空间点直线平面之间位置关系

数学第八章立体几何初步8．4.2空间点、直线、平面之间的位置关系01预习案自主学习02探究案讲练互动03自测案当堂达标04应用案巩固提升学习指导核心素养借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．1.数学抽象：空间中直线、平面位置关系的定义．2．直观想象：用图形语言表示直线、平面的位置关系．1．空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线①定义：把不同在__________平面内的两条直线叫做异面直线．②画法：(通常用平面衬托)任何一个2．空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有________公共点有且只有______公共点______公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α无数个一个没有位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行图形表示3.空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点______公共点有______个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示没有无数1．“直线与平面不相交”就是指“直线与平面没有公共点”吗？提示：不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．2．分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？提示：不一定．如图，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但a∩b＝O.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线没有公共点．(

)(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(

)(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．(

)(4)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．(

)(5)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行.(

)(6)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(

)√×√×××2．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(

)A．SB B．SCC．BC D．AB√3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能√4．正方体ABCD­A1B1C1D1的各个面中与直线A1B1平行的平面有________个．解析：由正方体图形特点，知直线A1B1与平面CC1D1D和平面ABCD平行．答案：2探究点1空间两直线的位置关系

如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以(2)(4)应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”．【答案】

(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(变设问)本例条件不变，在长方体中，所有与直线AB异面的棱所在的直线为________．解析：根据长方体的性质以及异面直线的定义，分析长方体中各棱的位置关系，得到CC1，B1C1，DD1，A1D1.答案：CC1，B1C1，DD1，A1D1空间两条直线位置关系的判定方法判定两条直线是异面直线的方法：(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；(2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)；(3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒直线AB与l是异面直线．已知直线a，b与平面α，满足a∥α，b∥α，则a与b的位置关系是________．解析：如图，在长方体中a∥α，b∥α，a与b相交，b′∥α，则a与b′异面，b″∥α，则a与b″平行，故a与b的位置关系有平行、异面或相交．答案：平行、异面或相交探究点2直线与平面的位置关系[问题探究]可以根据直线与平面的公共点的个数判断直线与平面的位置关系吗？探究感悟：可以.0个公共点时，直线与平面平行；1个公共点时，直线与平面相交；多个公共点时，直线在平面内．(2021·通化高一检测)下列命题正确的是(

)A．一条直线与这个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平面外的两条平行直线中的一条直线与这个平面平行，则另一条直线也与此平面平行D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面√【解析】

对于选项A：一条直线与一个平面平行，它和这个平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面，故错误；对于选项B：平行于同一个平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；对于选项C：平面外的两条平行直线中的一条直线与这个平面平行，则另一条直线也与此平面平行，正确；对于选项D：与两个相交平面的交线平行的直线，可能平行于这两个平面，也可能在平面内，故错误．判断直线与平面之间位置关系的方法(1)判断直线在平面内，需找到直线上两点在平面内，根据基本事实2知直线在平面内．(2)判断直线与平面相交，根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点．(3)判断直线与平面平行，可根据定义判断直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判断直线与平面平行．1．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是(

)A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数个点都在平面外C．直线上有无数个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数个点都在平面外．√2．在如图所示的正方体ABCD­A′B′C′D′中，(1)与AB所在直线平行的平面有________个；(2)与A′B所在直线平行的平面有________个．解析：(1)与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；(2)与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′.答案：(1)2

(2)1探究点3平面与平面的位置关系已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(

)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．以上都不对√【解析】

如图，可能会出现以下两种情况：(变条件)在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．两个平面的位置关系的两种判断方法(1)定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．(2)借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．若α∥β，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中真命题的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4√解析：由α∥β，a⊂α，可知a∥β，因此②④正确．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，令A1B1为a，平面ABCD为β，平面A1B1C1D1为α，则a⊂α，α∥β，显然β内的直线BC⊥A1B1，所以①③不正确．故选B.1．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有(

)A．l∥α B．l⊂αC．l与α相交 D．以上都有可能解析：由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在平面α外，故l与α相交．故选C.√2．正方体的六个面中相互平行的平面有(

)A．2对 B．3对C．4对 D．5对解析：由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．故选B.√3．(多选)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中(

)A.CD∥GH B．AB与EF异面C．AD∥EF D．AB与CD相交√√√解析：把展开图还原成正方体，如图所示．由正方体的性质得CD∥GH，AB与E