知四边形ABCD为平行四边形且邻边相等,∴四边形ABCD为菱形.2.已知向量其中、均为非零向量，则的取值范围是（）(A)［0,］(B)［0,1］(C)(0,2］(D)［0,2］【解析】选D.由已知向量是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，||max=2，当这两个单位向量反向时，||min=0.3.(2011·东城模拟)对于非零向量与，“+2=”是“∥”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.“+2=”

“∥”，但“∥”

“

+2=”，所以“

+2=”是“∥”的充分不必要条件.4.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示()(A)向东南航行2km(B)向东南航行km(C)向东北航行2km(D)向东北航行km【解析】选B.如图，∴又∴表示向东南航行km.5.(2011·合肥模拟)如图，已知用,表示则=（）【解析】选B.二、填空题（每小题4分，共12分）6.已知=,=，且||=||=2，∠AOB=60°，则|+|=______.【解题提示】先利用题目条件判断图形的形状，再求解.【解析】由已知，以||、||为邻边的平行四边形是边长为2的菱形，|+|表示该菱形的较长对角线长，∴|+|=答案:7.（2011·中山模拟）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满