新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 函数模型及其应用（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】根据表中数据，计算的值，进而得到的值，根据题意得出纯利润与的函数关系，求解一元二次函数的最值即可.【详解】解：由表格中数据可得，，，∴，解得，∴回归方程为，纯利润为，故当时，有最大值为19，即最大的纯利润为19万元．故选：C．2．B【解析】【分析】作出高线，设EF=x，表达出高，四边形DCEF面积，配方求出最大值.【详解】过点F作FG⊥BC于点G，因为DCEF，所以△AEF是等边三角形，设EF=x，，则AF=x，BF=2-x，所以，所以四边形DCEF面积为,故当时，取得最大值，最大值为.故选：B3．D【解析】【分析】先得到两个正三角形面积之和的表达式，再对其求最小值即可.【详解】设一个正三角形的边长为，则另一个正三角形的边长为，设两个正三角形的面积之和为，则，当时，S取最小值.故选：D4．B【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，可判断A选项；解不等式可判断BD选项；将代入函数解析式，可判断C选项.【详解】将点的坐标代入，可得，将点的坐标代入可得，解得，所以，，A对；当时，由可得，此时；当时，由可得，此时.故不等式的解为，所以，注射一次治疗该病的有效时间长度为小时，B错D对；注射该药物小时后每毫升血液含药量为（微克），故C正确.故选：B.5．C【解析】【分析】分、、三种情况讨论，求出的边上的高，结合三角形的面积公式可得出的表达式.【详解】，则，易得，，所以，，则.当时，点在线段上（不包括点），则，此时，；当时，点在线段上（不包括点），此时；当时，点在线段上（不包括点），此时，则，则.故选：C.6．B【解析】【分析】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，根据题意求出的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结果.【详解】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，则，即，当时，，当时，，当时，，所以，解得，所以艾世宗一家年共用水.故选：B7．A【解析】【分析】设阴影部分的长xdm，空白部分面积ydm2，由矩形面积公式有y=(x+4)-72，应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.【详解】设阴影部分的长为xdm，则宽为dm，四周空白部分的面积是ydm2.由题意得：y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56，当且仅当x=，即x=12时等号成立.故选：A8．D【解析】【分析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价．【详解】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．故选：D．9．C【解析】【分析】根据题意表达出第二次稀释后桶中药液含量，列出不等式，求出体积的范围，再表达出第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过，根据体积的取值范围，求出最值.【详解】第二次倒出后桶中剩余农药升，则，即，解得：，又，∴.第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过，∵，∴，故选：C.10．B【解析】【分析】将火箭的最大速度8100代入中，结合对数、指数运算即可求得答案.【详解】由题意可得，将火箭的最大速度8100代入中，得：，即，所以，故，故选:B11．C【解析】【分析】将与39代入，作差后得到，进而求出C大约增加了60％【详解】当时，，当时，，则，所以C大约增加了，即C大约增加了60％故选：C12．B【解析】【分析】利用对数运算即可求解.【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，根据题意得＝，解得，，解得，所以因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.故选:B.13．B【解析】【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.【详解】由题意，设年平均增长率为，则，所以，故年平均增长率为20%.故选：B14．D【解析】【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．【详解】设初始状态为，则，，又，，即，，，，，．故选：D．15．A【解析】【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，求出的值，解方程即可求解.【详解】由题可知加密密钥为，由已知可得，当时，，所以，解得，故，显然令，即，解得，即．故选：A.16．A【解析】【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的，故选：A.17．C【解析】【分析】根据对数的换底公式运算可得结果.【详解】.故选：C．18．D【解析】【分析】由题意结合对数的运算可得喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度，即可得解.【详解】因为，所以当时，可得即，当时，可得即，所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍.故选：D.【点睛】本题考查了对数函数的应用，考查了运算求解能力，准确理解题意、细心计算是解题关键，属于基础题.19．B【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（为正整数）由基本不等式，得当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．20．B【解析】【分析】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，由声强级得，，求出相除可得答案.【详解】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，所以，，，解得，所以，，解得，所以，两式相除得，则普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选：B.21．B【解析】【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.22．B【解析】根据已知数据和函数关系式直接计算．【详解】，故选：B.【点睛】本题考查函数的应用，属于基础题．23．D【解析】【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由，得因为，所以，即，解得，所以【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．24．C【解析】【分析】首先建立生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式，根据的值结合参考数据求得.【详解】每经过5730年衰减为原来的一半，生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为.现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，由题意可得，.因为，所以.故选：C25．C【解析】【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,则当时,元,不符合题意;当时,,令,解得,符合题意；当时,,不符合题意.综上所述:此户居民本月用水量为15.故选：C.26．B【解析】【分析】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解.【详解】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以所求，由，即，所以，即，所以，因为，所以最小为，所以至少经过小时才可以驾车，故选：B.27．B【解析】【分析】利用时来求得的值，进而判断出三个说法的正确性.【详解】初始状态下，，，即废气中的污染物浓度为，则时，，则，解得，故①错误；当时，，此时消除的污染物为原来的，故②错误；当时，，故③正确.故选：B28．C【解析】【分析】根据题意将或代入表达式即可求解.【详解】由题意可知，，，可得，所以，故该品牌牛奶在的保质期是80天.故选：C【点睛】本题考查了函数模型的应用，考查了分析能力以及基本运算求解能力，属于基础题.29．C【解析】【分析】根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.