新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数图象的对称性（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C2．C【解析】【分析】根据函数图象，应用五点法求得，结合余弦型函数的性质求单调区间、解不等式判断A、B、C，代入法判断对称轴.【详解】由题设，，则，故，若，则，由，则，，由，满足要求，不妨设，所以；若，则，由，则，，由，满足要求，不妨设，则.综上，，B错误；令，，可得，，所以递增区间为，，A错误；，则，，所以，，当有，C正确；，故不是对称轴，D错误.故选：C3．C【解析】【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．【详解】由对A项的最小正周期为，故A错；对B项的最大值为，故B错；对C.项当时，有，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确；对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错．故选：C4．B【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；由函数的图象关于轴对称，所以，即，因为，所以当时，取到最小值.故选：B.5．B【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解．【详解】解：，将函数的图像向左平移个单位，得到，因为该函数关于轴对称，所以，，解得，，又因为，所以的最小值为．故选：B．6．A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.【详解】因为是上的奇函数，则，所以，，因为的图象关于直线对称，则，可得，当时，，因为函数在区间内是单调函数，则，解得，所以，，，故，因此，.故选：A.7．D【解析】【分析】根据振幅即可得到，再由可得，再由特值可得，可得，根据题意由的图象关于直线对称可得，即可得解.【详解】根据函数的部分图象，可得，，∴．再结合五点法作图，可得，求得，故．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若满足，则的图象关于直线对称，故，即，，故的最小值为，故选：D．8．D【解析】【分析】是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值．【详解】任意实数都有恒成立，是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值．故选：．9．A【解析】【分析】利用平移变换得出，再由对称轴的性质得出，，结合得出的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象对应的函数为因为函数的图象的一条对称轴是直线所以，解得，，又所以当时，取最小值，为故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合得出的最小值.10．B【解析】【分析】对①、②、③、④一一分析：对于①用代入法验证；对于②用函数的周期验证；对于③求单增区间验证；对于④利用相位变换验证.【详解】对于①：因为时，，所以直线不是图象的一条对称轴，所以①不对．对于②：因为的最小正周期为，所以使得恒成立时，即，而时，，所以②不对．对于③：因为时，，所以在区间上单调递增，所以③正确．对于④：因为函数向右平移个单位得到函数，所以④不对．综上所述，真命题的个数为1．故选：B．【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．11．C【解析】先由题意得出的表达式，易知是奇数，再根据选项求出的解析式，判断在上是否单调即可.【详解】解：，关于对称，又，关于对称，设的周期为，，而，；对A，当时，，又关于对称，，解得：，又，，，当时，，显然不单调，所以A错误；对B，是奇数，显然不符合；对C，当时，，又关于对称，，解得：，又，，，当时，，显然单调，所以C正确；对D，是奇数，显然不符合.故选：C.【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对。的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12．B【解析】【分析】利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间.【详解】因为，若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合；若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案；故选B.【点睛】对于正弦型函数，对称轴对应的是函数的最值，这一点值得注意.13．C【解析】【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.【详解】可设满足,且（）,则,注意到五点作图法的最左边端点为,而,,故有,,当时，，，此时；当时，，，此时,故选：C．14．B【解析】【分析】先化简函数得，然后逐个分析判断即可【详解】解：，对于A，的最小正周期为，所以A正确；对于B，在区间上是减函数，所以B错误；对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，故选：B15．B【解析】由可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求，然后代入即可求解．【详解】解：由f（﹣x）＝f（+x）可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，,故.故选：B．【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．16．A【解析】【分析】由对称中心得到(k∈Z)，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，从而求得的值.【详解】,解得,(k∈Z)若,则，解得；若，则，解得；故，或，如图所示，经检验符合题意.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.17．D【解析】【分析】由可得解.【详解】令，得，故函数图象的对称中心的坐标为.故选:D.18．D【解析】【分析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令，可得．所以当时，，故满足条件，当时，，故满足条件；故选：D19．C【解析】【分析】A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为；B：f(x)的对称中心处函数值为零；C：f(x)的对称轴过函数图像最高点或最低点；D：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断﹒【详解】A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为，∴f(x)的最小正周期T＝，A正确；B：f(－)＝2cos[3×(－)－]＝0，所以(－，0)是f(x)的中心对称，B正确；C：f()＝0，所以f(x)关于(，0)中心对称，C错误；D：将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移变为y＝2cos3(x－)＝2cos(3x－)，D正确﹒故选：C．20．A【解析】【分析】先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，再由图象的平移可得的图象，由的图象的对称轴列方程结合即可求得的最小值.【详解】，所以，因为函数的图象关于对称，所以，所以，因为，所以时，最小，故选：A.21．B【解析】【分析】根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.【详解】因为，所以选项A错误；因为，所以选项B正确；因为，所以选项C错误；的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.22．D【解析】【分析】解方程即得解.【详解】解：令，令，所以函数的一个对称中心的坐标是.故选：D23．C【解析】【分析】根据正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)求出函数y=tan(3x+)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；令3x+=，解得，k∈Z；所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；当k=3时,C正确，故选：C.24．B【解析】【分析】根据三角函数的对称性，带值计算即可.【详解】根据题意，，即，解得；当时，取得最小值.故选：B.25．C【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．26．B【解析】【分析】代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断③；根据单调区间可判断④.