2022年湖南省永州市中考数学模拟试题（含答案）

2022年湖南省永州市中考第一次模拟考试

数学试题

(时量：120分钟分值：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要

求的。

1.-2020的倒数是

A.-——B.-2020C.2020D.—!—

20202020

2.下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是

3.我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截止2021年6月5日，免要接种数量已超过700000

000剂次。数据700000000用科学计数法表示为

A.0.7XK)9B.0.7xl08C.7xl08D.7xl()9

4.下列计算正确的是

A.a2-a3=abB.(a=cr—2b2C.(ab?)=aWD.5a—2a—3

5.如图，点A,B,C在(DO上，Zl=40°,ZC=25°,则NB=

A.100°B.70°C,55°D.650

6.某中学九年级(1)班6位同学在课间体直活动时进行一分钟体绳比赛，成绩(单位个)如下：122,146,134,

146,152,121,这组数据的众数和中位数分别是

A.146,140B.152,134C.146,146D.152,140

7.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是

8.如图，AABC中AB=AC,AD是NBAC的平分线，已知AB=5,AD=3,则BC的长头

A.5B.6C.8D.10

9.下列说法，①三角形的三条高一定都在三角形内，②三角形的中位线平行且等于第三边的一半；③如果两个

角的和是90。，那么这两个角互余；④A,B两点间的距离指的是连接A,B两点的线段，其中正确的个数有

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图所示，将形状、大小完全相同的'"'和线段按摇一定规律摆成下列图形，第1幅图形中”•”的个数为⑶，

第2幅图形中“•”的个数为小，第3幅图形中“•”的个数为小……以此类排，—+—+—+……+」一的值为

第1幅图第2幅图第3帆图

589

C.---D.----

8401104

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分.

11.因式分解：肛2-X=o

12.已知二次根式有意义，则x的取值范围是。

13.小朋友甲的口袋有8颗弹珠，其中2颗红色，2颗黄色，4颗黑色，他随相拿出一颗送给小朋友乙，则送出

的弹珠颜色是黑色的概率是。

14.已知完数m是关于x的二元二次方程-3x-1=的一根，剩代数式2022根2—6()66相+1的值为

_______________________O

15.一个圆锥的底面半径厂5,高h=12,则这个圆锥的侧面积是。

1k

16.如图，直线y=—x与双曲线y=—在第一象限的交点为A(2,m),则k=。

17.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE〃AB交AC于点F,AB=12,EF=9,则DF

的长是_____________

18.已知不等式依2+/zx+c=()的解是a<x<°,其中/?>«>(),则不等式cf+瓜+，<0的解集

三、解答题(本大共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(本题满分8分)计算：卜3|-(2sin45')+2022,

尤+2(2VA

20.(本题满分8分)先化简，再求值：X—2+--,其中x=—l。

2尤—-4xIx-2)

21.(本题满分8分)某学校教务处为了了解学生下午参加“双减”下课后服务的开展情况采用随机抽样的方式进

行兴趣类问卷调查，调查结果分为“学科辅导类"球类”、”棋类”，“书法剪纸类”，“艺术舞昭类”、“其他”六

类,分别用A,B,C,D,E,F表示，根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图。请结合图中所给

出的信息回答下列问题：

各类别人数的条形BE

(1)这次活动一共调查了名学生，参加B类兴趣班所占扇形的圆心角的度数为度；

(2)补全条形统计图；

(3)请你根据抽样调查估计全校3600名学生中选择书法剪纸和艺术舞蹈的总人数。

22.(本题满分10分)如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC,垂足为点F,E为四边形ABCD外一点，且

ZADE=ZBAD,AE±AC»

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)如果DA平分NBDE,AB=5,AD=6,求AC的长。

B

23.(本题满分10分)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易

发路段设置了区间测速，如图是322国道(用直线/表示)黎家坪进入祁阳城区的AB路段设有区间测速，所有

车辆限速60千米/小时(约为16.7米/秒)，数学实践活动小组设计了如下活动：在直线/上确定A,B两点，并

在AB路段进行区间测速，在/外取一点P,作PC，/垂足为点C,测PC=40米。NAPC=71。，NBPC=35。。

(1)求AB的长；

(2)若上午9时测得一汽车从点A到点B用时5.5秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速。(参考数据:

sin35°«0.57,cos35°«0.82,tan35°=O.7O,sin71°«0.95,cos71°=0.33,tan71°«2.90)

24.(本题满分10分)为了庆祝中国共产党建党100周年，某学校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备

购买A,B两种纪念品奖励在比赛中表现优秀的学生。已知购买1个A种纪念品和2个B种纪念品，共需20

元；购买2个A种纪念品和5个B种纪念品共需45元。

(1)求购买一个A种纪念品和一个B种纪念品的售价各需多少元；

(2)若要购买A,B两种型号的纪念品共100个，投入资金不少于780元，且不多于800元，有多少种购买方

案？求出所花资金最小值。

25.(本题满分12分)如图，PM是。。的切线，切点为A,AC是。。的直径，连接OP交。O于E,过A点作

ABLPO于点D,交。。于B,连接BC,PBo

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)求证：E为APAB的内心;

(3)若cosNPA8=4@,BC=1,求P0的长。

10

26.(本题满分12分)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(aH0)与尤轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接BC,

OA=1,对称轴为x=2,点D为此抛物线的顶点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上C,D两点之间的距离是；