【详解】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，由题意得解得∴故选：C30．C【解析】求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.【详解】设年产量为x千台，当年的利润为y万元，则由已知有，即，当时，由二次函数的性质可知当时y取最大值950，当时，.当且仅当时，y取得最大值1000，又，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.故选：C31．A【解析】【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则，整理可得：，，，，，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.32．B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为，，故至少需要志愿者名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.33．B【解析】【分析】由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则（）．∵，∴，即，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．故选：B．34．D【解析】【分析】依题意可得，所以转化为求的最大值即可得到答案.【详解】，固定，可知最大时，最小，保温效果最好，对于型玻璃，，对于型玻璃，，对于型玻璃，，对于型玻璃，，经过比较可知，型玻璃保温效果最好.故选：D.【点睛】本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题.35．C【解析】【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可．【详解】由题意可知，，，故提升了，故选：C．36．C【解析】【分析】由图可知函数的函数值既可以为正，也可为负，结合选项分析即可得到答案.【详解】解：由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a+blnx模型进行拟合，而选项A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图.故选：C.【点睛】本题考查利用散点图选择模型拟合，考查学生的观察能力，是一道容易题.37．A【解析】【分析】根据表格数据列方程组解出未知数，即可求得.【详解】根据表格可得：，根据三月和四月的数据可得：，解得：所以，.故选：A38．C【解析】【分析】作出三个函数的图象，由此可得出结论.【详解】观察函数、、在区间上的图象如下图所示：函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数的图象递减速度比较平稳．故选：C.39．B【解析】【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B40．A【解析】【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，则.要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.故选：A41．AD【解析】【分析】设投资总额为a元，分别求出甲、乙经历一次涨停与一次跌停后的资金数，即可判断；【详解】解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：元，乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：元，故选：AD.42．ACD【解析】【分析】甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；设的坐标为，由题得，则有，解可得，所以选项C正确；当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.【详解】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，设的坐标为，在区间和，20上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，则有，在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，则，则有，解可得；即点的坐标是，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.故选：ACD43．ABD【解析】根据优惠规则计算应付款项，判断各选项．【详解】购物总额为78元，则应付款为元，A正确；购物总额为228元，则应付款为元，B正确；购物总额为368元，则应付款为元，C错误；购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有元对应购物额度为，因此购物总额为元，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于300元，计算时需先计算300元应付270元，多于300元的乘以0.8，这才是正确结论，不能全部乘以0.8．44．AC【解析】【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，则A正确，B错误，然后根据、得出，最后通过求出、即可得出C正确、D错误.【详解】因为在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，所以易知是减函数，结合复合函数的单调性可知，A正确，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；，，则，，故，C正确，，D错误，故选：AC.45．3【解析】【分析】设注射后小时前向病人的血液补充这种药，由题设可得关于的不等式，从而可求的范围，故可得正确的答案.【详解】设注射后小时前向病人的血液补充这种药，则，故.故答案为：3.46．【解析】【分析】设运输里程为,运费为元，当时,;当时,,由此得出函数关系式即可;【详解】设运输里程为,运费为元.则即,故填:,【点睛】本题考查函数的解析式表示法中的分段函数，属于基础题.47．.【解析】【分析】因为，所以,两边取以为底的对数，即可求出t.【详解】因为，所以，两边取以为底的对数，所以．【点睛】本题主要考查了指数式的运算，以及两边取对数的方法，属于容易题.48．176【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额的最大值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设日销售额为，①当，时，，故当或11时，最大值为；②当，时，，故当时，最大值为，综合①②知，当或11时，日销售额最大，最大值为.故答案为.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与性质，分别求得函数的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.49．75【解析】【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数.【详解】由已知，得，∴．设经过天后，一个新丸体积变为，则，∴，∴，．故答案为：75.50．8【解析】【分析】设原有溶液a，含杂质2%a，经过n次过滤，含杂质2%a×(1－)n，建立不等式，求解即可.【详解】设原有溶液a，含杂质2%a，经过n次过滤，含杂质2%a×(1－)n.要使n次过滤后杂质含量不超过0.1%，则×100%≤0.1%，即≤，n≥≈7.3878，所以至少应过滤8次．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，指数不等式的解法，属于中档题.51．（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以，解得，当时，，当时，.所以（2）①当时，，所以；②当时，，由于，当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．52．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）设年增长率为，根据题意可得出关于的等式，进而可解得的值，即可得解；（2）设已植树造林年，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解；（3）设至少需要植树造林年，列出关于的不等式，结合指数与对数的转换关系以及换底公式可求得结果.【详解】（1）设年增长率为，则，即，解得，因此，森林面