新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 数列求和-倒序相加法求和（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．B【解析】【详解】由于，故原式.点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变量的和为，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为，依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数，通过计算可知，手尾两项的和为，由此求得表达式的值.2．B【解析】【分析】根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.【详解】由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.又因为，所以n＝14.故选：B3．D【解析】化简函数的解析式，利用数列的和，求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】因为，由，得，又也满足上式，所以，则为常数，所以数列为等差数列；所以，.则数列的前项和为，记，则，所以，因此.故选：D．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先由数列的前项和确定数列是等差数列，得出为定值，结合诱导公式，推出为定值，利用倒序相加法，即可求解.4．B【解析】【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【详解】依题意，记，则，又，两式相加可得，则.故选：B．5．C【解析】【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C．6．D【解析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和.【详解】因为函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.7．C【解析】先根据已知条件求出，再利用倒序相加法求和即可.【详解】解：，，即，设，①则，②则①＋②得：，故.故选：C.8．D【解析】【详解】试题分析：，所以原式.考点：函数求值，倒序求和法.【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即.9．A【解析】【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.【详解】∵，∴．∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选:A10．C【解析】根据拐点的定义，求出对称中心，然后运用倒序相加法求值.【详解】，，令，得，且，关于点对称，，故选:C【点睛】本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.11．D【解析】【详解】等比数列满足即2020故选：D【点睛】本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.12．A【解析】【分析】由条件结合对数运算性质可求，再结合倒序相加法求，利用裂项相消法求.【详解】，∴，，∴，故选：A．13．C【解析】【分析】利用累加法即可求出通项公式．【详解】解：∵，则当时，，……，，∴，化简得，又，∴，经检验也符合上式，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．14．D【解析】【分析】由题意可得的图像关于点对称，函数的图像也关于对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案.【详解】函数满足，的图像关于点对称，而函数的图像也关于对称，设令，则，，令，则，，，故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.15．B【解析】由已知可得出，可推导出，利用倒序相加法可求得数列的前项和.【详解】由于函数为奇函数，则，即，，，所以，，因此，数列的前项和为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的倒序相加法，解本题的关键在于利用奇函数的性质推导出，进而得出，根据此规律结合倒序相加法求解.16．A【解析】【分析】根据课本中推导等差数列前项和的方法，运用倒序相加法来求解【详解】令

①则

②①②可得：故选【点睛】类比等差数列前项和的求法，代入角度后列出和的表达式，采用倒序相加法来求出结果，在计算过程中还运用了两角差的余弦公式，本题只要理解方法不难解答17．C【解析】【详解】∵正数数列是公比不等于1的等比数列，且∴，即.∵函数∴令，则∴∴故选C.点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若，则；函数中主要利用对称中心性质：若关于对称，则.18．A【解析】【分析】根据函数解析式可验证出，采用倒序相加法可求得结果.【详解】，，令，则，两式相加得：，.故选：.【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定为常数.19．C【解析】【分析】设，得到，再利用倒序相加求和得解.【详解】解：函数，设，则有，所以，所以当时，，令，所以，故．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据已知条件灵活选择方法求解.20．B【解析】【分析】先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.【详解】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．21．C【解析】【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【详解】由已知，数列通项，所以，所以，所以.故选：C.22．C【解析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：，∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.23．A【解析】【分析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.【详解】由题可知：令又于是有

因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.24．D【解析】【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，圆，圆，相减可得直线的方程为：圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，，．的所有项的和为．故选：D【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.25．B【解析】【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数故，代入得：

∴函数关于点对称，令，则，得到．∵，倒序相加可得，即，故选B．【点睛】本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解．属难题26．【解析】【分析】根据函数的解析式，求得，结合倒序相减法，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，可得，则，可得，所以，即数列的通项公式为.故答案为：.27．【解析】【分析】由题得，设,考虑一般情况，，即得解.【详解】由题得,，两式相加得，考虑一般情况，设,则所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.28．【解析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知，再利用倒序相加法求和.【详解】，，，，，，…，，，，.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到，然后利用倒序相加法求和.29．【解析】【分析】由题设函数式易得，再由，应用倒序相加得，即可求数列的前2020项和.【详解】∵，又，∴，∴，∴.故答案为：30．4【解析】由，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出的关系，可得出答案.【详解】由.所以，且a，b均为正实数.则当且仅当时取等号.故答案为：4.31．0【解析】【分析】由函数的解析式可得，由倒序相加法可得答案.【详解】由题意，所以由

①则

②由①+②得所以故答案为：032．【解析】【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.【详解】由题设，，所以，即且n≥2，当时，，当时，，所以，故答案为：.33．【解析】【分析】根据可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，继而得的表达式，采用错位相减法可求得数列的前n项和.【详解】由得，，由，得，故，故，所以，则，两式相减得：故，故答案为：34．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.（2）因为，所以，所以.（3）由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.35．（1）

1

（2）

（3）

证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件以及对数运算法则化简即可；（2）利用倒序相加求和法得到结果；（3）先化简，再放缩，最后根据裂项相消法求和，即证得不等式。【详解】（1），是函数的图象上的任意两点，，，且时，（2），，，①，②由①②，得：，，故；（3），，，，是单调递增数列，，所以，.【点睛】关键点睛：本题考查函数值的求法，考查数列前项和的求法，考查不等式的证明，解答本题的关键是观察出，由倒序相加法求和，由，放缩后裂项相消法可求和，属于压轴题.36．【解析】【分析】由题得，所以….①….②，两式相加即得解.【详解】因为，.故….①….②①+②，得，.所以数列的通项公式为.37．（1）；（2）若时，；若时，=；（3）【解析】【分析】（1）使用裂项相消法求和法；（2）时，转化为等差数列求和；时，用乘公比错位相减法求和；（3）当为偶数时，转化为等差数列求和；当为奇数时，为偶数，使用上面的结果求出，然后再加上第项即可.【详解】解（1），．（2）若，则；若，

①．

②，得．．（3）当为偶数时，．由，可知，；当为奇数时，．，.符合；综上，【点睛】这三小题是数列求和的常见形式，应切实把握．尤其是第（2）小题，在时，乘公比，错后一项，相减，然后应用等比数列求和公式求和，环环相扣．既要注意求和时的项数，还要留意符号，稍有不慎，就可能算错，应通过适量练习，学好这种算法．第（3）小题是正负相间的波动数列求和的例子，用的是配对求和的方法．这种方法常常很有效，对奇数情形的处理策略是将其转化为已经解决过的偶数情况.属于中档题.38．(1)(2)(3)充分不必要条件【解析】【分析】（1）根据所给定义计算可得；（2）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简即可得结果.（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；(1)解：序列为1，2，3，，，，即8，．(2)解：时，时，．时，，时，，，取时，，取时，①，则②，①②得，所以．由序列为1，2，，，可得．(3)解：序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立．例如取序列为：，，，2，1，满足．因此是的充分不必要条件．39．(1)(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可.（2）首先根据题意得到，再利用倒序相加求解即可.（3）当时，显然成立，当时，根据，利用缩放法证明即可.(1)因为为奇函数，定义域为，所以，所以.当时，故是奇函数．综上．(2)，.令，则，两式相加得：，所以.故.(3)因为当时，所以不等式成立.当时，因为所以综上，当，恒成立．40．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用指对恒等式化简得，利用二次函数的性质求值域.（2）通过验证，利用倒序相加法求值.（3）设，，则方程等价于，故有零点，即求的值域.(1)若，当上函数为增函