平面向量知识点总结与训练

第二章平面向量知识点归纳向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法(法则)3向量的减法4实数与向量的积：5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：7特别注意:（1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（3）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：若，则若，则若=(x,y)，则=(x,y)若，则若，则若，则三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立：；6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥10两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O巩固练习例1给出下列命题：①若||＝||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=，④=的充要条件是||=||且//；⑤若//，//，则//，其中正确的序号是例2设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①，②③例3设非零向量、不共线，=k+，=+k(kR)，若∥，试求k例4已知向量，，且，求实数的值例5已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角例7已知，，，按下列条件求实数的值（1）；（2）；例8已知，，且与夹角为120°求=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶与的夹角。例9已知向量=，=。=1\*GB2⑴求与；=2\*GB2⑵当为