【详解】对于①，因为函数，所以，函数不是偶函数，故①不正确；对于②，时，，所以函数图像关于对称，故②正确；对于③，将的图像向右平移个单位，得到，故③不正确；对于④，，由，解得，当时，，当时，，所以在区间内的单调递增区间是和，故④正确.所以②④正确.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.27．D【解析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.【详解】由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且为单调递减时的零点，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由图象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，∴A错，令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，令2x,则x，则C错，令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．28．C【解析】根据二倍角公式及诱导公式可得，结合正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】函数，由于，即是奇函数，故A错误；的最小正周期为，故B错误；由于为最值，即曲线关于对称，故C正确；由于，，，故D错误；故选：C.29．D【解析】【分析】由三角函数平移变换可得平移后函数为，根据对称性得到，结合可得所求最小值.【详解】将向左平移个单位长度得：，图象关于原点对称，，解得：，又，当时，取得最小值.故选：D.30．C【解析】【分析】由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.【详解】因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；又，且，解得，当时，不满足，当时，符合题意，当时，符合题意，当时，不满足，故C正确，D不正确，故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.31．C【解析】【分析】根据五点作图法可构造方程求得，得到；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于可构造方程求得，由此确定最小值.【详解】根据五点法作图知：，解得：，；将向右平移个单位得：，图象关于对称，，解得：，由，可令得的最小值.故选：C.【点睛】方法点睛：根据余弦型函数的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.32．D【解析】【分析】令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到,进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到的取值范围，进而得到的取值范围.【详解】令，当时，，的图象如图所示，由对称性可知，∴,又∵，∴，,故，∴,故选：.33．D【解析】【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数，可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；由可得，即，可知在区间上的零点为，故B错误；由，可知为图象的一条对称轴，故D正确．故选：D34．A【解析】【分析】写出平移后的解析式，代入对称点坐标可求得．【详解】由题意平移后函数式为，又新函数图象关于点对称，所以，而，所以的最小值为．故选：A．35．C【解析】【分析】由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.【详解】函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；当时，，可知为增函数，故③正确；将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.故选：.【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.36．CD【解析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．【详解】解：函数的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，可得当，时，，当，时，，可得的对称轴方程为，，当或，时，取得最小值；当且仅当时，，的最大值为，可得，综上可得，正确的有．故选：．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．37．AC【解析】分别求出函数的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误.【详解】对于A选项，令，解得，则函数的定义域是，A选项正确；对于B选项，函数的最小正周期为，B选项错误；对于C选项，令，解得，则函数的单调递增区间是，C选项正确；对于D选项，令，解得，则函数的对称中心为，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题.38．BD【解析】【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，∴关于轴对称，∴，即，故当时，；当时，；故选：BD39．CD【解析】【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.【详解】由图知：且，则，∴，可得，又过，∴，得，又，∴当时，.综上，.A：代入得：，故错误；B：代入得：，故错误；C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；D：，故正确；故选：CD【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.40．（2）（4）【解析】【分析】首先根据函数的图象，求函数的解析式，再根据图象变换规律求函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可判断.【详解】由图象可知，，解得：，，解得：，,因为，所以，所以，的图像上所有点的横坐标伸长到原来的，得，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得当时，，所以不是函数的对称中心，是函数的对称轴，故（1）错误；（2）正确；当时，，所以在区间上单调递增，在单调递减，故（3）错误；若，则是函数的最大值和最小值点，所以，故（4）正确.故答案为：（2）（4）41．8【解析】【分析】由于函数与都关于点成中心对称，结合图像以为中心的两个函数有8个交点，利用对称性得解.【详解】设，，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．显然，以上两个函数都关于点成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，函数在上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．函数在上函数值为负数，且与的图象有四个交点、、、，相应地，在上函数值为正数，且与的图象有四个交点、、、，且：，故所求的横坐标之和为8，故答案为：8．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解42．（答案不唯一）【解析】【分析】先根据二倍角公式将函数进行化简为，再整体法求出对称中心即可．【详解】得，故图象的对称中心为（）当k=1,其一个对称中心为故答案为：（答案不唯一）43．②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.44．①④②③（答案不唯一）【解析】【分析】由①的周期为，得到，再由④的图象关于直线对称，求得判断；再如：由①的周期为，得到，再由③的图象关于点对称，求得判断.【详解】解析：答案不唯一，比如：①的周期为，则，函数．若再有④的图象关于直线对称，则取得最值，又因为，所以，所以，所以，所以，此时②③成立，故①④②③．再如：若①的周期为，则，函数，若再有③的图象关于点对称，则，又因为，所以，所以，此时②④成立，故①③②④．故答案为：①④②③（答案不唯一）45．①②③【解析】【分析】直接利用三角函数的性质，函数的单调性，对称性，函数的周期的应用判断①、②、③、④的结论．【详解】解：函数，对于①，函数，故①正确；对于②，由于函数，故②正确；对于③，当时，，故③正确；对于④，函数和都不是单调函数，故④错误．故答案为：①②③．46．(1)(2)对称轴：，对称中心：(3)【解析】【分析】（1）由函数图象变换结论求得函数的解析式；（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；（3）求条件可得，由此可求的取值范围.(1)，即.(2).即对称轴为又.即对称中心为：(3)当时，，解得.又即的取值范围为.47．(1)表格见解析，图象见解析(2)【解析】【分析】（1）利用解析式以及五点作图法即可