必修二.直线的交点坐标与距离公式

用过两直线交点的直线系方程解题[规律总结]

(1)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m、n为参数，且m、n不同时为0)．(2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常用．求直线方程的问题时，如果知道所求直线过已知两直线的交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点的繁杂计算．[例2]在x轴上求一点P，使得(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程][名师批注]例3：(1)求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．(2)求直线2x－y＋1＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程．(3)若两平行直线3x＋4y－1＝0与6x＋8y＋3＝0关于直线l对称，求l的方程．[解析]

(1)解法1：所求直线与直线2x＋11y＋16＝0平行，它们到P点距离相等，设所求直线方程2x＋11y＋C＝0，由点P到两直线距离相等解出C＝－38，∴所求直线方程为2x＋11y－38＝0.解法2：设M(x，y)是所求直线上任一点，它关于点P(0,1)的对称点(－x,2－y)在直线2x＋11y＋16＝0上，∴2(－x)＋11(2－y)＋16＝0即2x＋11y－38＝0.(2)设所求直线上任一点M(x，y)，它关于直线x－y＋2＝0的对称点M′(x1，y1)，代入M′所在直线方程2x－y＋1＝0中得：2(y－2)－(x＋2)＋1＝0，即x－2y＋5＝0.距离公式的综合应用

、

两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．解析：解法一：(1)设两条直线方程分别为

y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，

则îïíïì

2＝6k＋b1，－1＝－3k＋b2，即îïíïì

b1＝2－6k，b2＝3k－1，

而d＝|b2－b1|1＋k2＝|9k－3|1＋k2，两边平方整理得

(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，

由于k∈R,所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(d2－90)≤0，即0<d≤3.(2)因d＝3时，k＝＝－3，故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.解法二：(1)当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．∴0<d≤3.两直线方程分别是3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.点评：解析几何是用代数方法解决几何问题的一门科学，故数形结合思想在其中起着很重要的作用，如法二，它起着事半功倍的效果．易错探究

例5:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形.错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形,

∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0,

6x+y-5=0,

得l2与l3的交点(1,-1).将交点(1,-1)代入l1的方程,得3×1-m-1=0,∴m=2.

∴当m=2时,三线共点,不能围成三角形.错因分析:错因是由于思维不严密造成的,一般容易想到三直线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三角形这个条件.

正解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不能围成三角形.

由 3x-2y-5=0,

6x+y-5=0,解得 x=1.

y=-1.

将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2.

∴当m=2时三条直线共点.

又m=-2时,l1∥l2;

又m=

时,l1∥l3.

∴当m=±2或m=

时,l1,l2和l3不能围成三角形.例6.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2