(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求ABCE面积的最大值；

(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q,使以点B,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P

的坐标。

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案ABCCDABCBD

二、填空题

11.x(y+l)(y-l)12.x>-313.-14.202315.65乃16.217.718x>——

2aP

三、解答题

19.解:原式=3—3应+(2x—>1-2................................4分

2

=3—3+1—2=—18分

c8x)

.TIx+2

20.解：、2,x-2+-------

2X2-4XX-2>

%+2-4x+4+8x'

2x(x-2)Ix—2)

x+2x—2

2x(x-2)(x+2)*2

].................................6分

2x(x+2)

当x=-1时，原式=I_j_......................8分

2x（—1）x（—1+2）2

21.解：（1）由条形图可知，A的人数是15人，由扇形图可知A占的百分比为25%,

则调查的人数为：15：25%=60（人）,360°x20%=720.......2分

（2）C占的百分比为9:60=15%,

E的人数为60xl0%=6（人），

F的人数为60xl0%=6（人），

D的人数为60-15-12-9-6-6=12（人），

补全条形统计图如下图：.......5分

（3）全校3600名学生中选择跳绳和体育舞蹈的总人数为：

Z：I1

3600x-----=1080人...............8分

60

22.证明：（1）证明：VZADE-ZBAD,

AAB//ED.

：BD垂直平分AC,垂足为E

ABD1AC.

XVAE1AC,

.,.AE//BD.

四边形ABDE是平行四边形..................5分

(2)解：如图，连接BE交AD于点0.

；DA平分NBDE,

.*.ZADE=Z1.

又•.,NADE=NBAD,

.*.Z1=ZBAD.

AAB=BD.

.••四边形ABDE是菱形.

VAB=5,AD=6,

/.BD=AB=5,AD1BE,0A=-AD=3.

2

在RSOAB中，OB='JAB2-OA2=4-

S△ABD=—AD<OB——BDAF,

22

A6x4=5AF.解得AF=4.8.

；BD垂直平分AC,

；.AC=2AF=9.6................................10分

23.解：(1)在RSAPC中,ZAPC=71°,

AC

VianZAPC=tan71°=——=2.90,

PC

.".AC-40x2.90=116(米)..................3分

在RSBPC中，NBPC=35。，

BC

VtanZBPC=——=tan35yo.70,

PC

；.BC=40x0.70=28(米)...................6分

.\AB=AC-BC-116-28=88(米)

答：AB的长约为88米；....................8分

88

(2)该汽车的速度约为：—=16(m/s)<16.7(m/s),9分

.•.该车没有超速.10分

24.(1)解:设购买一个A种纪念品需要x元，一个8种纪念品的一“,

2+2y=20

由题意得《

2x+5y=45

答：购买一个A种纪念品需要10元，购买一个8种纪念品的需要5元.…5分

(2)设购买m个A种纪念品，则购买(100—m)个B种纪念品

10m+5(100-m)>780

10m+5(100-m)<800

解得56WmW60

•••m是正整数，

，m可以为56,57,58,59,60.共5种购买方案......8分

设购买总费用为W元，则W=10m+5(100-m)=5m+500

V5>0

；.W随m的增大而增大，

当m=56时，W取最小值且为5x56+500=780(元)

答：共有5种购买方案，所花资金的最小值为780元....................10分

25.(1)证明：连结OB,

：AC为。O的直径，

ZABC=90°,

VAB1PO,

；.PO〃BC

.\ZAOP=ZC,ZPOB=ZOBC,

VOB=OC,

.\ZOBC=ZC,

.../AOP=/POB,

在△AOP和△BOP中，

OA=OB

<NAOP=NBOP

PO=PO

.,.△AOP^ABOP(SAS),

.\ZOBP=ZOAP,

；PA为。。的切线，

二NOAP=90°,

二ZOBP=90°,

.♦.PB是。O的切线；....................4分

(2)证明：连结AE,

VPA为。O的切线，

AZPAE+ZOAE=90°,

：AD_LED,

，NEAD+/AED=90。，

VOE=OA,

ZOAE=ZAED,

NPAE=/DAE,即EA平分NPAD,

：PA、PB为00的切线，

PD平分NAPB

，E为△PAB的内心；....................8分

(3)解：VZPAB+ZBAC=90°,ZC+ZBAC=90°,

.,.ZPAB=ZC,

M

cosZC=cosZPAB=------,

10

在RSABC中，cos/C=^=-^-=2^,

ACAC10

.,.AC=V1(),AO=Vio

~2~

VAPAO^AABC,

.POAO

'•就一茄

AO

.\PO=——，AC=5..........................................12分

BC

,2

26.解：(1),抛物线y=ox+/zx+c(〃工0)的对称轴为x=------=2x

2af

1

・・a=—

2

:，OA=1,且点A在x轴负半轴上,

0),

1,15

将点4-1,0）代入y=一—f+2x+c得：----2+c=0,解得c=一

222

1,5

则抛物线的解析式为y=-/x2+2x+Q：4分

⑵20；6分

（3）如图，过点E作x轴的垂线，交BC于点尸,

0）,抛物线的对称轴为x=2,

：.B(5,0),

设直线BC的解析式为>=依+》,

5k+b-Q人=」

将点8(5,0),C(0,3)代入得.，解得J2

2,5

'二D--